Enakost matrik, enakovredne matrike. Ekvivalentne matrice Elementarne transformacije sistemov

Naš neposredni cilj je dokazati, da je mogoče katero koli matriko z osnovnimi transformacijami reducirati na nekatere standardne oblike. Jezik enakovrednih matrik je uporaben na tej poti.

Naj bo. Rekli bomo, da je matrika l_ekvivalentna (n_ekvivalentna ali enakovredna) matriki in označili (ali), če je matriko mogoče pridobiti iz matrice z uporabo končnega števila vrstnih (oziroma stolpnih ali vrstnih in stolpnih) osnovnih transformacij. Jasno je, da sta n_ekvivalentni in n_ekvivalentni matriki enakovredni.

Najprej bomo pokazali, da lahko katero koli matriko le s pretvorbo vrstic zmanjšamo na posebno obliko, imenovano reducirana.

Naj bo. Pravijo, da ima vrstica te matrice, ki ni nič, zmanjšano obliko, če vsebuje element, enak 1, da so vsi elementi stolpca, razen, enaki nič. Označeni element ene vrstice se bo imenoval vodilni element te vrstice in ga zaprl v krog. Z drugimi besedami, vrstica matrike ima zmanjšano obliko, če ta matrika vsebuje stolpec oblike

Na primer v naslednji matrici

vrstica ima zmanjšano obliko, saj. Upoštevajte, da v tem primeru element tudi trdi, da je vodilni element vrstice. V nadaljevanju, če je v vrstici danega tipa več elementov, ki imajo lastnosti vodilnega, bomo na poljuben način izbrali le enega od njih.

Matrica naj bi imela zmanjšano obliko, če ima vsaka njena vrstica, ki ni enaka nič, zmanjšano obliko. Na primer matrika

ima zmanjšano obliko.

Predlog 1.3 Za vsako matriko obstaja l_ekvivalentna matrika zmanjšane oblike.

Dejansko, če ima matrika obliko (1.1) in potem po izvedbi osnovnih transformacij v njej

dobimo matriko

v kateri ima vrstica zmanjšano obliko.

Drugič, če bi se vrstica v matriki zmanjšala, se bo po izvedbi osnovnih transformacij (1.20) vrstica matrike zmanjšala. Dejansko je od danega stolpec takšen

potem pa se in posledično po izvedbi transformacij (1.20) stolpec ne spremeni, tj. ... Zato ima vrstica zmanjšano obliko.

Zdaj je jasno, da bomo z izmeničnim spreminjanjem vsake ničelne vrstice matrike na zgornji način po končnem številu korakov dobili matriko zmanjšane oblike. Ker so bile za pridobitev matrike uporabljene le osnovne vrstne transformacije, je l_ekvivalent matriki. >

Primer 7. Konstruirajte matriko zmanjšane oblike, l_ekvivalentna matrika

Enakovredne matrice

Kot je navedeno zgoraj, je molekul matrike reda s determinanta matrike, sestavljene iz elementov izvirne matrike, ki se nahajajo na presečišču vseh izbranih s vrstic in s stolpcev.

Opredelitev. V matrici reda mn se minor reda r imenuje osnovni, če ni enak nič, vse manjše vrstice r + 1 in višje pa so enake nič ali pa sploh ne obstajajo, t.j. r se ujema z manjšim od m ali n.

Stolpci in vrstice matrike, na kateri se nahaja osnovni manjši, se imenujejo tudi osnovni.

Matrika ima lahko več različnih osnovnih mladoletnikov z istim vrstnim redom.

Opredelitev. Vrstni red osnovnega mola matrice se imenuje rang matrice in je označen z Rg A.

Zelo pomembna lastnost transformacij osnovnih matrik je, da ne spreminjajo ranga matrike.

Opredelitev. Matrice, pridobljene kot posledica elementarne transformacije, imenujemo enakovredne.

Treba je opozoriti, da so enake matrice in enakovredne matrice popolnoma različni pojmi.

Izrek. Največje število linearno neodvisnih stolpcev v matrici je enako številu linearno neodvisnih vrstic.

Ker elementarne transformacije ne spremenijo uvrstitve matrike, potem lahko postopek iskanja ranga matrike bistveno poenostavimo.

Primer. Določite rang matrike.

2. Primer: Določite rang matrike.

Če z uporabo osnovnih transformacij ni mogoče najti matrike, enakovredne prvotni, vendar manjše velikosti, se mora iskanje ranga matrike začeti z izračunom mladoletnikov najvišjega možnega reda. V zgornjem primeru so to mladoletniki 3. reda. Če vsaj eden od njiju ni enak nič, potem je rang matrike enak vrstnemu redu tega mladoletnika.

