Baza e kernelit të matricës. Formimi i një matrice të një imazhi integral me perceptim të veçantë të elementeve të një objekti kompleks

Sqarimi i parimeve të integrimit të informacionit diskret gjatë perceptimit të veçantë të elementeve të një objekti kompleks është një problem urgjent ndërdisiplinor. Artikulli diskuton procesin e ndërtimit të një imazhi të një objekti, i cili është një kompleks blloqesh, secila prej të cilave kombinon një grup elementësh të vegjël. Si objekt studimi u zgjodh një situatë konflikti, pasi ishte vazhdimisht në fushën e vëmendjes me një strategji të vazhdueshme për analizimin e informacionit. Rrethanat e situatës ishin përbërës të objektit dhe u perceptuan veçmas si prototipe të konfliktit. Detyra e kësaj pune ishte të shprehte matematikisht një matricë që pasqyronte imazhin e një situate problematike të sjelljes. Zgjidhja e problemit u bazua në të dhënat nga një analizë vizuale e dizajnit të një përbërje grafike, elementët e së cilës korrespondonin me rrethanat e situatës. Madhësia dhe veçoritë grafike të elementeve të përzgjedhur, si dhe shpërndarja e tyre në përbërje, shërbyen si një udhëzues për identifikimin e rreshtave dhe kolonave në matricën e imazhit. Studimi tregoi se dizajni i matricës përcaktohet, së pari, nga motivimi i sjelljes, së dyti, nga marrëdhëniet shkak-pasojë të elementeve të situatës dhe sekuenca e marrjes së informacionit, dhe gjithashtu, së treti, nga përzgjedhja e pjesëve. të informacionit në përputhje me parametrat e peshës së tyre. Mund të supozohet se parimet e shënuara të vektorit të matricës për formimin e një imazhi të një situate të sjelljes janë karakteristike për ndërtimin e imazheve dhe objekteve të tjera ndaj të cilave drejtohet vëmendja.

vizualizimi

perceptimi

diskretiteti i informacionit

1. Anokhin P.K. Ese mbi fiziologjinë e sistemeve funksionale. – M.: Mjekësi, 1985. – 444 f.

2. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Algjebra lineare: libër shkollor për universitetet. - botimi i 6-të. – M.: Fizmatlit, 2004. -280 f.

3. Lavrov V.V. Truri dhe psikika. – Shën Petersburg: RGPU, 1996. – 156 f.

4. Lavrov V.V., Lavrova N.M. Ndikimi i agresionit në integritetin, integritetin, vlerën dhe subjektivitetin e imazhit të një situate konflikti // Psikologjia njohëse: kërkimi ndërdisiplinor dhe praktikat integruese. – Shën Petersburg: VVM, 2015. – F. 342-347.

5. Lavrov V.V., Rudinsky A.V. Triada e strategjive të përpunimit të informacionit kur njohin imazhe vizuale jo të plota // Kërkim themelor. – 2014 – Nr.6 (2). – fq 375-380.

6. Lavrova N.M., Lavrov V.V., Lavrov N.V. Ndërmjetësimi: marrja e vendimeve të përgjegjshme. – M: OPPL, 2013. – 224 f.

7. Shelepin Yu.E., Chikhman V.N., Foreman N. Analiza e studimeve të perceptimit të imazheve të fragmentuara - perceptimi dhe perceptimi holistik bazuar në veçoritë informative // ​​Gazeta Ruse Fiziologjike. 2008. – T. 94. Nr.7. – F. 758-776.

