Forma standarde e një monomi. Koncepti i një monomi

Në këtë mësim, ne do të japim një përkufizim të rreptë të një monomi, do të shqyrtojmë shembuj të ndryshëm nga libri shkollor. Kujtoni rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë. Le të japim një përkufizim të formës standarde të një monomi, koeficientit të një monomi dhe pjesës së tij literale. Le të shqyrtojmë dy operacione themelore tipike mbi monomët, domethënë reduktimin në një formë standarde dhe llogaritjen e një vlere specifike numerike të një monomi për vlerat e dhëna të variablave të mirëfilltë të përfshirë në të. Le të formulojmë rregullin për reduktimin e monomit në formën standarde. Le të mësojmë se si të zgjidhim probleme tipike me çdo monom.

Tema:monomë. Veprimet aritmetike mbi monomët

Mësim:Koncepti i një monomi. Forma standarde e një monomi

Konsideroni disa shembuj:

3. ;

Le të gjejmë veçori të përbashkëta për shprehjet e dhëna. Në të tre rastet, shprehja është produkt i numrave dhe ndryshoreve të ngritura në një fuqi. Bazuar në këtë, ne japim përkufizimi i një monomi : një monom është një shprehje algjebrike që përbëhet nga një prodhim i fuqive dhe numrave.

Tani japim shembuj të shprehjeve që nuk janë monomë:

Le të gjejmë ndryshimin midis këtyre shprehjeve dhe atyre të mëparshme. Ai konsiston në faktin se në shembujt 4-7 ka veprime mbledhjeje, zbritjeje ose pjesëtimi, ndërsa në shembujt 1-3, që janë monomë, këto veprime nuk janë.

Këtu janë disa shembuj të tjerë:

Shprehja numër 8 është monom, pasi është prodhim i një fuqie dhe një numri, ndërsa shembulli 9 nuk është monom.

Tani le të zbulojmë veprimet mbi monomët .

1. Thjeshtimi. Merrni shembullin #3 ;dhe shembulli #2 /

Në shembullin e dytë, ne shohim vetëm një koeficient - , secila variabël ndodh vetëm një herë, domethënë ndryshorja " A" përfaqësohet në një shembull të vetëm, si "", në mënyrë të ngjashme, variablat "" dhe "" ndodhin vetëm një herë.

Në shembullin nr. 3, përkundrazi, ka dy koeficientë të ndryshëm - dhe , ne e shohim variablin "" dy herë - si "" dhe si "", në mënyrë të ngjashme, ndryshorja "" shfaqet dy herë. Kjo do të thotë, kjo shprehje duhet të thjeshtohet, kështu, ne arrijmë veprimi i parë i kryer mbi monomët është sjellja e monomit në formën standarde . Për ta bërë këtë, ne sjellim shprehjen nga Shembulli 3 në formën standarde, më pas përcaktojmë këtë operacion dhe mësojmë se si të sjellim çdo monom në formën standarde.

Pra, merrni parasysh një shembull:

Hapi i parë në operacionin e standardizimit është gjithmonë shumëzimi i të gjithë faktorëve numerik:

;

Rezultati i këtij veprimi do të thirret koeficienti monom .

Tjetra, ju duhet të shumëzoni shkallët. Ne shumëzojmë shkallët e ndryshores " X"sipas rregullit për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, i cili thotë se kur shumëzohen, eksponentët mblidhen:

Tani le të shumëzojmë fuqitë në»:

;

Pra, këtu është një shprehje e thjeshtuar:

;

Çdo monom mund të reduktohet në formë standarde. Le të formulojmë rregulli i standardizimit :

Shumëzoni të gjithë faktorët numerikë;

Vendosni koeficientin që rezulton në radhë të parë;

Shumëzoni të gjitha shkallët, domethënë, merrni pjesën e shkronjës;

Kjo do të thotë, çdo monom karakterizohet nga një koeficient dhe një pjesë shkronjash. Duke parë përpara, vërejmë se monomët që kanë të njëjtën pjesë të shkronjave quhen të ngjashme.

