단항식의 표준형. 단항 개념

이 수업에서는 단항식의 엄격한 정의를 제공하고 교과서의 다양한 예를 고려합니다. 동일한 밑수로 차수를 곱하는 규칙을 상기해 봅시다. 단항식의 표준 형식, 단항식의 계수 및 그 문자 부분의 정의를 제공하겠습니다. 단항식에 대한 두 가지 기본적인 일반적인 작업, 즉 표준 형식으로의 축소와 주어진 알파벳 변수 값에 대한 단항식의 특정 수치 계산을 고려해 보겠습니다. 단항식을 표준 형식으로 줄이는 규칙을 공식화해 보겠습니다. 우리는 모든 단항식의 일반적인 문제를 해결하는 방법을 배울 것입니다.

주제:단항식. 단항식에 대한 산술 연산

수업:단항식의 개념입니다. 단항식의 표준 유형

몇 가지 예를 고려하십시오.

3. ;

주어진 표현의 공통적인 특징을 찾아보자. 세 가지 경우 모두에서 표현식은 숫자와 변수를 거듭제곱한 결과입니다. 이를 바탕으로 우리는 단항 정의 : 단항식은 도와 숫자의 곱으로 구성된 대수식입니다.

이제 우리는 단항식이 아닌 표현의 예를 제공할 것입니다:

이 표현들과 이전 표현들의 차이점을 찾아봅시다. 예제 4-7에는 덧셈, 뺄셈 또는 나눗셈 연산이 있지만 단항식인 예제 1-3에서는 이러한 연산이 없다는 사실로 구성됩니다.

다음은 몇 가지 예입니다.

식 8은 숫자의 거듭제곱이므로 단항식이지만 예 9는 단식이 아닙니다.

이제 알아보자 단항식에 대한 조치 .

1. 단순화. 예 # 3을 고려하십시오. ; 그리고 예제 # 2 /

두 번째 예에서는 계수가 하나만 표시됩니다. 각 변수는 한 번만 발생합니다. 즉, 변수 " ㅏ"및" "변수와 유사하게" "단일 복사본으로 표시됩니다. 한 번만 발생합니다.

예 # 3에서는 반대로 두 개의 다른 계수가 있습니다. 그리고 변수 ""가 두 번 나타납니다. ""와 ""로, 유사하게 변수 ""가 두 번 발생합니다. 즉, 이 표현은 단순화해야 하므로 단항식에 대해 수행된 첫 번째 작업은 단항식을 표준 형식으로 가져오는 것입니다. ... 이를 위해 예제 3의 표현식을 표준 형식으로 가져온 다음 이 연산을 정의하고 단항식을 표준 형식으로 가져오는 방법을 알아보겠습니다.

예를 들면 다음과 같습니다.

표준 형식으로 변환하는 작업의 첫 번째 단계는 항상 모든 수치 요소를 곱하는 것입니다.

;

이 작업의 결과는 단항 계수 .

다음으로 학위를 곱해야 합니다. 우리는 변수의 거듭제곱을 곱합니다 " 엑스"같은 밑수로 차수를 곱하는 규칙에 따르면, 곱할 때 지수는 다음과 같이 합산됩니다.

이제 우리는 힘을 곱합니다 " ~에»:

;

다음은 단순화된 표현입니다.

;

모든 단항식은 표준 형식으로 축소될 수 있습니다. 공식화하자 표준화 규칙 :

모든 수치 요소를 곱하십시오.

결과 계수를 처음에 넣으십시오.

모든 정도를 곱하십시오. 즉, 문자 부분을 얻으십시오.

즉, 모든 단항식은 계수와 문자 부분을 특징으로 합니다. 앞을 내다보면, 동일한 문자 부분을 가진 단항식을 유사라고 합니다.

이제 당신은 운동해야합니다 단항식을 표준 형식으로 줄이는 기술 ... 자습서의 예를 고려하십시오.

할당: 단항식을 표준 형식으로 가져오고 계수와 문자 부분의 이름을 지정합니다.

작업을 완료하기 위해 단항식을 표준 형식으로 줄이는 규칙과 차수의 속성을 사용합니다.

1. ;

3. ;

첫 번째 예에 대한 의견: 먼저 이 표현식이 실제로 단항식인지 판별합니다. 이를 위해 숫자와 거듭제곱을 곱하는 연산이 포함되어 있는지, 더하기, 빼기 또는 나누기 연산이 포함되어 있는지 확인합니다. 위의 조건을 만족하므로 이 식은 단항식이라고 할 수 있습니다. 또한 단항식을 표준 형식으로 줄이는 규칙에 따라 수치 요소를 곱합니다.