Rezultatet e studimeve të perceptimit të imazheve jo të plota kanë zgjeruar këndvështrimin e studimit të parimeve që përcaktojnë integrimin e informacionit diskret dhe montimin e imazheve të plota. Analiza e veçorive të njohjes së imazheve të fragmentuara kur paraqitet me një numër në ndryshim të fragmenteve bëri të mundur gjurmimin e tre strategjive për ndërtimin e një imazhi të plotë në kushtet e mungesës së informacionit. Strategjitë ndryshonin në vlerësimin e rëndësisë së informacionit të disponueshëm për formimin e një imazhi koherent. Me fjalë të tjera, çdo strategji karakterizohej nga manipulimi i parametrave të peshës së informacionit të disponueshëm. Strategjia e parë parashikonte ekuivalencën e fragmenteve të imazhit - identifikimi i tij u krye pas akumulimit të informacionit në një nivel të mjaftueshëm për një kuptim të plotë të objektit të paraqitur. Strategjia e dytë bazohej në një qasje të diferencuar për vlerësimin e peshës së pjesëve të informacionit të disponueshëm. Vlerësimi është dhënë në përputhje me hipotezën e paraqitur në lidhje me thelbin e objektit. Strategjia e tretë u përcaktua nga motivimi për të shfrytëzuar në maksimum informacionin e disponueshëm, të cilit iu dha një peshë e madhe dhe konsiderohej si shenjë apo prototip i një objekti real. Një pikë e rëndësishme në punën e mëparshme ishte shqyrtimi i mekanizmave të trurit që sigurojnë një ndryshim në strategji në varësi të emocionit dominues dhe motivimit të sjelljes. Kjo i referohet sistemeve jospecifike të trurit dhe heterogjenitetit të moduleve nervore që veprojnë nën kontrollin e kontrollit qendror. Studimet e kryera, si ato të njohura nga burimet letrare, lanë të hapur çështjen e parimeve të shpërndarjes së informacionit në një imazh të plotë. Për t'iu përgjigjur pyetjes, ishte e nevojshme të vëzhgohej formimi i imazhit të objektit në të cilin vëmendja është përqendruar për një kohë të gjatë dhe strategjia e zgjedhur për ndërtimin e imazhit mbetet e pandryshuar. Një situatë konflikti mund të shërbente si objekt i tillë, pasi ishte vazhdimisht në fushën e vëmendjes, ndërsa strategjia e dytë e analizës së rrethanave mbeti konstante. Palët në mosmarrëveshje hodhën poshtë strategjinë e parë për shkak të rritjes së kohëzgjatjes së konfliktit dhe nuk zbatuan strategjinë e tretë, duke shmangur vendimet e gabuara.

Synimi Kjo punë synonte të sqaronte parimet e ndërtimit të një matrice imazhi bazuar në elementet e informacionit të marrë përmes perceptimit të veçantë të përbërësve të një objekti kompleks, të cilit i drejtohej vëmendja. Ne zgjidhëm problemet e mëposhtme: së pari, zgjodhëm një objekt në të cilin vëmendja u përqendrua për një kohë të gjatë të qëndrueshme, së dyti, përdorëm metodën e vizualizimit të imazhit për të gjurmuar fragmentimin e informacionit të marrë gjatë perceptimit të objektit, dhe më pas, së treti, për të formuluar parimet e fragmenteve të shpërndarjes integrale në matricë.