Tani ju duhet të fitoni teknikë për reduktimin e monomëve në formën standarde . Konsideroni shembuj nga libri shkollor:

Detyrë: sillni monomin në formën standarde, emërtoni koeficientin dhe pjesën e shkronjës.

Për të përfunduar detyrën, përdorim rregullin e sjelljes së monomit në formën standarde dhe vetitë e shkallëve.

1. ;

3. ;

Komentet për shembullin e parë: Për të filluar, le të përcaktojmë nëse kjo shprehje është vërtet një monom, për këtë kontrollojmë nëse përmban veprime të shumëzimit të numrave dhe fuqive dhe nëse përmban veprime mbledhje, zbritje ose pjesëtim. Mund të themi se kjo shprehje është monom, pasi kushti i mësipërm është i plotësuar. Më tej, sipas rregullit të sjelljes së monomit në formën standarde, ne shumëzojmë faktorët numerikë:

- kemi gjetur koeficientin e monomit të dhënë;

; ; ; pra pranohet pjesa e drejtperdrejte e shprehjes:;

shkruani përgjigjen: ;

Komentet për shembullin e dytë: Duke ndjekur rregullin, ne ekzekutojmë:

1) shumëzoni faktorët numerikë:

2) shumëzoni fuqitë:

Variablat dhe paraqiten në një kopje të vetme, domethënë nuk mund të shumëzohen me asgjë, rishkruhen pa ndryshime, shkalla shumëzohet:

shkruani përgjigjen:

;

NË ky shembull koeficienti i monomit është i barabartë me një, dhe pjesa e drejtpërdrejtë është .

Komentet për shembullin e tretë: a ngjashëm me shembujt e mëparshëm, ne kryejmë veprimet e mëposhtme:

1) shumëzoni faktorët numerikë:

;

2) shumëzoni fuqitë:

;

shkruani përgjigjen: ;

Në këtë rast, koeficienti i monomit është i barabartë me "", dhe pjesa e drejtpërdrejtë .

Tani merrni parasysh Operacioni i dytë standard mbi monomët . Meqenëse një monom është një shprehje algjebrike e përbërë nga variabla literale që mund të marrin vlera të veçanta numerike, ne kemi një shprehje numerike aritmetike që duhet të llogaritet. Kjo do të thotë, operacioni i mëposhtëm mbi polinomet është duke llogaritur vlerën e tyre specifike numerike .

Konsideroni një shembull. Monomi është dhënë:

ky monom tashmë është reduktuar në formën standarde, koeficienti i tij është i barabartë me një, dhe pjesa literale

Më herët thamë se një shprehje algjebrike nuk mund të llogaritet gjithmonë, pra variablat që hyjnë në të mund të mos marrin asnjë vlerë. Në rastin e një monomi, variablat e përfshirë në të mund të jenë çdo, kjo është një veçori e monomit.

Pra, në shembullin e dhënë, kërkohet të llogaritet vlera e monomit për , , , .

Informacioni fillestar për monomët përmban një sqarim se çdo monom mund të reduktohet në një formë standarde. Në materialin më poshtë, ne do ta shqyrtojmë këtë çështje në mënyrë më të detajuar: do të tregojmë kuptimin e këtij veprimi, do të përcaktojmë hapat që na lejojnë të vendosim formën standarde të monomit, dhe gjithashtu do të konsolidojmë teorinë duke zgjidhur shembuj .

Kuptimi i reduktimit të monomit në formën standarde

Shkrimi i një monomi në formë standarde e bën më të përshtatshëm punën me të. Shpesh, monomët jepen në një formë jo standarde dhe më pas bëhet e nevojshme të kryhen shndërrime identike për të sjellë monomin e dhënë në një formë standarde.