Osnovni manjši izrek.

Izrek. V poljubni matrici A je vsak stolpec (vrstica) linearna kombinacija stolpcev (vrstic), v katerih se nahaja osnovni minor.

Tako je rang poljubne matrike A enak največjemu številu linearno neodvisnih vrstic (stolpcev) v matrici.

Če je A kvadratna matrika in je det A = 0, potem je vsaj eden od stolpcev linearna kombinacija drugih stolpcev. Enako velja za strune. Ta trditev izhaja iz lastnosti linearne odvisnosti z determinanto enako nič.

Reševanje poljubnih sistemov linearnih enačb

Kot smo že omenili, se matrična metoda in Cramerjeva metoda uporabljata samo za tiste sisteme linearnih enačb, v katerih je število neznanih enako številu enačb. Nato razmislite o poljubnih sistemih linearnih enačb.

Opredelitev. Sistem m enačb z n neznankami je na splošno zapisan na naslednji način:

kjer so aij koeficienti, bi pa konstante. Rešitve sistema so n številk, ki ob zamenjavi v sistem spremenijo vsako njegovo enačbo v istovetnost.

Opredelitev. Če ima sistem vsaj eno rešitev, se imenuje skupni. Če sistem nima ene same rešitve, se imenuje nedosledna.

Opredelitev. Sistem se imenuje dokončen, če ima samo eno rešitev, in nedoločen, če je več.

Opredelitev. Za sistem linearnih enačb je matrika

A = se imenuje matrika sistema in matrika

A * = imenovana razširjena matrika sistema

Opredelitev. Če je b1, b2, ..., bm = 0, potem sistem imenujemo homogen. homogeni sistem je vedno združljiv, saj vedno ima ničelno rešitev.

Elementarne sistemske transformacije

Osnovne preobrazbe vključujejo:

1) K obema delom ene enačbe dodamo ustrezne dele druge, pomnožene z istim številom, ki ni enako nič.

2) Permutacija enačb na mestih.

3) Odstranitev iz sistema enačb, ki so identitete za vse x.

Izrek Kronecker - Capeli (pogoj združljivosti sistema).

(Leopold Kronecker (1823-1891) nemški matematik)

Izreka: Sistem je skladen (ima vsaj eno rešitev), če in samo, če je rang sistemske matrice enak rang razširjene matrike.

Očitno je, da je sistem (1) mogoče zapisati kot.

Prehod na novo podlago.

Naj bosta (1) in (2) dve bazi istega m-dimenzionalnega linearnega prostora X.

Ker je (1) osnova, je možno nanjo razširiti vektorje druge osnove:

Iz koeficientov pri sestavimo matriko:

(4) - matrična transformacija koordinat pri prehodu iz osnove (1) v osnovo (2).

Naj vektor, nato (5) in (6).

Relacija (7) to pomeni

Matrica P je nedegenerirana, saj bi sicer prišlo do linearnega razmerja med njenimi stolpci in nato med vektorji.

Velja tudi obratno: vsaka nedegenerirana matrika je matrika koordinatne transformacije, definirana s formulami (8). Ker P je nedegenerirana matrika, potem je zanjo obratno. Če obe strani (8) pomnožimo z, dobimo: (9).

Naj bodo v linearnem prostoru X izbrane 3 baze: (10), (11), (12).

Kje, tj. (13).

To. pri zaporednem preoblikovanju koordinat je matrika nastale transformacije enaka produktu matrik komponent transformacije.

Naj bo linearni operater in v X izbran par baz: (I) in (II) ter v Y - (III) in (IV).

Operator A v parih osnov I - III ustreza enakosti: (14). Enakost (15) ustreza istemu operatorju v parih podlag II - IV. To. za dani operator A imamo dve matrici in. Med njima želimo vzpostaviti odnos.

Naj bo P matrika transformacije koordinat pri prehodu iz I v III.

Naj bo Q matrika transformacije koordinat pri prehodu iz II v IV.

Nato (16), (17). Če izraze za in iz (16) in (17) nadomestimo z (14), dobimo:

Če primerjamo to enakost s (15), dobimo:

Relacija (19) povezuje matriko istega operaterja na različnih podlagah. V primeru, ko prostora X in Y sovpadata, vlogo III osnove igra I, IV pa II, potem je razmerje (19) v obliki :.

