Katere harmonike vsebuje Fourierjeva vrsta z intervalom. Razgradnja periodičnih nesinusnih krivulj v trigonometrični Fourierjevi vrsti

Razgradnja periodičnih nesinusnih funkcij

Splošne opredelitve

1. del. Teorija linearnih vezij (nadaljevanje)

ELEKTROTEHNIKA

TEORETIČNE OSNOVE

Učbenik za študente elektroenergetskih smeri

T. Električna vezja periodičnega nesinusnega toka

Kot veste, je v elektroenergetski industriji sinusna oblika sprejeta kot standardna oblika za tokove in napetosti. Vendar se lahko v realnih pogojih oblike krivulj tokov in napetosti do neke mere razlikujejo od sinusnih. Popačenja v oblikah krivulj teh funkcij v sprejemnikih vodijo do dodatnih izgub energije in zmanjšanja njihove učinkovitosti. Sinusna oblika krivulje napetosti generatorja je eden od kazalcev kakovosti električne energije kot blaga.

Možni so naslednji razlogi za izkrivljanje oblike krivulj tokov in napetosti v zapletenem vezju:

1) prisotnost v električnem tokokrogu nelinearnih elementov, katerih parametri so odvisni od trenutnih vrednosti toka in napetosti [ R, L, C=f(u, i)], (na primer usmerniki, električne varilne enote itd.);

2) prisotnost v električnem vezju parametričnih elementov, katerih parametri se sčasoma spreminjajo [ R, L, C=f(t)];

3) vir električne energije (trifazni generator) zaradi konstrukcijskih značilnosti ne more zagotoviti idealne sinusne oblike izhodne napetosti;

4) vpliv v kompleksu zgoraj naštetih dejavnikov.

Nelinearna in parametrična vezja so obravnavana v ločenih poglavjih predmeta TOE. To poglavje raziskuje obnašanje linearnih električnih tokokrogov, ko so izpostavljeni virom energije z nesinusno valovno obliko.

Iz tečaja matematike je znano, da je vsaka periodična funkcija časa f(t), ki izpolnjuje Dirichletove pogoje, lahko predstavimo s harmonično Fourierjevo vrsto:

tukaj A 0 - konstantna komponenta, - k-th harmonična komponenta ali skrajšano k jaz sem harmonika. Prva harmonika se imenuje osnovna, vse naslednje harmonike pa najvišja.

Amplitude posameznih harmonik A do niso odvisni od načina razširitve funkcije f(t) v Fourierjevo vrsto, medtem ko so začetne faze posameznih harmonikov odvisne od izbire časovne reference (izvora).

Posamezne harmonike Fourierjeve serije lahko predstavimo kot vsoto sinusnih in kosinusnih komponent:

Potem bo celotna Fourierjeva serija dobila obliko:

Razmerja med koeficienti obeh oblik Fourierjevega niza so:

Če k th harmonik ter njegove sinusne in kosinusne komponente se nadomestijo s kompleksnimi števili, potem je razmerje med koeficienti Fourierove serije mogoče predstaviti v kompleksni obliki:

Če je periodična nesinusna funkcija časa podana (ali jo je mogoče izraziti) analitično v obliki matematične enačbe, potem so koeficienti Fourierjevega niza določeni s formulami, znanimi iz tečaja matematike:

V praksi je raziskana nesinusna funkcija f(t) je običajno zastavljena v obliki grafičnega diagrama (grafično) (slika 118) ali v obliki tabele koordinat točk (tablično) v intervalu ene periode (tabela 1). Za izvedbo harmonske analize takšne funkcije v skladu z zgornjimi enačbami jo je treba najprej nadomestiti z matematičnim izrazom. Zamenjava funkcije, podane grafično ali tabelarično, z matematično enačbo se imenuje približek funkcije.

2.1. Spektri periodičnih signalov

Periodični signal (tok ali napetost) se imenuje takšen vpliv, ko se valovna oblika ponovi po določenem časovnem intervalu T ki se imenuje obdobje. Najenostavnejša oblika periodičnega signala je harmonični signal ali sinusni val, za katerega so značilni amplituda, obdobje in začetna faza. Vsi drugi signali bodo neharmonično oz nesinusni. Lahko se pokaže in praksa to dokazuje, da če je vhodni signal napajalnika periodičen, bodo tudi vsi ostali tokovi in ​​napetosti v vsaki veji (izhodni signali) periodični. V tem primeru se bodo valovne oblike v različnih vejah med seboj razlikovale.