Përkufizimi 1

Reduktimi i një monomi në formë standardeështë kryerja e veprimeve të përshtatshme (shndërrime identike) me një monom për ta shkruar atë në formë standarde.

Metoda për reduktimin e një monomi në një formë standarde

Nga përkufizimi rezulton se një monom i një forme jo standarde është produkt i numrave, ndryshoreve dhe fuqive të tyre, dhe përsëritja e tyre është e mundur. Nga ana tjetër, monomi i formës standarde përmban në shënimin e tij vetëm një numër dhe ndryshore që nuk përsëriten ose shkallët e tyre.

Për të kthyer një monom jo standard në formë standarde, duhet të përdorni sa vijon rregull për reduktimin e një monomi në formë standarde:

• hapi i parë është grupimi i faktorëve numerikë, variablave të njëjtë dhe shkallëve të tyre;
• hapi i dytë është llogaritja e prodhimeve të numrave dhe zbatimi i vetive të fuqive me baza të njëjta.

Shembujt dhe zgjidhja e tyre

Jepet një monom 3 x 2 x 2 . Është e nevojshme ta sillni atë në formën standarde.

Zgjidhje

Le të bëjmë një grupim faktorësh dhe faktorësh numerikë me ndryshoren x, si rezultat, monomi i dhënë do të marrë formën: (3 2) (x x 2) .

Produkti në kllapa është 6 . Duke zbatuar rregullin e shumëzimit të fuqive me baza të njëjta, shprehja në kllapa mund të përfaqësohet si: x 1 + 2 = x 3. Si rezultat, marrim një monom të formës standarde: 6 · x 3 .

Një regjistrim i shkurtër i zgjidhjes duket kështu: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3 .

Përgjigje: 3 x 2 x 2 = 6 x 3 .

Shembulli 2

Jepet një monom: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b . Është e nevojshme ta sillni atë në formë standarde dhe të specifikoni koeficientin e tij.

Zgjidhje

monomi i dhënë ka një faktor numerik në shënimin e tij: - 1, le ta zhvendosim në fillim. Më pas do të grupojmë faktorët me ndryshoren a dhe faktorët me ndryshoren b. Nuk ka asgjë për të grupuar variablin m, e lëmë në formën e saj origjinale. Si rezultat i veprimeve të mësipërme, marrim: - 1 a 5 a a 2 b 2 b m .

Le të kryejmë veprime me gradë në kllapa, atëherë monomi do të marrë formën standarde: (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) a 8 b 3 m . Nga kjo hyrje, ne mund të përcaktojmë lehtësisht koeficientin e monomit: është i barabartë me - 1. Është mjaft e mundur të zëvendësohet një minus një thjesht me një shenjë minus: (- 1) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m .

Një përmbledhje e të gjitha veprimeve duket si kjo:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

Përgjigje:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = - a 8 b 3 m , koeficienti i monomit të dhënë është - 1 .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Ka shumë shprehje të ndryshme matematikore në matematikë, dhe disa prej tyre kanë emrat e tyre të caktuar. Ne duhet të njihemi me një nga këto koncepte - ky është një monom.

Një monom është një shprehje matematikore që përbëhet nga një produkt numrash, ndryshoresh, secila prej të cilave mund të përfshihet në prodhim në një farë mase. Për të kuptuar më mirë konceptin e ri, duhet të njiheni me disa shembuj.

Shembuj të monomëve

Shprehjet 4, x^2, -3*a^4, 0.7*c, ¾*y^2 janë beqarë. Siç mund ta shihni, një numër ose një ndryshore vetëm (me ose pa fuqi) është gjithashtu një monom. Por, për shembull, shprehjet 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 janë tashmë nuk janë monom sepse nuk i përshtaten përkufizimit. Shprehja e parë përdor "shumën", e cila nuk lejohet, e dyta përdor "ndarjen", dhe e treta përdor ndryshimin.

Konsideroni disa shembuj të tjerë.