Bibliografija:

3. Kostrikin A.I. Uvod v algebro. del II. Osnove algebre: učbenik za univerze, -M. : Fizikalna in matematična literatura, 2000, 368 str.

Predavanje številka 16 (II semester)

Tema: Nujen in zadosten pogoj za enakovrednost matric.

Pokličemo dve matriki, A in B, enake velikosti enakovredenče obstajata dve nedegenerirani matrici R in S, tako da (1).

Primer: Dve matriki, ki ustrezata istemu operatorju za različne izbire baz v linearnih prostorih X in Y, sta enakovredni.

Jasno je, da je razmerje, opredeljeno na množici vseh matric enake velikosti z uporabo zgornje definicije, razmerje enakovrednosti.

Izreka 8: Da bi bili dve pravokotni matriki enake velikosti enakovredni, je potrebno in zadostuje, da sta enakega ranga.

Dokaz:

1. Naj bosta A in B dve matrici, za katere je smiselno. Uvrstitev produkta (matrika C) ni višja od ranga vsakega od dejavnikov.

Vidimo, da je k-ti stolpec matrike C linearna kombinacija vektorjev stolpcev matrike A in to velja za vse stolpce matrice C, tj. za vse. To. , tj. - podprostor linearnega prostora.

Ker je dimenzija podprostora manjša ali enaka dimenziji prostora, je rang matrike C manjši ali enak rangu matrike A.

Popravimo indeks i v enačbah (2) in vse možne vrednosti dodelimo k od 1 do s. Nato dobimo sistem enakosti, podoben sistemu (3):

Iz enačb (4) je razvidno, da je i-ta vrstica matrike C linearna kombinacija vrstic matrice B za vse i, nato pa je linearni trup, ki ga raztezajo vrstice matrike C, vsebovan v linearnem razponu trupa z vrsticami matrike B, potem pa je dimenzija tega linearnega trupa manjša ali enaka dimenziji linearnega trupa vektorjev vrstic matrike B, kar pomeni, da je rang matrike C manjši od ali enako rangu matrike B.

2. Uvrstitev produkta matrike A na levi in ​​desni strani z nedegenerirano kvadratno matrico Q je enaka rangu matrike A. (). Tisti. rang matrike C je enak rang matrike A.

Dokaz: Glede na dokazano v primeru (1). Ker je matrika Q nedegenerirana, zanjo obstaja: in v skladu s tem, kar je bilo dokazano v prejšnji izjavi.

3. Dokažimo, da če so matrice enakovredne, imajo enake uvrstitve. Po definiciji sta A in B enakovredna, če sta R in S taka. Ker pomnoževanje A na levi z R in na desni s S daje matrike istega ranga, kot je dokazano v točki (2), je rang A enak rangu B.

4. Naj bosta matriki A in B istega ranga. Dokazimo, da sta enakovredna. Razmislite.

Naj sta X in Y dva linearna prostora, v katerem sta izbrani bazi (osnova X) in (osnova Y). Kot veste, vsaka matrika oblike definira neki linearni operater, ki deluje od X do Y.

Ker je r rang matrike A, je med vektorji ravno r linearno neodvisnih vektorjev. Brez izgube splošnosti lahko domnevamo, da so prvi vektorji r linearno neodvisni. Nato so vsi drugi linearno izraženi skozi njih in lahko napišete:

Novo osnovo v prostoru X opredelimo na naslednji način :. (7)

Nova osnova v prostoru Y je naslednja:

Vektorji so po pogoju linearno neodvisni. Dopolnimo jih z nekaterimi vektorji do osnove Y: (8). (7) in (8) sta torej dve novi bazi X in Y. Poiščimo matriko operaterja A v teh bazah:

Torej je v novem paru baz matrika operaterja A matrika J. Matrica A je bila prvotno poljubna pravokotna matrika oblike, ranga r. Ker so matrice istega operaterja v različnih bazah enakovredne, to kaže, da je vsaka pravokotna matrika oblike ranga r enakovredna J. Ker imamo opravka z razmerjem enakovrednosti, to kaže, da sta kateri koli dve matrici A in B oblika in rang r, ki sta enakovredna matriki J, sta si enakovredna.

Bibliografija:

1. Voevodin V.V. Linearna algebra. Saint Petersburg: Lan, 2008, 416 str.

2. Beklemishev DV Tečaj analitične geometrije in linearne algebre. Moskva: Fizmatlit, 2006, 304 str.

3. Kostrikin A.I. Uvod v algebro. del II. Osnove algebre: učbenik za univerze, -M. : Fizikalna in matematična literatura, 2000, 368 str.

