Barazia e matricës, matricat ekuivalente. Matricat ekuivalente Shndërrime elementare të sistemeve

Qëllimi ynë i menjëhershëm është të vërtetojmë se çdo matricë mund të reduktohet në disa lloje standarde. Në këtë rrugë, gjuha e matricave ekuivalente është e dobishme.

Le te jete. Ne do të themi se një matricë është n_ekuivalente (n_ekuivalente ose ekuivalente) me një matricë dhe shënojmë (ose) nëse matrica mund të merret nga matrica duke përdorur një numër të kufizuar rreshtash (kolona ose rreshti dhe kolonë, përkatësisht) transformime elementare. Është e qartë se matricat n_ekuivalente dhe n_ekuivalente janë ekuivalente.

Së pari, ne do të tregojmë se çdo matricë mund të reduktohet në një formë të veçantë vetëm nga transformimet e rreshtave, të quajtura reduktuar.

Le te jete. Thuhet se një rresht jo zero i kësaj matrice ka një formë të reduktuar nëse ka një element të tillë të barabartë me 1 në të që të gjithë elementët e kolonës përveçse janë të barabartë me zero, . Elementi i vetëm i shënuar i vijës do të quhet elementi kryesor i kësaj rreshti dhe do ta mbyllë atë në një rreth. Me fjalë të tjera, një rresht i një matrice ka një formë të reduktuar nëse kjo matricë përmban një kolonë të formës

Për shembull, në matricën e mëposhtme

vargu ka formën e reduktuar, pasi. Le t'i kushtojmë vëmendje faktit që në këtë shembull, elementi pretendon të jetë edhe elementi kryesor i vargut. Në të ardhmen, nëse në rreshtin e formës së reduktuar ka disa elementë që kanë vetitë e liderit, ne do të zgjedhim vetëm njërin prej tyre në mënyrë arbitrare.

Një matricë thuhet se ka një formë të reduktuar nëse secila prej rreshtave të saj jozero ka një formë të reduktuar. Për shembull, matricë

ka formën e dhënë.

Propozimi 1.3 Për çdo matricë, ekziston një matricë e formës së reduktuar l_ekuivalente me të.

Në të vërtetë, nëse një matricë ka formën (1.1) dhe, atëherë pas kryerjes së transformimeve elementare në të

marrim matricën

në të cilin vargu ka formën e reduktuar.

Së dyti, nëse rreshti në matricë është zvogëluar, atëherë pas transformimeve elementare (1.20) rreshti i matricës do të zvogëlohet. Në të vërtetë, pasi, reduktuar, ekziston një kolonë e tillë që

por pastaj dhe, rrjedhimisht, pas transformimeve (1.20) kolona nuk ndryshon, d.m.th. . Prandaj, vija ka formën e reduktuar.

Tani është e qartë se duke e transformuar me radhë çdo rresht jozero të matricës në mënyrën e mësipërme, pas një numri të kufizuar hapash do të marrim një matricë të formës së reduktuar. Meqenëse vetëm transformimet elementare të rreshtave janë përdorur për të marrë matricën, ajo është l_ekuivalente me një matricë. >

Shembulli 7. Ndërtoni një matricë të formës së reduktuar, n_ekuivalente me matricën

Matricat ekuivalente

Siç u përmend më lart, minori i një matrice të rendit s është përcaktuesi i matricës së formuar nga elementët e matricës origjinale të vendosura në kryqëzimin e çdo rreshti s dhe s kolonë të zgjedhur.

Përkufizimi. Në një matricë të rendit mn, një minor i rendit r quhet bazë nëse nuk është i barabartë me zero, dhe të gjitha minoret e rendit r + 1 e lart janë të barabarta me zero, ose nuk ekzistojnë fare, d.m.th. r është më i vogli i m ose n.

Kolonat dhe rreshtat e një matrice që përmbajnë një bazë minore quhen gjithashtu bazë.

Mund të ketë disa minore të ndryshme bazë në një matricë që kanë të njëjtin rend.

Përkufizimi. Rendi i bazës minor të një matrice quhet rangu i matricës dhe shënohet me Rg A.

Një veti shumë e rëndësishme e transformimeve elementare të matricës është se ato nuk e ndryshojnë rangun e matricës.

