행렬 평등, 등가 행렬. 등가 행렬 시스템의 기본 변환

우리의 즉각적인 목표는 모든 행렬이 다음으로 축소될 수 있음을 증명하는 것입니다. 표준 유형. 이 경로에서는 등가 행렬의 언어가 유용합니다.

허락하다. 행렬은 행렬에 대해 n_equivalent(n_equivalent 또는 Equivalent)라고 말하고 유한한 수의 행(각각 열 또는 행 및 열) 기본 변환을 사용하여 행렬에서 행렬을 얻을 수 있는지 여부를 나타냅니다(또는). n_equivalent 및 n_equivalent 행렬이 동일하다는 것은 분명합니다.

먼저, 우리는 모든 행렬이 감소라고 불리는 행 변환에 의해서만 특별한 형태로 축소될 수 있다는 것을 보여줄 것입니다.

허락하다. 이 행렬의 0이 아닌 행은 1과 같은 요소가 있고 다른 열의 모든 요소가 0과 같다면 축소된 형태를 갖는다고 합니다. 선의 표시된 단일 요소를 이 선의 선행 요소라고 하며 원으로 묶습니다. 즉, 이 행렬이 다음 형식의 열을 포함하는 경우 행렬의 행은 축소된 형식을 갖습니다.

예를 들어 다음 행렬에서

문자열은 축소된 형태를 갖습니다. 이 예에서 요소가 문자열의 선행 요소라고도 주장한다는 사실에 주목합시다. 앞으로 축약된 형태의 라인에 리더의 속성을 가진 요소가 여러 개 있는 경우 그 중 하나만 임의로 선택하도록 하겠습니다.

행렬은 0이 아닌 각 행이 축소된 형태를 갖는다면 축소된 형태를 갖는다고 합니다. 예를 들어, 매트릭스

주어진 형태를 갖는다.

명제 1.3 모든 행렬에는 그에 상응하는 축소된 형태의 행렬이 존재합니다.

실제로 행렬의 형식이 (1.1)인 경우 기본 변환을 수행한 후

우리는 매트릭스를 얻는다

문자열이 축소된 형태를 가집니다.

둘째, 행렬의 행이 축소된 경우 기본 변환(1.20) 후에 행렬 행이 축소됩니다. 실제로, 축소된 열이 있기 때문에 다음과 같은 열이 있습니다.

그러나 결과적으로 변환 (1.20) 후에 열이 변경되지 않습니다. . 따라서 선은 축소된 형태를 갖습니다.

이제 위의 방식으로 행렬의 0이 아닌 각 행을 차례로 변환함으로써 유한한 수의 단계 후에 축소된 형태의 행렬을 얻을 수 있다는 것이 분명합니다. 행렬을 얻기 위해 행 기본 변환만 사용되었으므로 행렬과 l_equivalent입니다. >

예 7. 행렬과 n_동등한 축소 형식의 행렬 구성

등가 행렬

위에서 언급했듯이 s차 행렬의 소수는 선택된 s행과 s열의 교차점에 위치한 원래 행렬의 요소로 구성된 행렬의 행렬식입니다.

정의. 차수 mn의 행렬에서 차수 r의 소수는 0이 아니고 차수 r + 1 이상의 모든 소수가 0과 같거나 전혀 존재하지 않는 경우 기본이라고 합니다. r은 m 또는 n 중 가장 작은 값입니다.

기초 마이너를 포함하는 행렬의 열과 행을 기초라고도 합니다.

동일한 차수를 갖는 행렬에 여러 개의 다른 기초 마이너가 있을 수 있습니다.

정의. 행렬의 기초 소수의 차수는 행렬의 순위라고 하며 Rg A로 표시됩니다.

기본 행렬 변환의 매우 중요한 속성은 행렬의 순위를 변경하지 않는다는 것입니다.

정의. 기본 변환의 결과로 얻은 행렬을 등가라고 합니다.

등가 행렬과 등가 행렬은 완전히 다른 개념입니다.

정리. 행렬에서 선형 독립 열의 가장 큰 수는 선형 독립 행의 수와 같습니다.

왜냐하면 기본 변환은 행렬의 순위를 변경하지 않으므로 행렬의 순위를 찾는 프로세스를 크게 단순화할 수 있습니다.

예시. 행렬의 순위를 결정합니다.

2. 예: 행렬의 순위를 결정합니다.

기본 변환을 사용하는 경우 원래 행렬과 동등하지만 크기가 더 작은 행렬을 찾을 수 없는 경우 행렬의 순위를 찾는 것은 가능한 가장 높은 차수의 소수를 계산하는 것으로 시작해야 합니다. 위의 예에서 이들은 차수가 3의 미성년자입니다. 그 중 적어도 하나가 0과 같지 않으면 행렬의 순위는이 미성년자의 차수와 같습니다.