Predavanje številka 17 (II semester)

Tema: Lastne vrednosti in lastni vektorji. Lastni prostori. Primeri.

Pogosto se srečujeta s koncepti enakosti in enakovrednosti matric.

Opredelitev 1

Matrika $ A = \ left (a_ (ij) \ right) _ (m \ times n) $ se imenuje enaka matrici $ B = \ left (b_ (ij) \ right) _ (k \ times l) $ , če njihove dimenzije $ (m = k, n = l) $ sovpadajo in so ustrezni elementi primerjanih matrik med seboj enaki.

Za matrice 2. reda, zapisane v splošni obliki, lahko enakost matric zapišemo na naslednji način:

Primer 1

Podane matrice:

1) $ A = \ left (\ begin (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ start ( matrika) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (niz) \ desno) $;

2) $ A = \ left (\ start (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ start ( matrika) (c) (-3) \\ (2) \ end (niz) \ desno) $;

3) $ A = \ left (\ begin (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ start ( matrika) (cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \ end (matrika) \ desno) $.

Ugotovite, ali so matrice enake.

1) $ A = \ left (\ begin (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ start ( matrika) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (niz) \ desno) $

Matriki A in B imata enak vrstni red 2 $ \ krat $ 2. Ustrezni elementi primerjanih matrik so enaki, zato so matrice enake.

2) $ A = \ left (\ start (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ start ( matrika) (c) (-3) \\ (2) \ end (niz) \ desno) $

Matrici A in B imata različna naročila, enaka 2 $ \ krat $ 2 in 2 $ \ krat $ 1.

3) $ A = \ left (\ begin (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ start ( matrika) (cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \ end (niz) \ desno) $

Matriki A in B imata enak vrstni red 2 $ \ krat $ 2. Vendar niso vsi ustrezni elementi primerjanih matrik enaki, zato matrice niso enake.

Opredelitev 2

Elementarna matrična transformacija je takšna preobrazba, pri kateri se ohrani enakovrednost matrik. Z drugimi besedami, elementarna preobrazba ne spremeni nabora rešitev sistema linearnih algebrskih enačb (SLAE), ki ga podana matrika predstavlja.

Elementarne transformacije matričnih nizov vključujejo:

• pomnoževanje vrstice matrike z ničelnim številom $ k $ (determinanta matrice se poveča za $ k $ krat);
• permutacija poljubnih dveh vrstic matrike;
• dodajanje elementov druge vrstice elementom ene vrstice matrike.

Enako velja za stolpce matrike in se imenujejo osnovne transformacije stolpcev.

Opredelitev 3

Če smo iz matrike A s pomočjo elementarne transformacije prešli na matriko B, potem izvirnik in nastale matrice imenujemo enakovredne. Za označevanje enakovrednosti matric uporabite znak "$ \ sim $", na primer $ A \ sim B $.

Primer 2

Glede na matriko: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2) & (3) \ end (matrika) \ desno) $.

Izvedite osnovne transformacije matričnih vrstic po vrsti.

Zamenjajmo prvo vrstico in drugo vrstico matrike A:

Pomnožimo prvo vrstico matrike B s številko 2:

Dodajte prvo vrstico v drugo vrstico matrike:

Opredelitev 4

Stopničasta matrika je matrika, ki izpolnjuje naslednje pogoje:

• če je v matriki ničelna vrstica, so tudi vse vrstice pod njo nič;
• prvi neničelni element vsake ničelne črte mora biti nameščen strogo desno od vrtilnega elementa na črti nad to črto.

Primer 3

Matrice $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \ end (matrika) \ desno) $ in $ B = \ levo (\ start (niz) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \ end (matrika) \ desno) $ sta matriki korakov.

Komentiraj

Z enakovrednimi transformacijami je mogoče matriko zmanjšati v stopnjevano obliko.

Primer 4

Glede na matriko: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2) & (3) \ end (matrika) \ desno) $. Zmanjšajte matriko v stopničasto obliko.

Zamenjajmo prvo in drugo vrstico matrike A:

Pomnožimo prvo vrstico matrike B s številko 2 in jo dodamo v drugo vrstico:

Pomnožimo prvo vrstico matrike C s številko -1 in jo dodamo v tretjo vrstico:

Drugo vrstico D pomnožite s številko -2 in jo dodajte v tretjo vrstico:

$ K = \ left (\ begin (array) (ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \ end (matrika) \ desno) $ je stopničasta matrika.