Materialet dhe metodat e kërkimit

Një situatë problematike e sjelljes shërbeu si një objekt shumëkomponentësh që ishte i qëndrueshëm në fushën e vëmendjes me një strategji të pandryshuar për analizimin e informacionit të disponueshëm. Problemi është shkaktuar nga konflikti në marrëdhëniet mes familjarëve, si dhe punonjësve të institucioneve industriale dhe arsimore. Eksperimentet në të cilat u analizua imazhi i situatës i paraprinë ndërmjetësimit që synonte zgjidhjen e kontradiktave ndërmjet palëve në mosmarrëveshje. Përpara fillimit të negociatave të ndërmjetësimit, përfaqësuesit e palëve në mosmarrëveshje morën një ofertë për të marrë pjesë si subjekte në eksperimente duke përdorur një teknikë që lehtëson analizën e situatës. Teknika e vizualizimit përfshin ndërtimin e një përbërje grafike që pasqyronte ndërtimin e imazhit që u ngrit gjatë perceptimit të veçantë të përbërësve të një objekti kompleks. Teknika shërbeu si një mjet për studimin e proceseve të formimit të një imazhi integral nga një grup elementësh që korrespondojnë me detajet e objektit. Grupi i subjekteve përbëhej nga 19 gra dhe 8 burra të moshës nga 28 deri në 65 vjeç. Për të marrë një imazh të plotë vizual të situatës, subjekteve iu kërkua të kryenin veprimet e mëposhtme: 1) të rivendosin në kujtesën e tyre rrethanat e situatës së konfliktit - ngjarjet, marrëdhëniet me njerëzit, motivet për sjelljen e tyre dhe ata përreth tyre; 2) vlerësojnë rrethanat sipas rëndësisë së tyre për të kuptuar thelbin e situatës; 3) ndani rrethanat në të favorshme dhe të pafavorshme për zgjidhjen e konfliktit dhe përpiquni të gjurmoni marrëdhëniet e tyre; 4) zgjidhni, sipas mendimit tuaj, një element grafik të përshtatshëm (rreth, katror, ​​trekëndësh, vijë ose pikë) për secilën nga rrethanat që karakterizojnë situatën; 5) formoni një përbërje nga elementë grafikë, duke marrë parasysh rëndësinë dhe marrëdhënien e rrethanave të përcjella nga këta elementë, dhe vizatoni përbërjen që rezulton në një copë letër. U analizuan kompozimet grafike - u vlerësuan rregullsia dhe raporti i madhësisë së elementeve të imazhit. Përbërjet e rastësishme dhe të çrregullta u refuzuan dhe subjekteve iu kërkua të rishqyrtonin ndërlidhjen e rrethanave të situatës. Rezultatet e analizës së përgjithësuar të përbërjes shërbyen si një udhëzues për formulimin e shprehjes matematikore të matricës së imazhit.

Rezultatet e hulumtimit dhe diskutimi

Çdo përbërje grafike përmes së cilës subjekti përfaqësonte ndërtimin e imazhit të një situate të sjelljes ishte origjinale. Shembuj të kompozimeve janë ilustruar në figurë.

Kompozime grafike që pasqyrojnë imazhe të situatave problematike të sjelljes në të cilat ndodheshin subjektet (çdo element i përbërjes korrespondon me rrethanat e situatës)

Veçantia e kompozimeve dëshmoi për qasjen e përgjegjshme të subjekteve ndaj analizës së situatave, duke marrë parasysh veçoritë e tyre dalluese. Numri i elementeve në kompozicion dhe dimensioni i elementeve, si dhe dizajni i kompozimit, pasqyruan vlerësimin e kompleksit të rrethanave.

Pasi u vu re origjinaliteti i kompozimeve, studimi iu drejtua identifikimit të veçorive themelore të dizajnit të imazhit. Në përpjekje për të ndërtuar një përbërje integrale që pasqyron imazhin e situatës, subjektet shpërndanë elementë në përputhje me preferencat e tyre individuale, si dhe duke marrë parasysh marrëdhëniet shkak-pasojë të rrethanave dhe kombinimin e rrethanave me kalimin e kohës. Shtatë subjekte preferuan të montonin kompozimin në formën e një vizatimi, ndërtimi i të cilit u përcaktua nga një plan figurativ i paracaktuar. Në Fig. 1 (a, b, d) jep shembuj të përbërjeve të tilla. Para se të hartonin përbërjen, dy subjekte zgjodhën idenë që formoi bazën e planit me vetëdije, dhe pesë në mënyrë intuitive, pa dhënë një shpjegim logjik se pse u vendosën në opsionin e zgjedhur. Njëzet subjektet e mbetura krijuan një përbërje skematike, duke i kushtuar vëmendje vetëm marrëdhënieve shkak-pasojë të rrethanave dhe kombinimit të rrethanave në kohë (Fig. 1, c, e, f). Rrethanat e lidhura dhe të rastësishme u kombinuan në përbërje. Eksperimentet nuk e interpretuan thelbin e konfliktit duke përdorur të dhënat e përbërjes grafike. Ky interpretim u krye më pas në kuadër të ndërmjetësimit, kur u konstatua gatishmëria e palëve për të negociuar.