Obstaja splošna tehnika za preučevanje periodičnih neharmoničnih signalov (vhodnih dejanj in njihovih reakcij) v električnem vezju, ki temelji na razgradnji signalov v Fourierjevo vrsto. Ta tehnika je sestavljena iz dejstva, da je vedno mogoče izbrati več harmoničnih (tj. sinusoidnih) signalov s takšnimi amplitudami, frekvencami in začetnimi fazami, katerih algebrska vsota ordinat je v vsakem trenutku enaka ordinati proučevanega nesinusni signal. Torej, na primer napetost u na sl. 2.1. se lahko nadomesti z vsoto napetosti in , saj se v vsakem trenutku zgodi enaka enakost: . Vsak od izrazov je sinusoid, katerega frekvenca nihanja je povezana z obdobjem T celoštevilska razmerja.

Za obravnavani primer imamo obdobje prve harmonike, ki sovpada z obdobjem neharmoničnega signalaT 1 = T, obdobje druge harmonike pa je dvakrat manjšeT 2 = T/2, tj. trenutne vrednosti harmonikov je treba zapisati kot:

Tu so amplitude harmoničnih nihanj med seboj enake ( ), začetne faze pa so enake nič.

riž. 2.1. Primer seštevanja prve in druge harmonike

neharmonski signal

V elektrotehniki imenujemo harmonsko komponento, katere obdobje je enako obdobju neharmoničnega signala. najprej oz osnovni signalne harmonike. Vse druge komponente se imenujejo višje harmonične komponente. Harmonika, katere frekvenca je k-krat večja od prve harmonike (in obdobje k-krat manjša), se imenuje

k - th harmonik. Dodelite tudi povprečno vrednost funkcije za obdobje, ki se imenuje nič harmonika. V splošnem primeru je Fourierjeva vrsta zapisana kot vsota neskončnega števila harmoničnih komponent različnih frekvenc:

kjer je k harmonično število; - kotna frekvenca k - th harmonika;

ω 1 \u003d ω = 2 π / T- kotna frekvenca prve harmonike; - nič harmonika.

Za pogosto pojavljajoče se valovne oblike lahko v specializirani literaturi najdemo razširitev Fourierove serije. Tabela 2 prikazuje razširitve za osem valovnih oblik. Opozoriti je treba, da se bodo razširitve, podane v tabeli 2, zgodile, če je izvor koordinatnega sistema izbran, kot je prikazano na slikah na levi; pri spreminjanju izvora časa t začetne faze harmonikov se bodo spremenile, medtem ko bodo amplitude harmonikov ostale enake. Glede na vrsto preučevanega signala je treba V razumeti bodisi kot vrednost, izmerjeno v voltih, če je napetostni signal, ali vrednost, izmerjeno v amperih, če je tokovni signal.

Razširitev periodičnih funkcij v Fourierjevo vrsto

tabela 2

Signala 7 in 8 generirajo iz sinusoida vezja vrat.

Nabor harmoničnih komponent, ki tvorijo nesinusni signal, imenujemo spekter tega neharmoničnega signala. Iz tega niza harmonikov razlikujejo in razlikujejo amplituda in faza obseg. Amplitudni spekter je niz amplitud vseh harmonikov, ki je običajno predstavljen z diagramom v obliki niza navpičnih črt, katerih dolžine so sorazmerne (v izbrani lestvici) z amplitudnimi vrednostmi harmonike komponent, mesto na vodoravni osi pa določa frekvenca (harmonično število) te komponente. Podobno se fazni spektri obravnavajo kot niz začetnih faz vseh harmonikov; prikazani so tudi v merilu kot niz navpičnih črt.

Treba je opozoriti, da je v elektrotehniki običajno meriti začetne faze v območju od -180 0 do +180 0. Spektri, sestavljeni iz posameznih linij, se imenujejo podložena ali diskretna. Spektralne črte so na razdalji f narazen, kje f- frekvenčni interval, enak frekvenci prve harmonike f.Tako imajo diskretni spektri periodičnih signalov spektralne komponente z več frekvencami - f, 2f, 3f, 4f, 5f itd.