- 주어진 단항식의 계수를 찾았습니다.

; ; ; 즉, 표현식의 리터럴 부분이 수신됩니다.

답을 적어두세요:;

두 번째 예에 대한 의견: 규칙에 따라 다음을 수행합니다.

1) 수치적 요인을 곱합니다.

2) 거듭제곱:

변수는 단일 사본으로 표시됩니다. 즉, 어떤 것과도 곱할 수 없으며 변경 없이 다시 작성되고 차수가 곱해집니다.

답을 적어 봅시다.

;

V 이 예단항식의 계수는 1이고 알파벳 부분은 입니다.

세 번째 예에 대한 의견:이전 예에 대해 택시로 다음 작업을 수행합니다.

1) 수치적 요인을 곱합니다.

;

2) 거듭제곱:

;

답을 쓰다:;

이 경우 단항식의 계수는 ""이고 문자 부분은 .

이제 고려 단항식에 대한 두 번째 표준 연산 ... 단항식은 특정 수치를 취할 수 있는 리터럴 변수로 구성된 대수식이므로 계산해야 하는 산술 수치식이 있습니다. 즉, 다항식에 대한 다음 연산은 특정 숫자 값 계산 .

예를 들어 보겠습니다. 단항식은 다음과 같이 주어집니다.

이 단항식은 이미 표준 형식으로 축소되었으며 계수는 1이고 문자 부분은

앞에서 우리는 대수 표현식이 항상 계산될 수는 없다는 것, 즉 그것에 포함된 변수가 어떤 값도 취할 수 없다고 말했습니다. 단항식의 경우 그 안에 포함된 변수는 무엇이든 될 수 있으며 이것이 단항식의 특징입니다.

따라서 주어진 예에서,,,에서 단항식의 값을 계산하는 것이 필요합니다.

단항식에 대한 초기 정보에는 단항식이 표준 형식으로 축소될 수 있다는 설명이 포함되어 있습니다. 아래 자료에서 이 문제를 더 자세히 고려할 것입니다. 이 작업의 의미를 간략하게 설명하고, 단항식의 표준 형식을 설정하는 단계를 정의하고, 예제를 해결하여 이론을 통합합니다.

단항식을 표준형으로 변환하는 값

단항식을 표준 형식으로 작성하면 작업하기가 더 쉽습니다. 단항식은 비표준 형식으로 주어지는 경우가 많으며, 주어진 단항식을 표준 형식으로 만들기 위해 동일한 변환을 수행해야 합니다.

정의 1

단항식을 표준 형식으로 축소표준 형식으로 기록하기 위해 단항식으로 적절한 조치(동일한 변환)를 실행하는 것입니다.

단항식을 표준형으로 줄이는 방법

비표준 형식의 단항식은 숫자, 변수 및 그 정도의 곱이며 반복이 가능하다는 정의에서 따릅니다. 차례로, 표준 형식의 단항식은 레코드에 하나의 숫자와 반복되지 않는 변수 또는 그 정도만 포함합니다.

비표준 단항식을 표준 형식으로 가져오려면 다음을 사용해야 합니다. 단항식을 표준형으로 줄이는 규칙:

• 첫 번째 단계는 수치 요인, 동일한 변수 및 해당 정도를 그룹화하는 것입니다.
• 두 번째 단계는 숫자의 곱을 계산하고 동일한 밑수로 도의 속성을 적용하는 것입니다.

예 및 솔루션

단항식은 3 x 2 x 2로 주어집니다. . 표준 형식으로 가져와야 합니다.

해결책

수치적 요인과 승수를 변수 x로 그룹화하면 결과적으로 주어진 단항식은 다음과 같은 형식을 취합니다. (3 2) (x x 2) .

괄호 안의 제품은 6입니다. 밑이 같은 거듭제곱의 규칙을 적용하여 괄호 안의 표현식을 다음과 같이 나타냅니다. x 1 + 2 = x 3... 결과적으로 6 · x 3과 같은 표준 형식의 단항식을 얻습니다.

솔루션의 요약은 다음과 같습니다. 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.

대답: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.

실시예 2

a 5 b 2 a m (-1) a 2 b. 그것을 표준 형식으로 가져와 계수를 표시해야합니다.