Analiza e kompozimeve bëri të mundur gjurmimin jo vetëm të ndryshimit, por edhe universalitetit të parimeve të formimit të imazhit të një situate. Së pari, kompozimet përbëheshin nga elementë grafikë, secila prej të cilave pasqyronte rrethana që kishin një të përbashkët. Përbashkësia e rrethanave ishte për shkak të marrëdhënieve shkak-pasojë dhe kohore. Së dyti, rrethanat ishin të një rëndësie të pabarabartë për të kuptuar thelbin e situatës problematike. Kjo do të thotë, rrethanat ndryshonin në parametrat e peshës. Rrethanat shumë domethënëse u përshkruan me elementë grafikë në një madhësi më të madhe në krahasim me ato më pak të rëndësishme. Karakteristikat e shënuara të figurës u morën parasysh gjatë përpilimit të matricës së imazhit. Kjo do të thotë se madhësia dhe veçoritë grafike të elementeve të përzgjedhur, si dhe pozicioni i tyre hapësinor në përbërjen grafike, shërbyen si udhërrëfyes për ndërtimin e një matrice informacioni që pasqyronte imazhin e situatës dhe ishte modeli i saj matematikor. Një matricë drejtkëndore, e përfaqësuar si një tabelë, ndahet në rreshta dhe kolona. Në lidhje me imazhin e situatës problemore që po formohej, në matricë u identifikuan rreshta, të cilat përmbanin elementë të peshuar të prototipave, të bashkuar nga marrëdhëniet shkak-pasojë dhe kohore, dhe kolona që përmbajnë të dhëna elementare që ndryshonin në parametrat e peshës.

(1)

Çdo linjë individuale pasqyronte formimin e një pjese të imazhit ose, me fjalë të tjera, një prototip të objektit. Sa më shumë linja dhe sa më i madh m, aq më totalisht perceptohej objekti, pasi u morën parasysh më plotësisht vetitë strukturore dhe funksionale që shërbenin si prototipe të tij. Numri i kolonave n u përcaktua nga numri i detajeve të shënuara gjatë ndërtimit të prototipit. Mund të supozohet se sa më shumë fragmente informacioni me peshë të lartë dhe të ulët të grumbulloheshin, aq më plotësisht prototipi korrespondonte me realitetin. Matrica (1) karakterizohej nga dinamizëm, pasi dimensioni i saj ndryshoi në përputhje me plotësinë e imazhit të objektit të perceptuar.

Është e përshtatshme të theksohet këtu se plotësia nuk është treguesi i vetëm i cilësisë së imazhit. Imazhet e paraqitura në kanavacat e artistëve janë shpesh inferiorë ndaj fotografive për sa i përket detajeve dhe korrespondencës me realitetin, por në të njëjtën kohë ato mund të jenë superiore në shoqërimin me imazhe të tjera, në stimulimin e imagjinatës dhe në provokimin e emocioneve. Vërejtja e bërë ndihmon për të kuptuar rëndësinë e parametrave amn, duke treguar peshën e fragmenteve të informacionit. Shtimi në peshë kompensoi mungesën e të dhënave të disponueshme. Siç ka treguar një studim i strategjive për tejkalimin e pasigurisë, njohja e rëndësisë së lartë të pjesëve të disponueshme të informacionit përshpejtoi vendimmarrjen në një situatë problematike.

Pra, procesi i formimit të një imazhi integral mund të interpretohet nëse e lidhim atë me manipulimin e informacionit brenda matricës. Manipulimi shprehet me një ndryshim të vullnetshëm ose të pavullnetshëm (të pavetëdijshëm të vetëdijshëm, të qëllimshëm ose intuitiv) në parametrat e peshës së fragmenteve të informacionit, domethënë një ndryshim në vlerën e amn. Në këtë rast, vlera bm, e cila karakterizon rëndësinë e prototipit, rritet ose zvogëlohet, dhe në të njëjtën kohë imazhi që rezulton br ndryshon. Nëse i drejtohemi modelit të matricës së formimit të imazhit, që mbulon një grup të dhënash në lidhje me një objekt, atëherë organizimi i imazhit përshkruhet si më poshtë. Le të shënojmë vektorin e paraimazheve që përmbajnë m komponentë me

ku T është shenja e transpozimit dhe çdo element i vektorit të paraimazhit ka formën:

Pastaj zgjedhja e imazhit që rezulton mund të kryhet sipas rregullit të Laplace:

ku br është rezultati përfundimtar i formimit të një imazhi të ngurtë, i cili ka si përbërës vlerat bm, amn është një grup vlerash që përcaktojnë parametrat e pozicionit dhe peshës së ndryshores në rreshtin që korrespondon me imazhin paraprak. . Në kushtet e informacionit të kufizuar, rezultati përfundimtar mund të rritet duke rritur peshën e të dhënave të disponueshme.