Primer 2.1. Poiščite amplitudo in fazni spekter pravokotnega signala, ko sta trajanja pozitivnih in negativnih signalov enaka in je povprečna vrednost funkcije v obdobju nič

Za signale preprostih, pogosto uporabljenih oblik je priporočljivo poiskati rešitev s pomočjo tabel.

riž. 2.2. Linearni amplitudni spekter pravokotnega signala

Iz Fourierjeve ekspanzije pravokotnega signala (glej tabele 2 - 1) izhaja, da harmonski niz vsebuje le lihe harmonike, medtem ko se amplitude harmonikov zmanjšujejo sorazmerno s številom harmonikov. Amplitudni linijski spekter harmonikov je prikazan na sl. 2.2. Pri konstruiranju se predpostavlja, da je amplituda prve harmonike (tukaj napetost) enaka enemu voltu: B; potem bo amplituda tretje harmonike enaka B, pete - B itd. Začetne faze vseh harmonikov signala so enake nič, zato ima fazni spekter le nič vrednosti ordinat.

Problem rešen.

Primer 2.2.Poiščite amplitudo in fazni spekter za napetost, ki se spreminja v skladu z zakonom: pri - T/4<t<T/4; u(t) = 0 for T/4<t<3/4T. Takšen signal se oblikuje iz sinusoida z eliminacijo (z vezjem z uporabo ventilskih elementov) negativni del harmonskega signala.

a) b)

riž. 2.3. Linijski spekter polvalovnega usmerjevalnega signala: a) amplituda; b) faza

Za polvalovni usmerjevalni signal sinusoidne napetosti (glej tabele 2-8) Fourierjeva serija vsebuje konstantno komponento (nič harmonika), prvo harmonik in nato niz samo sodih harmonikov, katerih amplitude hitro padajo z naraščajočim harmoničnim številom. Če na primer damo vrednost V = 100 B, potem, pomnožimo vsak člen s skupnim faktorjem 2V/π , najdemo(2.2)

Amplitudni in fazni spektri tega signala so prikazani na sliki 2.3a,b.

Problem rešen.

V skladu s teorijo Fourierovih vrst je natančna enakost neharmoničnega signala vsoti harmonikov le za neskončno veliko število harmonikov. Izračun harmoničnih komponent na računalniku omogoča analizo poljubnega števila harmonikov, ki je določena z namenom izračuna, natančnostjo in obliko neharmoničnih učinkov. Če je trajanje signalat ne glede na obliko, veliko manj obdobja T, potem se bodo amplitude harmonikov počasi zmanjševale, za popolnejši opis signala pa je treba upoštevati veliko število členov v nizu. To lastnost je mogoče zaslediti za signale, predstavljene v tabelah 2 - 5 in 6, pod pogojem, da je pogoj τ <<T. Če je neharmonski signal po obliki blizu sinusoidi (na primer signala 2 in 3 v tabeli 2), potem se harmoniki hitro zmanjšujejo in za natančen opis signala je dovolj, da se omejimo na tri pet harmonikov serije.

Kot veste, je v elektroenergetski industriji sinusna oblika sprejeta kot standardna oblika za tokove in napetosti. Vendar se lahko v realnih pogojih oblike krivulj tokov in napetosti do neke mere razlikujejo od sinusnih. Popačenja v oblikah krivulj teh funkcij v sprejemnikih vodijo do dodatnih izgub energije in zmanjšanja njihove učinkovitosti. Sinusna oblika krivulje napetosti generatorja je eden od kazalcev kakovosti električne energije kot blaga.

Možni so naslednji razlogi za izkrivljanje oblike krivulj tokov in napetosti v zapletenem vezju:

1) prisotnost v električnem tokokrogu nelinearnih elementov, katerih parametri so odvisni od trenutnih vrednosti toka in napetosti (na primer usmerniki, električne varilne enote itd.);

2) prisotnost v električnem tokokrogu parametričnih elementov, katerih parametri se sčasoma spreminjajo;

3) vir električne energije (trifazni generator) zaradi konstrukcijskih značilnosti ne more zagotoviti idealne sinusne oblike izhodne napetosti;

4) vpliv v kompleksu zgoraj naštetih dejavnikov.

Nelinearna in parametrična vezja so obravnavana v ločenih poglavjih predmeta TOE. To poglavje raziskuje obnašanje linearnih električnih tokokrogov, ko so izpostavljeni virom energije z nesinusno valovno obliko.