Përkufizimi. Matricat e fituara si rezultat i një transformimi elementar quhen ekuivalente.

Duhet të theksohet se matricat e barabarta dhe matricat ekuivalente janë koncepte krejtësisht të ndryshme.

Teorema. Numri më i madh i kolonave linearisht të pavarura në një matricë është i barabartë me numrin e rreshtave linearisht të pavarur.

Sepse Meqenëse transformimet elementare nuk e ndryshojnë rangun e një matrice, është e mundur të thjeshtohet ndjeshëm procesi i gjetjes së renditjes së një matrice.

Shembull. Përcaktoni gradën e matricës.

2. Shembull: Përcaktoni gradën e një matrice.

Nëse duke përdorur transformimet elementare nuk është e mundur të gjendet një matricë ekuivalente me atë origjinale, por me një madhësi më të vogël, atëherë gjetja e renditjes së matricës duhet të fillojë me llogaritjen e minoreve të rendit më të lartë të mundshëm. Në shembullin e mësipërm, këto janë minore të rendit 3. Nëse të paktën njëri prej tyre nuk është i barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me rendin e kësaj minoreje.

Teorema bazë e vogël.

Teorema. Në një matricë arbitrare A, çdo kolonë (rresht) është një kombinim linear i kolonave (rreshtave) në të cilat ndodhet baza e vogël.

Kështu, rangu i një matrice arbitrare A është e barabartë me numrin maksimal të rreshtave (kolonave) linearisht të pavarur në matricë.

Nëse A është një matricë katrore dhe det A = 0, atëherë të paktën një nga kolonat është një kombinim linear i kolonave të tjera. E njëjta gjë vlen edhe për vargjet. Ky pohim rrjedh nga vetia e varësisë lineare me përcaktor të barabartë me zero.

Zgjidhja e sistemeve arbitrare të ekuacioneve lineare

Siç u përmend më lart, metoda e matricës dhe metoda e Cramer-it janë të zbatueshme vetëm për ato sisteme të ekuacioneve lineare në të cilat numri i të panjohurave është i barabartë me numrin e ekuacioneve. Më pas, merrni parasysh sistemet arbitrare të ekuacioneve lineare.

Përkufizimi. Sistemi i m ekuacioneve me n të panjohura përgjithësisht shkruhet si më poshtë:

ku aij janë koeficientë dhe bi janë konstante. Zgjidhjet e sistemit janë n numra, të cilët, kur zëvendësohen në sistem, e kthejnë secilin prej ekuacioneve të tij në një identitet.

Përkufizimi. Nëse një sistem ka të paktën një zgjidhje, atëherë ai quhet i pajtueshëm. Nëse sistemi nuk ka zgjidhje, atëherë ai quhet jokonsistent.

Përkufizimi. Një sistem quhet i caktuar nëse ka vetëm një zgjidhje dhe i pacaktuar nëse ka më shumë se një.

Përkufizimi. Për një sistem ekuacionesh lineare, matrica

A = quhet matrica e sistemit, dhe matrica

A*= quhet matrica e shtuar e sistemit

Përkufizimi. Nëse b1, b2, …,bm = 0, atëherë sistemi quhet homogjen. një sistem homogjen është gjithmonë konsistent, sepse gjithmonë ka një zgjidhje zero.

Transformimet elementare të sistemeve

Transformimet elementare janë:

1) Shtimi në të dy pjesët e njërit ekuacion të pjesëve përkatëse të tjetrit, shumëzuar me të njëjtin numër, jo i barabartë me zero.

2) Permutacioni i ekuacioneve në vende.

3) Heqja nga sistemi i ekuacioneve që janë identitete për të gjitha x.

Teorema Kronecker-Kapeli (kushti i përputhshmërisë së sistemit).

(Leopold Kronecker (1823-1891) matematikan gjerman)

Teorema: Sistemi është konsistent (ka të paktën një zgjidhje) nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së sistemit është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar.

Natyrisht, sistemi (1) mund të shkruhet si

Kalimi në një bazë të re.

Le të jenë (1) dhe (2) dy baza të së njëjtës hapësirë ​​lineare m-dimensionale X.