Në fund të diskutimit të materialit të paraqitur në lidhje me parimet e formimit të imazhit, tërhiqet vëmendja në nevojën për të specifikuar termin "imazh", pasi nuk ka një interpretim përgjithësisht të pranuar në literaturë. Termi, para së gjithash, nënkupton formimin e një sistemi integral të fragmenteve të informacionit që korrespondojnë me detajet e objektit në fushën e vëmendjes. Për më tepër, detaje të mëdha të objektit pasqyrohen nga nënsistemet e fragmenteve të informacionit që përbëjnë prototipet. Objekti mund të jetë një objekt, fenomen, proces, si dhe një situatë sjelljeje. Formimi i një imazhi sigurohet nga shoqatat e informacionit të marrë dhe atij që përmbahet në kujtesë dhe shoqërohet me objektin e perceptuar. Konsolidimi i fragmenteve dhe shoqatave të informacionit gjatë krijimit të një imazhi realizohet brenda kornizës së një matrice, dizajni dhe vektori i së cilës zgjidhen me vetëdije ose intuitë. Zgjedhja varet nga preferencat e vendosura nga motivimet e sjelljes. Këtu, vëmendje e veçantë i kushtohet pikës themelore - diskretitetit të informacionit të përdorur për të mbledhur matricën integrale të imazhit. Integriteti, siç tregohet, sigurohet nga sistemet jo specifike të trurit që kontrollojnë proceset e analizës së informacionit të marrë dhe integrimin e tij në kujtesë. Integriteti mund të ndodhë në vlera minimale prej n dhe m të barabarta me një. Imazhi fiton vlerë të lartë për shkak të rritjes së parametrave të peshës së informacionit në dispozicion, dhe plotësia e figurës rritet me rritjen e vlerave të n dhe m (1).

konkluzioni

Vizualizimi i elementeve të imazhit bëri të mundur gjurmimin e parimeve të dizajnit të tij në kushte të perceptimit të veçantë të rrethanave të një situate problematike të sjelljes. Si rezultat i punës së kryer, u tregua se ndërtimi i një imazhi të plotë mund të konsiderohet si shpërndarja e fragmenteve të informacionit në strukturën e matricës. Dizajni dhe vektori i tij përcaktohen, së pari, nga motivimi i sjelljes, së dyti, nga marrëdhëniet shkak-pasojë të rrethanave dhe sekuenca kohore e marrjes së informacionit, dhe së treti, nga përzgjedhja e pjesëve të informacionit në përputhje me parametrat e peshës së tyre. Integriteti i matricës së imazhit sigurohet nga integrimi i informacionit diskret që pasqyron objektin e perceptuar. Sistemet jo specifike të trurit përbëjnë mekanizmin përgjegjës për integrimin e informacionit në një imazh koherent. Sqarimi i parimeve të matricës së formimit të imazhit të një objekti kompleks zgjeron perspektivën e të kuptuarit të natyrës jo vetëm të integritetit, por edhe të vetive të tjera të imazhit. Kjo i referohet integritetit dhe sigurisë së sistemit të imazhit, si dhe vlerës dhe subjektivitetit të shkaktuar nga mungesa e informacionit të plotë në lidhje me objektin.

Lidhje bibliografike

Përkufizimi 1. Imazhi i një operatori linear A është bashkësia e të gjithë elementëve të përfaqësuar në formën , ku .

Imazhi i operatorit linear A është një nënhapësirë ​​lineare e hapësirës. Dimensioni i tij quhet rangu i operatorit A.

Përkufizimi 2. Bërthama e një operatori linear A është bashkësia e të gjithë vektorëve për të cilët .

Bërthama është një nënhapësirë ​​lineare e hapësirës X. Dimensioni i saj quhet defekti i operatorit A.