해결책

주어진 단항식은 그 표기법에 하나의 수치적 요소가 있습니다: - 1, 우리는 그것을 처음으로 넘깁니다. 그런 다음 변수가 있는 요인과 변수 b가 있는 요인을 그룹화합니다. 변수 m을 그룹화할 항목이 없으므로 원래 형식으로 둡니다. 나열된 작업의 결과로 다음을 얻습니다. - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.

괄호 안의 거듭제곱으로 작업을 수행하면 단항식은 표준 형식을 취합니다. (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m . 이 항목에서 단항식의 계수를 쉽게 결정할 수 있습니다. 이는 -1과 같습니다. 빼기 단위를 빼기 기호로 바꾸는 것이 가능합니다. (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.

모든 작업의 ​​요약은 다음과 같습니다.

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

대답:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = - a 8 b 3 m, 주어진 단항식의 계수는 -1입니다.

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수학에는 다양한 수학적 표현이 있으며 그 중 일부는 고유한 이름을 가지고 있습니다. 우리는 그러한 개념 중 하나에 대해 알아야 합니다. 그것은 단항식입니다.

단항식은 숫자, 변수의 곱으로 구성된 수학적 표현이며, 각각은 제품에 어느 정도 포함될 수 있습니다. 새로운 개념을 더 잘 이해하려면 몇 가지 예를 익혀야 합니다.

단항식의 예

식 4, x ^ 2, -3 * a ^ 4, 0.7 * c, ¾ * y ^ 2 단항식입니다.보시다시피, 단 하나의 숫자 또는 변수(제곱이 있든 없든)도 단항식입니다. 그러나 예를 들어 표현식 2 + c, 3 * (y ^ 2) / x, a ^ 2 –x ^ 2는 이미 단항식이 아니다, 정의에 맞지 않기 때문입니다. 첫 번째 표현에서는 두 번째 - "나누기", 세 번째 - 차이에서 허용되지 않는 "합계"가 사용됩니다.

고려하다 몇 가지 예가 더 있습니다.

예를 들어, 2 * a ^ 3 * b / 3 표현식도 단항식이지만 나눗셈도 존재합니다. 그러나 이 경우 나눗셈은 숫자로 발생하므로 해당 표현식은 2/3 * a ^ 3 * b와 같이 다시 작성할 수 있습니다. 한 가지 더 예:표현식 2 / x 및 x / 2 중 단항식과 그렇지 않은 것은 무엇입니까? 정답은 첫 번째 식은 단항식이 아니라 두 번째 식은 단항식이라는 것입니다.

단항식의 표준 유형

다음 두 단항식을 보십시오. ¾ * a ^ 2 * b ^ 3 및 3 * a * 1/4 * b ^ 3 * a. 사실, 이들은 두 개의 동일한 단항식입니다. 첫 번째 표현이 두 번째 표현보다 더 편해 보인다는 것이 사실 아닌가요?

그 이유는 첫 번째 표현식이 표준 형식으로 작성되기 때문입니다. 다항식의 표준형은 수치 인자와 다양한 변수의 거듭제곱으로 구성된 곱입니다. 수치적 요인을 단항식의 계수라고 합니다.

단항식을 표준 형식으로 가져오려면 단항식에 있는 모든 수치 요소를 곱하고 결과 숫자를 맨 처음에 두는 것으로 충분합니다. 그런 다음 기본 문자가 동일한 모든 거듭제곱을 곱합니다.

단항식을 표준 형식으로 축소

우리의 예에서 두 번째 표현식에서 모든 수치 요소 3 * 1/4를 곱한 다음 a * a를 곱하면 첫 번째 단항식을 얻습니다. 이 작업을 단항식을 표준 형식으로 줄이는 작업이라고 합니다.

두 단항식이 수치적 계수로만 다르거나 서로 같은 경우 이러한 단항식은 수학에서 유사라고 합니다.

단항식는 두 개 이상의 요인을 곱한 식으로, 각각은 문자, 숫자 또는 거듭제곱(음이 아닌 정수)으로 표현되는 숫자입니다.

2ㅏ, ㅏ 3 엑스, 4알파벳, -7엑스

동일한 요인의 곱은 차수의 형태로 작성될 수 있으므로 별도로 취한 차수(음수가 아닌 정수 지수 포함)도 단항식입니다.

(-4) 3 , 엑스 5 ,

문자 또는 숫자로 표현되는 숫자(정수 또는 분수)는 이 숫자의 곱으로 1을 곱할 수 있으므로 별도로 취한 숫자도 단항식으로 간주할 수 있습니다.