기초 마이너 정리.

정리. 임의의 행렬 A에서 각 열(행)은 기초 마이너가 위치한 열(행)의 선형 조합입니다.

따라서 임의의 행렬 A의 순위는 행렬의 선형 독립 행(열)의 최대 수와 같습니다.

A가 정사각 행렬이고 det A = 0이면 열 중 하나 이상이 다른 열의 선형 조합입니다. 문자열의 경우에도 마찬가지입니다. 이 명령문은 행렬식이 0인 선형 종속성의 속성에서 따릅니다.

선형 방정식의 임의 시스템 풀기

위에서 언급했듯이 행렬 방법과 Cramer의 방법은 미지수의 수가 방정식의 수와 같은 선형 방정식 시스템에만 적용됩니다. 다음으로, 선형 방정식의 임의 시스템을 고려하십시오.

정의. n개의 미지수가 있는 m개의 방정식 시스템은 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다.

여기서 aij는 계수이고 bi는 상수입니다. 시스템의 솔루션은 n개의 숫자로, 시스템에 대입될 때 각 방정식을 항등식으로 바꿉니다.

정의. 시스템에 하나 이상의 솔루션이 있는 경우 이를 일관성이라고 합니다. 시스템에 솔루션이 없으면 불일치라고 합니다.

정의. 시스템에 해가 하나만 있으면 한정 시스템이라고 하고, 해가 둘 이상 있으면 무기한 시스템이라고 합니다.

정의. 선형 방정식 시스템의 경우 행렬

A = 시스템의 행렬이라고 하며 행렬

A*=는 시스템의 증강 행렬이라고 합니다.

정의. b1, b2, …,bm = 0이면 시스템을 동종 시스템이라고 합니다. 균질한 시스템은 항상 일관성이 있습니다. 항상 제로 솔루션이 있습니다.

시스템의 기본 변환

기본 변환은 다음과 같습니다.

1) 한 방정식의 두 부분에 다른 부분의 해당 부분을 더하고 0이 아닌 동일한 수를 곱합니다.

2) 장소에서 방정식의 순열.

3) 모든 x에 대한 항등식 방정식 시스템에서 제거.

Kronecker-Kapeli 정리(시스템 호환성 조건).

(Leopold Kronecker(1823-1891) 독일 수학자)

정리: 시스템 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 동일한 경우에만 시스템이 일관됩니다(최소 하나의 솔루션이 있음).

분명히 시스템 (1)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

새로운 기반으로 전환합니다.

(1)과 (2)를 동일한 m차원 선형 공간 X의 두 밑이라고 하자.

(1)이 기저이므로 다음과 같이 두 번째 기저의 벡터를 확장할 수 있습니다.

의 계수에서 행렬을 구성합니다.

(4)는 기저(1)에서 기저(2)로의 전환에서 좌표 변환 행렬입니다.

벡터라고 하면 (5)와 (6)이 됩니다.

관계식 (7)은 다음을 의미합니다.

행렬 P는 축퇴하지 않습니다. 그렇지 않으면 열 간에 선형 관계가 있고 벡터 간에도 선형 관계가 있기 때문입니다.

그 반대도 마찬가지입니다. 모든 비축퇴 행렬은 공식 (8)에 의해 정의된 좌표 변환 행렬입니다. 왜냐하면 P는 비축퇴행렬이고 역행렬을 갖습니다. (8)의 두 부분을 곱하면 (9)를 얻습니다.

선형 공간 X에서 (10), (11), (12)의 3개의 염기를 선택한다고 가정합니다.

어디, 즉 (열셋).

저것. 좌표의 순차적 변환의 경우 결과 변환의 행렬은 구성 변환의 행렬의 곱과 같습니다.

선형 연산자를 사용하고 X: (I) 및 (II), Y - (III) 및 (IV)에서 한 쌍의 염기를 선택합니다.

한 쌍의 염기 I - III에 있는 연산자 A는 평등에 해당합니다: (14). 밑수 II – IV의 동일한 연산자는 같음에 해당합니다: (15). 저것. 주어진 연산자 A에 대해 두 개의 행렬 u가 있습니다. 우리는 그들 사이에 종속성을 설정하고자 합니다.

I에서 III로의 전환에서 P를 좌표 변환 행렬이라고 하자.

Q를 II에서 IV로의 전환에서 좌표 변환 행렬이라고 합니다.

그런 다음 (16), (17). (16)과 (17)의 표현을 (14)로 대입하면 다음을 얻습니다.