Nëse operatori A vepron në hapësirën -dimensionale X, atëherë relacioni i mëposhtëm + = është i vlefshëm.

Operatori A quhet jo i degjeneruar, nëse thelbi i saj . Rangu i një operatori jo të degjeneruar është i barabartë me dimensionin e hapësirës X.

Le të jetë matrica e transformimit linear A të hapësirës X në disa baza, atëherë koordinatat e imazhit dhe imazhit të anasjelltë lidhen me relacionin

Prandaj, koordinatat e çdo vektori kënaqin sistemin e ekuacioneve

Nga kjo rrjedh se bërthama e një operatori linear është një guaskë lineare e sistemit themelor të zgjidhjeve të një sistemi të caktuar.

Detyrat

1. Vërtetoni se rangu i një operatori është i barabartë me gradën e matricës së tij në baza arbitrare.

Llogaritni bërthamat e operatorëve linearë të përcaktuar në një bazë të caktuar të hapësirës X nga matricat e mëposhtme:

5. Vërtetoni se .

Llogaritni gradën dhe defektin e operatorëve të dhënë nga matricat e mëposhtme:

6. . 7. . 8. .

3. Eigenvectors dhe eigenvalues ​​të operatorit linear

Le të shqyrtojmë një operator linear A që vepron në hapësirën dimensionale X.

Përkufizimi. Numri l quhet eigenvlera e operatorit A nëse , i tillë që . Në këtë rast, vektori quhet eigenvektor i operatorit A.

Vetia më e rëndësishme e eigenvektorëve të një operatori linear është se eigenvektorët që korrespondojnë me eigenvlera të ndryshme në çift. i pavarur në mënyrë lineare.

Nëse matrica e operatorit linear A është në bazë të hapësirës X, atëherë vlerat vetjake l dhe eigenvektorët e operatorit A përcaktohen si më poshtë:

1. Eigenvlerat gjenden si rrënjët e ekuacionit karakteristik (ekuacioni algjebrik i shkallës së th):

2. Koordinatat e të gjithë eigjenvektorëve të pavarur linearisht që korrespondojnë me secilën vlerë të veçantë fitohen duke zgjidhur një sistem ekuacionesh lineare homogjene:

matrica e të cilit ka rang . Zgjidhjet themelore të këtij sistemi janë vektorët e kolonave të koordinatave të vektorëve vetjakë.

Rrënjët e ekuacionit karakteristik quhen gjithashtu eigenvlerat e matricës, dhe zgjidhjet e sistemit quhen eigenvectors të matricës.

Shembull. Gjeni eigenvektorët dhe eigenvlerat e operatorit A, të specifikuara në një bazë të caktuar nga matrica

1. Për të përcaktuar eigenvlerat, ne hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin karakteristik:

Prandaj eigenvalue, shumëfishimi i saj.

2. Për të përcaktuar eigenvektorët, ne hartojmë dhe zgjidhim një sistem ekuacionesh:

Sistemi ekuivalent i ekuacioneve bazë ka formën

Prandaj, çdo vektor vetjak është një vektor kolone, ku c është një konstante arbitrare.

3.1.Operator i një strukture të thjeshtë.

Përkufizimi. Një operator linear A që vepron në një hapësirë ​​n-dimensionale quhet operator me strukturë të thjeshtë nëse korrespondon saktësisht me n eigjenvektorë të pavarur linearisht. Në këtë rast, është e mundur të ndërtohet një bazë hapësire nga eigenvektorët e operatorit, në të cilën matrica e operatorit ka formën më të thjeshtë diagonale.

ku janë eigenvlerat e operatorit. Natyrisht, e kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse në një bazë të hapësirës X matrica e operatorit ka një formë diagonale, atëherë baza përbëhet nga eigenvektorët e operatorit.

Një operator linear A është një operator me strukturë të thjeshtë nëse dhe vetëm nëse secila eigjenvlerë e shumëfishtë korrespondon me eigjenvektorë saktësisht të pavarur linearisht. Meqenëse eigenvektorët janë zgjidhje për një sistem ekuacionesh, prandaj, secila rrënjë e ekuacionit karakteristik të shumëfishimit duhet të korrespondojë me një matricë të renditjes.