Meqenëse (1) është një bazë, është e mundur të zgjerohen vektorët e bazës së dytë për sa i përket saj:

Nga koeficientët në , ne krijojmë një matricë:

(4) është matrica e transformimit të koordinatave në kalimin nga baza (1) në bazën (2).

Le të jetë një vektor, pastaj (5) dhe (6).

Lidhja (7) do të thotë se

Matrica P nuk është e degjeneruar, pasi përndryshe do të kishte një marrëdhënie lineare midis kolonave të saj dhe më pas midis vektorëve.

E kundërta është gjithashtu e vërtetë: çdo matricë jo e degjeneruar është një matricë transformimi koordinative e përcaktuar nga formula (8). Sepse P është një matricë jo e degjeneruar, atëherë ajo ka një të anasjelltë. Duke shumëzuar të dyja pjesët e (8) me, marrim: (9).

Le të zgjidhen 3 baza në hapësirën lineare X: (10), (11), (12).

Ku, d.m.th. (13).

Se. në rastin e transformimit sekuencial të koordinatave, matrica e transformimit që rezulton është e barabartë me produktin e matricave të transformimeve përbërëse.

Le të zgjidhet një operator linear dhe një çift bazash në X: (I) dhe (II), dhe në Y - (III) dhe (IV).

Operatori A në një çift bazash I - III i përgjigjet barazisë: (14). I njëjti operator në një çift bazash II – IV i përgjigjet barazisë: (15). Se. për një operator të dhënë A kemi dy matrica u. Ne duam të krijojmë një varësi mes tyre.

Le të jetë P matrica e transformimit të koordinatave në kalimin nga I në III.

Le të jetë Q matrica e transformimit të koordinatave në kalimin nga II në IV.

Pastaj (16), (17). Ne zëvendësojmë shprehjet për dhe nga (16) dhe (17) në (14), marrim:

Duke krahasuar këtë barazi me (15), marrim:

Relacioni (19) lidh matricën e të njëjtit operator në baza të ndryshme. Në rastin kur hapësirat X dhe Y përputhen, rolin e bazës III e luan I, dhe IV - me II-nd, atëherë relacioni (19) merr formën: .

Bibliografi:

3. Kostrikin A.I. Hyrje në algjebër. pjesa II. Bazat e algjebrës: një libër shkollor për universitetet, -M. : Literatura fiziko-matematikore, 2000, 368 f.

Leksioni nr. 16 (semestri II)

Tema: Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për ekuivalencën e matricave.

Quhen dy matrica, A dhe B, me të njëjtën madhësi ekuivalente, nëse ka dy matrica josingulare R dhe S të tilla që (1).

Shembull: Dy matrica që i korrespondojnë të njëjtit operator për zgjedhje të ndryshme bazash në hapësirat lineare X dhe Y janë ekuivalente.

Është e qartë se relacioni i përcaktuar në grupin e të gjitha matricave me të njëjtën madhësi duke përdorur përkufizimin e mësipërm është një relacion ekuivalence.

Teorema 8: Që dy matrica drejtkëndëshe të së njëjtës madhësi të jenë ekuivalente, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ato të jenë të së njëjtës rang.

Dëshmi:

1. Le të jenë A dhe B dy matrica për të cilat ka kuptim. Renditja e produktit (matrica C) nuk është më e lartë se renditja e secilit prej faktorëve.

Shohim se kolona k-të e matricës C është një kombinim linear i vektorëve të kolonës së matricës A dhe kjo është e vërtetë për të gjitha kolonat e matricës C, d.m.th. per te gjithe. Se. , d.m.th. është një nënhapësirë ​​e një hapësire lineare.

Meqenëse dhe meqenëse dimensioni i nënhapësirës është më i vogël ose i barabartë me dimensionin e hapësirës, ​​atëherë rangu i matricës C është më i vogël ose i barabartë me gradën e matricës A.