Iz tečaja matematike je znano, da lahko vsako periodično funkcijo časa f(t), ki izpolnjuje Dirichletove pogoje, predstavimo s harmonično Fourierjevo vrsto:

Tukaj je A0 konstantna komponenta, Ak*sin(kωt+ αk) je k-ta harmonska komponenta ali skratka k-ta harmonika. Prva harmonika se imenuje osnovna, vse naslednje harmonike pa najvišja.

Amplitude posameznih harmonikov Ak niso odvisne od načina razširitve funkcije f(t) v Fourierjevo vrsto, hkrati pa so začetne faze posameznih harmonikov αk odvisne od izbire časovne reference (izvora).

Posamezne harmonike Fourierjeve serije lahko predstavimo kot vsoto sinusnih in kosinusnih komponent:

Potem bo celotna Fourierjeva serija dobila obliko:

Razmerja med koeficienti obeh oblik Fourierjevega niza so:

Če se k-ta harmonika ter njene sinusne in kosinusne komponente nadomestijo s kompleksnimi števili, potem je razmerje med koeficienti Fourierove vrste mogoče predstaviti v kompleksni obliki:

Če je periodična nesinusna funkcija časa podana (ali jo je mogoče izraziti) analitično v obliki matematične enačbe, potem so koeficienti Fourierjevega niza določeni s formulami, znanimi iz tečaja matematike:

V praksi je preučevana nesinusna funkcija f(t) običajno podana v obliki grafičnega diagrama (grafično) (slika 46.1) ali v obliki tabele koordinat točk (tabelarne) v intervalu enega obdobje (tabela 1). Za izvedbo harmonske analize takšne funkcije v skladu z zgornjimi enačbami jo je treba najprej nadomestiti z matematičnim izrazom. Zamenjava funkcije, podane grafično ali tabelarično, z matematično enačbo se imenuje približek funkcije.

Trenutno se harmonska analiza nesinusnih funkcij časa f(t) praviloma izvaja na računalniku. V najpreprostejšem primeru se za matematično predstavitev funkcije uporablja linearna aproksimacija po kosih. Za to je celotna funkcija v intervalu ene polne dobe razdeljena na M = 20-30 odsekov, tako da so posamezni odseki čim bližje ravnim črtam (slika 1). V ločenih odsekih je funkcija aproksimirana z enačbo ravne črte fm(t)=am+bm*t, kjer so aproksimacijski koeficienti (am, bm) določeni za vsak odsek preko koordinat njegovih končnih točk, npr. 1. odsek dobimo:

Obdobje funkcije T je razdeljeno na veliko število integracijskih korakov N, integracijski korak Δt=h=T/N, trenutni čas ti=hi, kjer je i redna številka integracijskega koraka. Določeni integrali v formulah harmonične analize se nadomestijo z ustreznimi vsotami, izračunajo se na računalniku po metodi trapeza ali pravokotnika, na primer:

Za določitev amplitud višjih harmonikov z zadostno natančnostjo (δ≤1%) mora biti število integracijskih korakov vsaj 100k, kjer je k harmonično število.

V tehnologiji se za izolacijo posameznih harmonikov od nesinusnih napetosti in tokov uporabljajo posebne naprave, imenovane harmonični analizatorji.

Fourierjeva transformacija predstavlja najpogosteje uporabljeno sredstvo za pretvorbo poljubne funkcije časa v niz njenih frekvenčnih komponent v ravnini kompleksnega števila. To transformacijo lahko uporabimo za aperiodične funkcije za določitev njihovih spektrov, v tem primeru kompleksnega operaterja s lahko zamenjamo z brki:

Za določitev najbolj zanimivih frekvenc lahko uporabimo numerično integracijo na kompleksni ravnini.

Da bi se seznanili z osnovami obnašanja teh integralov, upoštevamo več primerov. Na sl. 14.6 (levo) prikazuje impulz enote površine v časovni domeni in njegovo spektralno sestavo; v središču - impulz enakega območja, vendar večje amplitude, in na desni - amplituda impulza je neskončna, vendar je njegova površina še vedno enaka enoti. Desna slika je še posebej zanimiva, ker spekter impulzov ničelne širine vsebuje vse frekvence z enakimi amplitudami.

riž. 14.6.

Leta 1822 francoski matematik J. B. J. Fourier(J. B. J. Fourier) je v svojem delu o toplotni prevodnosti pokazal, da je vsako periodično funkcijo mogoče razstaviti na začetne komponente, vključno s ponavljalno frekvenco in nizom harmonikov te frekvence, pri čemer ima vsaka harmonika svojo amplitudo in fazo glede na hitrost ponovitve. . Osnovne formule, uporabljene pri Fourierjevi transformaciji, so naslednje:

kje L 0 je enosmerna komponenta in A" in V"- harmonike osnovne frekvence reda P, v fazi oziroma nasprotni fazi. Funkcija f(x), torej je vsota teh harmonikov in /1 0 .