Çdo matricë e madhësisë që korrespondon me një operator të thjeshtë strukture është e ngjashme me një matricë diagonale

ku matrica e kalimit T nga baza origjinale në bazën e vetvektorëve ka si kolona vektorët e kolonës nga koordinatat e eigenvektorëve të matricës (operatori A).

Shembull. Reduktoni matricën e operatorit linear në formë diagonale

Le të krijojmë një ekuacion karakteristik dhe të gjejmë rrënjët e tij.

Nga vijnë vlerat vetjake të shumëfishimit dhe shumëfishimit?

Eigenvlera e parë. Ai korrespondon me eigenvektorët, koordinatat e të cilëve janë

zgjidhje sistemi

Renditja e këtij sistemi është 3, kështu që ekziston vetëm një zgjidhje e pavarur, për shembull, vektori .

Eigenvektorët që korrespondojnë përcaktohen nga sistemi i ekuacioneve

rangu i të cilit është 1 dhe për këtë arsye ekzistojnë tre zgjidhje linearisht të pavarura, për shembull,

Kështu, çdo eigenvalue e shumëfishimit korrespondon me eigenvektorë saktësisht linearisht të pavarur dhe, për rrjedhojë, operatori është një operator me strukturë të thjeshtë. Matrica e tranzicionit T ka formën

dhe lidhja ndërmjet matricave të ngjashme përcaktohet nga relacioni

Detyrat

Gjeni eigenvectors dhe eigenvalues

operatorë linearë të përcaktuar në një bazë të caktuar nga matricat:

Përcaktoni se cili nga operatorët linearë të mëposhtëm mund të reduktohet në formë diagonale duke kaluar në një bazë të re. Gjeni këtë bazë dhe matricën e saj përkatëse:

10. Vërtetoni se eigenvektorët e një operatori linear që korrespondojnë me eigjenvlera të ndryshme janë linearisht të pavarur.

11. Vërtetoni se nëse një operator linear A që vepron në , ka n vlera të ndryshme, atëherë çdo operator linear B ndërron me A, ka një bazë të vektorëve vetjakë, dhe çdo eigjenvektor i A do të jetë gjithashtu eigjenvektor i B.

NËNHAPËSIRA INVARIANE

Përkufizimi 1.. Një nënhapësirë ​​L e një hapësire lineare X thuhet se është e pandryshueshme nën operatorin A që vepron në X nëse për çdo vektor i përket edhe imazhi i tij.

Vetitë kryesore të nënhapësirave të pandryshueshme përcaktohen nga marrëdhëniet e mëposhtme:

1. Nëse dhe janë nënhapësira invariante në lidhje me operatorin A, atëherë shuma dhe kryqëzimi i tyre janë gjithashtu të pandryshueshme në lidhje me operatorin A.

2. Nëse hapësira X zbërthehet në një shumë të drejtpërdrejtë të nënhapësirave dhe () dhe është invariante në lidhje me A, atëherë matrica e operatorit në bazë, e cila është një bashkim bazash, është një matricë blloku.

ku janë matricat katrore, 0 është një matricë zero.

3. Në çdo nënhapësirë ​​të pandryshueshme në lidhje me operatorin A, operatori ka të paktën një vektor eigen.

Shembulli 1. Le të shqyrtojmë bërthamën e një operatori A që vepron në X. Sipas përkufizimit. Le . Pastaj, meqenëse vektori zero është i përfshirë në çdo nënhapësirë ​​lineare. Rrjedhimisht, kerneli është një invariant nënhapësirë ​​nën A.

Shembulli 2. Le të jepet në një bazë të hapësirës X operatori A nga një matricë e përcaktuar nga ekuacioni dhe

5. Vërtetoni se çdo nënhapësirë ​​që është invariante nën një operator A jo të degjeneruar do të jetë gjithashtu invariante nën operatorin e anasjelltë.

6. Lëreni transformimin linear të një hapësire A-dimensionale në bazë të saj të ketë një matricë diagonale me elementë të ndryshëm në diagonale. Gjeni të gjitha nënhapësirat invariante nën A dhe përcaktoni numrin e tyre.