이 동등성을 (15)와 비교하면 다음을 얻습니다.

관계식(19)은 다른 기수에 있는 동일한 연산자의 행렬과 관련됩니다. 공간 X와 Y가 일치하는 경우 III 기초의 역할은 I에 의해 수행되고 IV는 II-nd에 의해 수행되며 관계 (19)는 다음과 같은 형식을 취합니다. .

서지:

3. 코스리킨 A.I. 대수학 소개. 2부. 대수학의 기초: 대학 교과서, -M. : 물리-수학 문학, 2000, 368 p.

강의 16번 (II 학기)

주제: 행렬의 동등성을 위한 필요 충분 조건.

크기가 같은 두 행렬 A와 B를 동등한, (1)과 같은 두 개의 비특이 행렬 R과 S가 있는 경우.

예시:선형 공간 X와 Y에서 서로 다른 밑 선택에 대해 동일한 연산자에 해당하는 두 행렬은 동일합니다.

위의 정의를 사용하여 동일한 크기의 모든 행렬 집합에 대해 정의된 관계는 등가 관계임이 분명합니다.

정리 8: 크기가 같은 두 개의 직사각형 행렬이 동일하려면 순위가 같아야 하고 충분해야 합니다.

증거:

1. A와 B를 의미가 있는 두 행렬이라고 하자. 곱의 순위(행렬 C)는 각 요인의 순위보다 높지 않습니다.

행렬 C의 k번째 열은 행렬 A의 열 벡터의 선형 결합이며 이는 행렬 C의 모든 열에 대해 적용됩니다. 모든. 저것. , 즉. 선형 공간의 부분 공간입니다.

부분 공간의 차원이 공간의 차원보다 작거나 같기 때문에 행렬 C의 순위는 행렬 A의 순위보다 작거나 같습니다.

등식 (2)에서 인덱스 i를 수정하고 1에서 s까지 가능한 모든 값을 k에 할당합니다. 그런 다음 시스템 (3)과 유사한 평등 시스템을 얻습니다.

방정식 (4)는 다음을 보여줍니다. i번째 행행렬 C는 모든 i에 대한 행렬 B 행의 선형 조합이고 행렬 C의 행에 의해 확장되는 선형 범위는 행렬 B의 행에 의해 확장되는 선형 범위에 포함되고 이 선형 범위의 차원 행렬 B의 행 벡터 선형 범위의 차원보다 작거나 같으므로 행렬 C의 순위는 행렬 B의 순위보다 작거나 같습니다.

2. 행렬 A의 곱의 왼쪽과 오른쪽에 있는 비특이 정방 행렬 Q의 랭크는 행렬 A의 랭크와 같습니다. (). 저것들. 행렬 C의 순위는 행렬 A의 순위와 같습니다.

증거:사례 (1)에서 입증된 바와 같이 . 행렬 Q는 특이하지 않으므로 존재합니다: 그리고 이전 진술에서 증명된 바에 따라.

3. 행렬이 동일하면 순위가 동일함을 증명합시다. 정의에 따르면 R과 S가 있는 경우 A와 B는 동일합니다. A를 왼쪽에서 R로, 오른쪽에서 S를 곱하면 (2)에서 증명된 것처럼 동일한 순위의 행렬이 생성되므로 A의 순위는 B의 순위와 같습니다.

4. 행렬 A와 B가 같은 순위라고 하자. 그것들이 동등하다는 것을 증명합시다. 고려해 봅시다.

X와 Y를 기저(기저 X)와 (기저 Y)가 선택되는 두 개의 선형 공간이라고 하자. 알려진 바와 같이, 형식의 모든 행렬은 X에서 Y로 작용하는 일부 선형 연산자를 정의합니다.

r은 행렬 A의 랭크이므로, 그 사이에는 정확히 r개의 선형 독립 벡터가 있습니다. 일반성을 잃지 않고 첫 번째 r개의 벡터가 선형 독립이라고 가정할 수 있습니다. 그런 다음 나머지는 모두 선형으로 표현되며 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

다음과 같이 공간 X에서 새로운 기저를 정의합니다. (7)

다음과 같이 Y 공간의 새로운 기초:

벡터는 가정에 따라 선형 독립입니다. 기저 Y: (8)까지 몇 가지 벡터로 그것들을 보완합시다. 따라서 (7)과 (8)은 두 개의 새로운 밑이 X와 Y입니다. 다음 밑에서 연산자 A의 행렬을 찾아보겠습니다.