V primerih, ko je /(.r) simetrično glede na n/2, tj. /(x) v območju od n do 2n = -/(x) v območju od 0 do n in ni enosmerne komponente , Fourierjeve formule -transformacije so poenostavljene na:

kje P - 1,3,5, 7....

Vsi harmoniki so sinusoidi, le nekateri so v fazi, drugi pa v nefazi z osnovno frekvenco. Večino valovnih oblik, ki jih najdemo v močnostni elektroniki, je mogoče na ta način razgraditi v harmonike.

Če Fourierjevo transformacijo uporabimo za pravokotne impulze s trajanjem 120°, bodo harmoniki tvorili niz vrstnega reda k = 6p± 1, kjer P je eno od celih števil. Amplituda vsake harmonike h v odnosu do prvega je s svojim številom povezana z razmerjem h = /k. V tem primeru bo imela prva harmonika amplitudo 1,1-krat večjo od amplitude pravokotnega signala.

Fourierjeva transformacija daje amplitudno vrednost za vsak harmonik, a ker so vsi sinusoidni, se efektivna vrednost dobi preprosto z deljenjem ustrezne amplitude s korenom iz 2. Efektivna vrednost kompleksnega signala je kvadratni koren vsote kvadrate efektivnih vrednosti vsake harmonike, vključno s prvo.

Pri obravnavi ponavljajočih se impulznih funkcij je koristno upoštevati delovni cikel. Če se ponavljajoči impulzi na sl. 14,7 so RMS X med A, nato srednja kvadratna vrednost za čas V bo enak V (D/Š) ( 2. Tako je RMS vrednost ponavljajočih se impulzov sorazmerna s kvadratnim korenom vrednosti delovnega cikla. Če uporabimo to načelo za 120° (obvezni cikel 2/3) pravokotnega impulza z enotno amplitudo, dobimo RMS vrednost (2/3) 12 = 0,8165.

riž. 14.7.

impulzi

Zanimivo je preveriti ta rezultat tako, da seštejemo harmonike, ki ustrezajo omenjenemu kvadratnemu valovu. V tabeli. 14.2 prikazuje rezultate tega seštevanja. Kot vidite, se vse ujema.

Tabela 14.2. Rezultati seštevanja harmonik, ki ustrezajo

periodični signal z delovnim ciklom 2/3 in amplitudo enote

Za namene primerjave je mogoče kateri koli niz harmonikov združiti in določiti ustrezno splošno raven harmonskega popačenja. V tem primeru je srednja kvadratna vrednost signala določena s formulo

kje h- amplituda prve (osnovne) harmonike, a h "- amplituda harmonik reda P > 1.

Komponente, ki so odgovorne za popačenje, lahko zapišemo ločeno kot

kje n> 1. Potem

kje sklad- prva harmonika in THD(THD) bo enako D/sklad.

Čeprav je analiza kvadratnih valov zanimiva, se v resničnem svetu redko uporablja. Preklopni učinki in drugi procesi naredijo pravokotne impulze bolj podobne trapezoidnim ali v primeru pretvornikov z naraščajočim robom, opisanim z izrazom 1 - cos(0), in padajočim robom, opisanim z razmerjem cos(0), kjer je 0 Povečanje v kvadratni val s časom vzpona in padca "zmehča" nabor ustreznih harmonik, tako da se amplituda harmonik višjega reda zmanjša sorazmerno (1/Ar) namesto (1 /do) pri nižjih frekvencah. Pri prikazu odvisnosti teh amplitud od frekvence na papirju z dvojno logaritemsko skalo je naklon ustreznih odsekov tega grafa -2 in -1. Ko se reaktanca ali tok v sistemu poveča, se frekvenca spremembe naklona zmanjša . Praktični rezultat vsega tega je, da so višje harmonike manj pomembne, kot bi si mislili.