NË hapësirë ​​vektoriale V mbi një fushë arbitrare P vendosur në lineare operatori .

Përkufizimi 9.8. Bërthamë operatori linear  është bashkësia e vektorëve në hapësirë V, imazhi i të cilit është vektori zero. Pranuar shënim për këtë grup: Ker, d.m.th.

Ker = {x | (X) = o}.

Teorema 9.7. Bërthama e një operatori linear është një nënhapësirë ​​e hapësirës V.

Përkufizimi 9.9. Dimensioni thirret bërthama e një operatori linear defekt operator linear. dim Ker = d.

Përkufizimi 9.10.Në një mënyrë operatori linear  është bashkësia e imazheve vektorët e hapësirës V. Shënim për këtë grup Une jam, d.m.th. Une jam = {(X) | X V}.

Teorema 9.8. Imazhi operatori linear është një nënhapësirë ​​e hapësirës V.

Përkufizimi 9.11. Dimensioni quhet imazhi i një operatori linear gradë operator linear. i zbehtë Une jam = r.

Teorema 9.9. Hapësirë Vështë shuma e drejtpërdrejtë e kernelit dhe imazhit të operatorit linear të specifikuar në të. Shuma e renditjes dhe defektit të një operatori linear është e barabartë me dimensionin e hapësirës V.

Shembulli 9.3. 1) Në hapësirë R[x] ( 3) gjeni gradën dhe defektin operatori diferencimi. Le të gjejmë ato polinome derivati ​​i të cilëve është i barabartë me zero. Prandaj, këto janë polinome të shkallës zero Ker = {f | f = c) Dhe d= 1. Derivatet e polinomeve, shkalla e të cilëve nuk i kalon tre, formojnë një grup polinomesh, shkalla e të cilëve nuk i kalon dy, pra, Une jam =R[x] ( 2) dhe r = 3.

2) Nëse lineare operatori jepet nga një matricë M(), atëherë për të gjetur bërthamën e tij duhet zgjidhur ekuacioni ( X) = O, e cila në formën e matricës duket kështu: M()[x] = [O]. Nga Nga kjo rrjedh se baza e bërthamës së një operatori linear është grupi themelor i zgjidhjeve të një sistemi homogjen ekuacionesh lineare me matricën kryesore M(). Sistemi i gjeneratorëve të imazhit të një operatori linear përbëjnë vektorët ( e 1), (e 2), …, (e n). Baza e këtij sistemi vektorësh jep bazën e imazhit të operatorit linear.

9.6. Operatorë linearë të kthyeshëm

Përkufizimi9.12. Linear thirret operatori  e kthyeshme, nëse ekziston lineare operatori ψ të tilla çfarë po bëhet barazia ψ = ψ = , ku  është operatori i identitetit.

Teorema 9.10. Nëse lineare operatori  e kthyeshme, Se operatori ψ përkufizohet në mënyrë unike dhe quhet e kundërta Për operatori .

Në këtë rast operatori, anasjellta e operatorit , shënohet  –1.

Teorema 9.11. Operator linear  është i kthyeshëm nëse dhe vetëm nëse matrica e tij është e kthyeshme M(), ndërsa M( –1) = (M()) –1 .

Nga kjo teoremë rezulton se rangu i një operatori linear të kthyeshëm është i barabartë me dimensionet hapësirë, dhe defekti është zero.

Shembulli 9.4 1) Përcaktoni nëse linear është i kthyeshëm operatori , nëse ( x) = (2X 1 – X 2 , –4X 1 + 2X 2).

Zgjidhje. Le të krijojmë një matricë për këtë operator linear: M() = . Sepse
= 0 pastaj matrica M() është i pakthyeshëm, që do të thotë se është i pakthyeshëm dhe linear operatori .

2) Gjej lineare operatori, mbrapa operatori , nëse (x) = (2X 1 + X 2 , 3X 1 + 2X 2).

Zgjidhje. Matrica e kësaj lineare operator i barabartë me M() =
, është i kthyeshëm, pasi | M()| ≠ 0. (M()) –1 =
, pra  –1 = (2X 1 – X 2 , –3X 1 + 2X 2).