Në barazitë (2), ne rregullojmë indeksin i dhe i caktojmë k të gjitha vlerat e mundshme nga 1 në s. Pastaj marrim një sistem barazish të ngjashëm me sistemin (3):

Ekuacionet (4) tregojnë se rreshti i i-të matrica C është një kombinim linear i rreshtave të matricës B për të gjitha i, dhe pastaj hapësira lineare e shtrirë nga rreshtat e matricës C përmbahet në hapësirën lineare të shtrirë nga rreshtat e matricës B, dhe më pas dimensioni i kësaj hapësire lineare është më e vogël ose e barabartë me dimensionin e hapësirës lineare të vektorëve të rreshtit të matricës B, kështu që rangu i matricës C është më i vogël ose i barabartë me gradën e matricës B.

2. Rangu i prodhimit të matricës A majtas dhe djathtas nga një matricë katrore jo njëjës Q është e barabartë me rangimin e matricës A. (). ato. grada e matricës C është e barabartë me gradën e matricës A.

Dëshmi: Siç vërtetohet në rastin (1). Meqenëse matrica Q është jo njëjës, atëherë për të ekziston: dhe në përputhje me atë që u vërtetua në deklaratën e mëparshme.

3. Le të vërtetojmë se nëse matricat janë ekuivalente, atëherë ato kanë të njëjtat radhë. Sipas përkufizimit, A dhe B janë ekuivalente nëse ka R dhe S të tillë që. Meqenëse shumëzimi i A nga e majta me R dhe nga e djathta me S rezulton në matrica të së njëjtës rang, siç vërtetohet në (2), grada e A është e barabartë me gradën e B.

4. Le të jenë matricat A dhe B të së njëjtës rang. Le të vërtetojmë se ato janë ekuivalente. Le të shqyrtojmë.

Le të jenë X dhe Y dy hapësira lineare në të cilat zgjidhen bazat (baza X) dhe (baza Y). Siç dihet, çdo matricë e formës përcakton një operator linear që vepron nga X në Y.

Meqenëse r është rangu i matricës A, midis tyre ekzistojnë saktësisht r vektorë të pavarur linearisht. Pa humbje të përgjithshme, mund të supozojmë se - vektorët e parë r - janë linearisht të pavarur. Atëherë të gjitha të tjerat shprehen në mënyrë lineare në terma të tyre, dhe ne mund të shkruajmë:

Përcaktojmë një bazë të re në hapësirën X si më poshtë: . (7)

Baza e re në hapësirën Y si më poshtë:

Sipas supozimit, vektorët janë linearisht të pavarur. Le t'i plotësojmë me disa vektorë deri në bazën Y: (8). Pra (7) dhe (8) janë dy baza të reja X dhe Y. Le të gjejmë matricën e operatorit A në këto baza:

Pra, në çiftin e ri të bazave, matrica e operatorit A është matrica J. Matrica A ishte fillimisht një matricë arbitrare drejtkëndore e formës, rang r. Meqenëse matricat e të njëjtit operator janë ekuivalente në baza të ndryshme, kjo tregon se çdo matricë drejtkëndore e formës së rendit r është ekuivalente me J. Meqenëse kemi të bëjmë me një relacion ekuivalence, kjo tregon se çdo dy matrica A dhe B të forma dhe rangu r, duke qenë ekuivalente me matricën J janë ekuivalente me njëra-tjetrën.

Bibliografi:

1. Voevodin V.V. Algjebër lineare. Shën Petersburg: Lan, 2008, 416 f.

2. D. V. Beklemishev, Kursi i Gjeometrisë analitike dhe Algjebrës Lineare. Moskë: Fizmatlit, 2006, 304 f.

3. Kostrikin A.I. Hyrje në algjebër. pjesa II. Bazat e algjebrës: një libër shkollor për universitetet, -M. : Literatura fizike dhe matematikore, 2000, 368 f.

Leksioni nr. 17 (semestri II)

Tema: Eigenvalues ​​dhe eigenvectors. nënhapësirat e veta. Shembuj.

Shpesh ka koncepte të barazisë dhe ekuivalencës së matricave.

Përkufizimi 1

Matrica $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ quhet e barabartë me matricën$B=\left(b_(ij) \right)_(k\herë l) $ nëse dimensionet e tyre janë të njëjta $(m=k,n=l)$ dhe elementet përkatëse të matricave të krahasuara janë të barabarta.