Čeprav povečanje reaktanca prispeva k zmanjšanju harmonikov višjega reda, to običajno ni izvedljivo. Bolj zaželeno za zmanjšanje harmoničnih komponent v porabljenem toku je povečanje števila impulzov med popravljanjem ali pretvorbo napetosti, doseženo s faznim zamikom. V zvezi s transformatorji smo se te teme dotaknili v pogl. 7. Če se tiristorski pretvornik ali usmernik napaja iz navitij transformatorja, povezanih z zvezdo in trikotnikom, in sta izhoda pretvornika ali usmernika povezana zaporedno ali vzporedno, potem dobimo 12-ničelno usmerjanje. Zdaj so pridobljena harmonična števila v nizu k = 12P± 1 namesto tega k = 6w ± 1, kjer P je eno od celih števil. Namesto harmonik 5. in 7. reda se zdaj pojavljajo harmoniki 11. in 13. reda, katerih amplituda je precej manjša. Povsem mogoče je uporabiti še več pulzacij, na primer v velikih napajalnikih za elektrokemične instalacije pa se uporabljajo 48-pulzacijski sistemi. Ker veliki usmerniki in pretvorniki uporabljajo vzporedno povezane sklope diod ali tiristorjev, dodatni stroški faznih navitij v transformatorju določajo predvsem njegovo ceno. Na sl. 14.8 prikazuje prednosti 12-pulznega vezja pred 6-pulznim. Harmonika 11. in 13. reda v 12-ničnem vezju imata tipično vrednost amplitude približno 10 % prve harmonike. V vezjih z velikim številom valovanja so harmoniki v redu k = str± 1, kjer R- število pulzacij.

Zaradi zanimanja upoštevajte, da se pari harmoničnih sklopov, ki so preprosto premaknjeni drug glede na drugega za 30°, ne izničijo drug drugega v 6-impulznem vezju. Ti harmonični tokovi tečejo nazaj skozi transformator; tako je potreben dodaten fazni premik, da dobimo možnost njihove vzajemne anihilacije.

Vsi harmoniki niso v fazi s prvim. Na primer, v trifaznem nizu harmonikov, ki ustreza 120° kvadratnemu valovu, se faze harmonikov spreminjajo v skladu z zaporedjem -5., +7., -11., +13. itd. Ko so neuravnotežene v trifaznem lahko pride do enofaznih komponent vezja, kar pomeni potrojenje harmonikov z ničelnim faznim premikom.

riž. 14.8.

Izolacijski transformatorji pogosto obravnavana kot rešitev za harmonične težave. Ti transformatorji dodajo sistemu nekaj reaktanc in s tem pomagajo zmanjšati višje harmonike, vendar so razen zatiranja tokov ničelnega zaporedja in elektrostatične izolacije malo uporabni.

Fourier in Hartley transformirata funkcije časa v funkcije frekvence, ki vsebujejo informacije o amplitudi in fazi. Spodaj so grafi neprekinjene funkcije g(t) in diskretno g(τ), kjer t in τ so trenutki časa.

Obe funkciji se začneta pri nič, skočita na pozitivno vrednost in eksponentno upadata. Po definiciji je Fourierjeva transformacija za neprekinjeno funkcijo integral po celotni realni osi, F(f), za diskretno funkcijo pa vsoto po končnem nizu vzorcev, F(ν):

kje f, ν so frekvenčne vrednosti, n je število vzorčnih vrednosti funkcije in jaz=√ –1 je imaginarna enota. Za teoretične študije je bolj primeren integralni prikaz, za računalniške izračune pa predstavitev v obliki končne vsote. Integralne in diskretne Hartleyjeve transformacije so definirane na podoben način:

Čeprav je edina razlika v zapisu med definicijama Fourier in Hartley prisotnost faktorja pred sinusom, dejstvo, da ima Fourierjeva transformacija tako realni kot imaginarni del, naredi predstavitve obeh transformacij precej različne. Diskretna Fourierjeva in Hartleyeva transformacija imata v bistvu enako obliko kot njuni neprekinjeni analogi.

Čeprav so grafi videti drugače, je mogoče enake informacije o amplitudi in fazi izpeljati iz Fourierjeve in Hartleyjeve transformacije, kot je prikazano spodaj.

Fourierjeva amplituda je določena s kvadratnim korenom vsote kvadratov realnega in namišljenega dela. Hartleyjeva amplituda je podana s kvadratnim korenom vsote kvadratov H(–v) in H(ν). Fourierjeva faza je določena z tangentom loka namišljenega dela, deljeno z realnim delom, Hartleyeva faza pa je določena z vsoto 45° in tangentom loka H(–ν) deljeno z H(ν).