Për shembull, shprehja 2*a^3*b/3 është gjithashtu një monom, megjithëse pjesëtimi është i pranishëm atje. Por në këtë rast, ndarja ndodh me një numër, dhe për këtë arsye shprehja përkatëse mund të rishkruhet si më poshtë: 2/3*a^3*b. Një shembull më shumë: Cila nga shprehjet 2/x dhe x/2 është monom dhe cila jo? përgjigjuni saktë se shprehja e parë nuk është monom, por e dyta.

Forma standarde e një monomi

Shikoni dy shprehjet monomike të mëposhtme: ¾*a^2*b^3 dhe 3*a*1/4*b^3*a. Në fakt, këto janë dy monomë identikë. A nuk është e vërtetë që shprehja e parë duket më e përshtatshme se e dyta?

Arsyeja për këtë është se shprehja e parë është shkruar në formë standarde. Forma standarde e një polinomi është një produkt i përbërë nga një faktor numerik dhe fuqi të ndryshoreve të ndryshme. Faktori numerik quhet koeficient monomi.

Për të sjellë monomin në formën e tij standarde, mjafton të shumëzoni të gjithë faktorët numerikë të pranishëm në monom dhe të vendosni numrin që rezulton në vendin e parë. Pastaj shumëzoni të gjitha fuqitë që kanë të njëjtën bazë shkronjash.

Reduktimi i një monomi në formën e tij standarde

Nëse në shembullin tonë në shprehjen e dytë shumëzojmë të gjithë faktorët numerikë 3 * 1/4 dhe më pas shumëzojmë një * a, atëherë marrim monomin e parë. Ky veprim quhet sjellja e monomit në formën e tij standarde.

Nëse dy monomë ndryshojnë vetëm nga një koeficient numerik ose janë të barabartë me njëri-tjetrin, atëherë monomë të tillë quhen të ngjashëm në matematikë.

Monomialështë një shprehje që është produkt i dy ose më shumë faktorëve, secili prej të cilëve është një numër i shprehur me një shkronjë, shifra ose fuqi (me një eksponent të plotë jo negativ):

2a, a 3 x, 4abc, -7x

Meqenëse produkti i faktorëve identikë mund të shkruhet si një shkallë, atëherë një shkallë e vetme (me një eksponent jo-negativ të numrit të plotë) është gjithashtu një monom:

(-4) 3 , x 5 ,

Meqenëse një numër (i plotë ose i pjesshëm), i shprehur me një shkronjë ose numra, mund të shkruhet si prodhim i këtij numri me një, atëherë çdo numër i vetëm mund të konsiderohet gjithashtu si monom:

x, 16, -a,

Forma standarde e një monomi

Forma standarde e një monomi- ky është një monom, i cili ka vetëm një faktor numerik, i cili duhet të shkruhet në radhë të parë. Të gjitha variablat janë sipas rendit alfabetik dhe përmbahen në monom vetëm një herë.

Numrat, variablat dhe shkallët e variablave gjithashtu u referohen monomeve të formës standarde:

7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - monome të formës standarde.

Faktori numerik i një monomi të formës standarde quhet koeficienti monom. Koeficientët monom të barabartë me 1 dhe -1 zakonisht nuk shkruhen.

Nëse nuk ka faktor numerik në monomin e formës standarde, atëherë supozohet se koeficienti i monomit është 1:

x 3 = 1 x 3

Nëse nuk ka faktor numerik në monomin e formës standarde dhe paraprihet nga një shenjë minus, atëherë supozohet se koeficienti i monomit është -1:

-x 3 = -1 x 3

Reduktimi i një monomi në formë standarde

Për ta sjellë monomin në formën standarde, ju duhet:

1. Shumëzoni faktorët numerikë, nëse ka disa. Ngritni një faktor numerik në një fuqi nëse ai ka një eksponent. Vendosni shumëzuesin e numrave në radhë të parë.
2. Shumëzoni të gjitha variablat identike në mënyrë që çdo variabël të shfaqet vetëm një herë në monom.
3. Rregulloni variablat pas faktorit numerik sipas rendit alfabetik.