Për matricat e rendit të dytë të shkruara në formë të përgjithshme, barazia e matricës mund të shkruhet si më poshtë:

Shembulli 1

Të dhënat e matricës:

1) $A=\majtas(\fillimi(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\djathtas),B=\majtas(\fillimi( grup)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\djathtas)$;

2) $A=\majtas(\fillimi(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\djathtas),B=\majtas(\fillimi( grup)(c) (-3) \\ (2) \end(array)\djathtas)$;

3) $A=\majtas(\fillimi(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\djathtas),B=\majtas(\fillimi( grup)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\djathtas)$.

Përcaktoni nëse matricat janë të barabarta.

1) $A=\majtas(\fillimi(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\djathtas),B=\majtas(\fillimi( grup)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\djathtas)$

Matricat A dhe B kanë të njëjtin rend, të barabartë me 2$\fish $2. Elementet përkatëse të matricave të krahasuara janë të barabarta, pra, matricat janë të barabarta.

2) $A=\majtas(\fillimi(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\djathtas),B=\majtas(\fillimi( grup)(c) (-3) \\ (2) \end(array)\djathtas)$

Matricat A dhe B kanë një rend të ndryshëm, përkatësisht 2$\fish $2 dhe 2$\herë $1.

3) $A=\majtas(\fillimi(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\djathtas),B=\majtas(\fillimi( grup)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\djathtas)$

Matricat A dhe B kanë të njëjtin rend, të barabartë me 2$\fish $2. Megjithatë, jo të gjithë elementët përkatës të matricave të krahasuara janë të barabartë, prandaj matricat nuk janë të barabarta.

Përkufizimi 2

Një transformim elementar i një matrice është një transformim që ruan ekuivalencën e matricave. Me fjalë të tjera, një transformim elementar nuk e ndryshon grupin e zgjidhjeve të sistemit të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE) të përfaqësuar nga matrica e dhënë.

Transformimet elementare të rreshtave të matricës përfshijnë:

• shumëzimi i një rreshti matricë me një numër $k$ që nuk është i barabartë me zero (në këtë rast, përcaktori i matricës rritet me $k$ herë);
• ndërrimi i çdo dy rreshtash të matricës;
• shtimi i elementeve të njërës rresht të matricës së elementeve të rreshtit tjetër të saj.

E njëjta gjë vlen edhe për kolonat e matricës dhe quhet transformim i kolonës elementare.

Përkufizimi 3

Nëse nga matrica A me ndihmën e një transformimi elementar kaluam në matricën B, atëherë matrica origjinale dhe ajo rezultuese quhen ekuivalente. Për të treguar ekuivalencën e matricave, përdoret shenja "$ \sim$", për shembull, $A\sim B$.

Shembulli 2

Jepet një matricë: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(array)\djathtas)$.

Kryeni transformimet elementare të rreshtave të matricës një nga një.

Ndërroni rreshtin e parë dhe rreshtin e dytë të matricës A:

Shumëzoni rreshtin e parë të matricës B me numrin 2:

Le të shtojmë rreshtin e parë me rreshtin e dytë të matricës:

Përkufizimi 4

Një matricë hapi është një matricë që plotëson kushtet e mëposhtme:

• nëse ka një rresht zero në matricë, të gjitha rreshtat poshtë tij janë gjithashtu zero;
• Elementi i parë jo-nul i çdo rreshti jo-nul duhet të vendoset rreptësisht në të djathtë të elementit kryesor në rreshtin që është mbi këtë.

Shembulli 3

Matricat $A=\left(\fille(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(array)\djathtas)$ dhe $B=\left(\fille(array)(cccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \end(array)\right)$ janë matrica hapash.

Komentoni

Mund ta sillni matricën në një formë hapi duke përdorur transformime ekuivalente.

Shembulli 4

Jepet një matricë: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(array)\djathtas)$. Shndërroni matricën në një formë me shkallë.

Ndërroni rreshtin e parë dhe të dytë të matricës A:

Shumëzoni rreshtin e parë të matricës B me numrin 2 dhe shtoni atë në rreshtin e dytë:

Shumëzoni rreshtin e parë të matricës C me -1 dhe shtoni atë në rreshtin e tretë:

Shumëzoni rreshtin e dytë të matricës D me -2 dhe shtoni atë në rreshtin e tretë:

$K=\left(\fille(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \end(array)\right)$ - matrica e hapave.