따라서 새로운 기본 쌍에서 연산자 A의 행렬은 행렬 J입니다. 행렬 A는 원래 rank r 형식의 임의의 직사각형 행렬이었습니다. 동일한 연산자의 행렬은 다른 밑에서 동일하므로 순위 r 형식의 모든 직사각형 행렬은 J와 동일하다는 것을 보여줍니다. 등가 관계를 다루기 때문에 이것은 두 행렬 A와 B가 행렬 J와 동일한 형식 및 순위 r은 서로 동일합니다.

서지:

1. Voevodin V.V. 선형 대수학. 상트페테르부르크: Lan, 2008, 416 p.

2. D. V. Beklemishev, 해석 기하학 및 선형 대수학 과정. 모스크바: Fizmatlit, 2006, 304 p.

3. 코스리킨 A.I. 대수학 소개. 2부. 대수학의 기초: 대학 교과서, -M. : 물리 및 수학 문학, 2000, 368 p.

강의 17번 (II 학기)

주제: 고유값 및 고유 벡터. 자신의 부분공간. 예.

종종 행렬의 평등과 등가 개념이 있습니다.

정의 1

$A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ 행렬이 호출됩니다. 행렬과 같음$B=\left(b_(ij) \right)_(k\times l) $ $(m=k,n=l)$ 및 비교 행렬의 해당 요소가 동일한 경우 $.

일반 형식으로 작성된 2차 행렬의 경우 행렬 평등은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

실시예 1

매트릭스 데이터:

1) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( 배열)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(배열)\오른쪽)$;

2) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( 배열)(c) (-3) \\ (2) \end(배열)\오른쪽)$;

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( 배열)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(배열)\오른쪽)$.

행렬이 같은지 확인합니다.

1) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( 배열)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(배열)\right)$

행렬 A와 B는 2$\times $2와 같은 순서를 갖습니다. 비교된 행렬의 대응하는 요소가 동일하므로 행렬이 동일합니다.

2) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( 배열)(c) (-3) \\ (2) \end(배열)\오른쪽)$

행렬 A와 B의 순서는 각각 2$\times $2 및 2$\times $1입니다.

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( 배열)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(배열)\right)$

행렬 A와 B는 2$\times $2와 같은 순서를 갖습니다. 그러나 비교된 행렬의 대응하는 모든 요소가 동일한 것은 아니므로 행렬이 같지 않습니다.

정의 2

행렬의 기본 변환은 행렬의 동등성을 유지하는 변환입니다. 즉, 기본 변환은 주어진 행렬로 표현되는 선형 대수 방정식(SLAE) 시스템의 솔루션 세트를 변경하지 않습니다.

기본 행렬 행 변환에는 다음이 포함됩니다.

• 0이 아닌 수 $k$로 행렬 행의 곱셈(이 경우 행렬의 행렬식은 $k$배로 증가함);
• 행렬의 두 행의 순열;
• 다른 행의 요소 행렬의 한 행의 요소에 추가합니다.

행렬 열에도 동일하게 적용되며 기본 열 변환이라고 합니다.

정의 3

기본 변환의 도움으로 행렬 A에서 행렬 B로 전달한 경우 원래 행렬과 결과 행렬을 등가라고 합니다. 행렬의 동등성을 나타내기 위해 "$ \sim$" 기호가 사용됩니다(예: $A\sim B$).

실시예 2

주어진 행렬: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(array)\right)$.

행렬 행의 기본 변환을 하나씩 수행합니다.

행렬 A의 첫 번째 행과 두 번째 행을 바꿉니다.

행렬 B의 첫 번째 행에 숫자 2를 곱합니다.

행렬의 두 번째 행에 첫 번째 행을 추가해 보겠습니다.

정의 4

단계 행렬은 다음 조건을 충족하는 행렬입니다.

• 행렬에 0 행이 있으면 그 아래의 모든 행도 0입니다.
• null이 아닌 각 행의 null이 아닌 첫 번째 요소는 이 행 위에 있는 행의 선행 요소 오른쪽에 엄격하게 위치해야 합니다.

실시예 3

행렬 $A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(array)\right)$ 및 $B=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \end(array)\right)$는 단계 행렬입니다.

논평

등가 변환을 사용하여 행렬을 계단식 형태로 가져올 수 있습니다.

실시예 4

주어진 행렬: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(array)\right)$. 행렬을 계단형으로 변환합니다.

행렬 A의 첫 번째 행과 두 번째 행을 바꿉니다.

행렬 B의 첫 번째 행에 숫자 2를 곱하고 두 번째 행에 더합니다.

행렬 C의 첫 번째 행에 -1을 곱하고 세 번째 행에 더합니다.

행렬 D의 두 번째 행에 -2를 곱하고 세 번째 행에 더합니다.

$K=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \end(array)\right)$ - 단계 행렬.