Shembull. Shprehni monomin në formë standarde:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 para Krishtit 0.5 ab 3

Zgjidhja:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x= 3 (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
b) 6 para Krishtit 0.5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

Shkalla e një monomi

Shkalla e një monomiështë shuma e eksponentëve të të gjitha shkronjave në të.

Nëse një monom është një numër, domethënë nuk përmban ndryshore, atëherë shkalla e tij konsiderohet e barabartë me zero. Për shembull:

5, -7, 21 - monomë të shkallës zero.

Prandaj, për të gjetur shkallën e një monomi, duhet të përcaktoni eksponentin e secilës prej shkronjave të përfshira në të dhe të shtoni këta eksponentë. Nëse eksponenti i shkronjës nuk është i specifikuar, atëherë ai është i barabartë me një.

Shembuj:

Pra, si jeni x eksponenti nuk specifikohet, që do të thotë se është i barabartë me 1. Monomi nuk përmban ndryshore të tjera, që do të thotë se shkalla e tij është e barabartë me 1.

Monomi përmban vetëm një ndryshore në shkallën e dytë, kështu që shkalla e këtij monomi është 2.

3) ab 3 c 2 d

Indeksi aështë e barabartë me 1, treguesi b- 3, tregues c- 2, tregues d- 1. Shkalla e këtij monomi është e barabartë me shumën e këtyre treguesve.

Monomet janë prodhime të numrave, ndryshoreve dhe fuqive të tyre. Numrat, variablat dhe shkallët e tyre konsiderohen gjithashtu monomë. Për shembull: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Monomi 5aa2b2b mund të reduktohet në formën 20a^2b^2.Kjo formë quhet forma standarde e monomit.Dmth, forma standarde e monomit është prodhimi i koeficientit (i cili vjen i pari) dhe fuqive të variablat. Koeficientët 1 dhe -1 nuk shkruhen, por ruajnë një minus nga -1. Monomi dhe forma standarde e tij

Shprehjet 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x janë prodhime të numrave, ndryshoreve dhe fuqive të tyre. Shprehje të tilla quhen monomë. Monome konsiderohen gjithashtu numrat, ndryshoret dhe fuqitë e tyre.

Për shembull, shprehjet - 8, 35, y dhe y2 janë monomë.

Forma standarde e një monomi është një monom në formën e një produkti të një faktori numerik në radhë të parë dhe fuqitë e ndryshoreve të ndryshme. Çdo monom mund të sillet në formën standarde duke shumëzuar të gjitha variablat dhe numrat e përfshirë në të. Këtu është një shembull i sjelljes së një monomi në formën standarde:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Faktori numerik i një monomi të shkruar në formë standarde quhet koeficienti i një monomi. Për shembull, koeficienti i monomit -7x2y2 është -7. Koeficientët e monomëve x3 dhe -xy konsiderohen të barabartë me 1 dhe -1, pasi x3 = 1x3 dhe -xy = -1xy

Shkalla e një monomi është shuma e eksponentëve të të gjitha ndryshoreve të përfshira në të. Nëse monomi nuk përmban ndryshore, domethënë është numër, atëherë shkalla e tij konsiderohet e barabartë me zero.

Për shembull, shkalla e monomit 8x3yz2 është 6, monomi 6x është 1 dhe monomi -10 është 0.

Shumëzimi i monomëve. Ngritja e monomëve në një fuqi

Gjatë shumëzimit të monomëve dhe rritjes së monomëve në një fuqi, përdoret rregulli për shumëzimin e fuqive me bazë të njëjtë dhe rregulli për ngritjen e një fuqie në një fuqi. Në këtë rast, fitohet një monom, i cili zakonisht përfaqësohet në formë standarde.

Për shembull

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6