엑스, 16, -ㅏ,

단항식의 표준 유형

단항식의 표준 유형는 처음에 작성해야 하는 단 하나의 수치 요소를 갖는 단항식입니다. 모든 변수는 알파벳 순서로 되어 있으며 단항식에 한 번만 포함됩니다.

숫자, 변수 및 변수의 차수는 표준 형식의 단항식도 참조합니다.

7, 비, 엑스 3 , -5비 3 지 2 - 표준 유형의 단항식.

표준 형식의 단항식의 수치 인수는 단항 계수... 1 및 -1과 같은 단항 계수는 일반적으로 작성되지 않습니다.

표준 형식의 단항식에 수치 요소가 없으면 단항식의 계수가 1이라고 가정합니다.

엑스 3 = 1 엑스 3

표준 형식의 단항식에 숫자 요소가 없고 그 앞에 빼기 기호가 있는 경우 단항식의 계수는 -1이라고 가정합니다.

-엑스 3 = -1 엑스 3

단항식을 표준 형식으로 축소

단항식을 표준 형식으로 가져오려면 다음이 필요합니다.

1. 수치적 요인이 둘 이상인 경우 곱합니다. 지수가 있는 경우 숫자 인수를 거듭제곱하십시오. 수치적 요소를 먼저 넣어라.
2. 각 변수가 단항식에 한 번만 나타나도록 모든 동일한 변수를 곱합니다.
3. 숫자 요인 뒤에 변수를 알파벳 순서로 정렬합니다.

예시.표준 형식으로 단항식을 제시합니다.

가) 3 yx 2 (-2) 와이 5 엑스; 나) 6 기원전 0.5 ab 3

해결책:

가) 3 yx 2 (-2) 와이 5 엑스= 3 (-2) 엑스 2 엑스와이와이 5 = -6엑스 3 와이 6
나) 6 기원전 0.5 ab 3 = 6 0.5 ab비 3 씨 = 3ab 4 씨

단항식

단항식그 안에 포함된 모든 문자의 지수의 합입니다.

단항식이 숫자인 경우, 즉 변수를 포함하지 않는 경우 해당 차수는 0으로 간주됩니다. 예를 들어:

5, -7, 21 - 0도 단항식.

따라서 단항식의 정도를 찾으려면 포함 된 각 문자의 지수를 결정하고 이러한 지표를 추가해야합니다. 문자 지수가 지정되지 않으면 1과 같습니다.

예:

그래서 잘 지내 엑스지수가 지정되지 않았으므로 1과 같습니다. 단항식은 다른 변수를 포함하지 않으므로 차수가 1입니다.

단항식은 2차 차수에 하나의 변수만 포함하므로 이 단항식의 차수가 2입니다.

3) ab 3 씨 2 디

지시자 ㅏ 1, 지수 비- 3, 표시기 씨- 2, 표시기 디- 1. 주어진 단항식의 차수는 이러한 지표의 합과 같습니다.

단항식은 숫자, 변수 및 그 거듭제곱의 곱입니다. 숫자, 변수 및 그 차수도 단항식으로 간주됩니다. 예: 12ac, -33, a ^ 2b, a, c ^ 9. 단항식 5aa2b2b는 20a ^ 2b ^ 2 형식으로 축소될 수 있습니다. 이 형식을 단항식의 표준 형식이라고 합니다. 즉, 단항식의 표준 형식은 계수(애초부터)와 차수의 곱입니다 변수의. 계수 1과 -1은 기록되지 않지만 -1에서 마이너스를 유지합니다. 단항식과 그 표준형

식 5a2x, 2a3 (-3) x2, b2x는 숫자, 변수 및 그 거듭제곱의 곱입니다. 이러한 표현을 단항식이라고 합니다. 숫자, 변수 및 그 차수도 단항식으로 간주됩니다.

예를 들어, 표현식 - 8, 35, y 및 y2 -는 단항식입니다.

단항식의 표준 형식은 우선 수치적 요인과 다양한 변수의 차수를 곱한 형태의 단항식입니다. 모든 단항식은 여기에 포함된 모든 변수와 숫자를 곱하여 표준 형식으로 줄일 수 있습니다. 다음은 단항식을 표준 형식으로 줄이는 예입니다.

4x2y4 (-5) yx3 = 4 (-5) x2x3y4y = -20x5y5

표준 형식으로 작성된 단항식의 수치적 인수를 단항식의 계수라고 합니다. 예를 들어, 단항식 -7x2y2의 계수는 -7입니다. 단항식 x3 및 -xy의 계수는 x3 = 1x3 및 -xy = -1xy이므로 1 및 -1과 동일한 것으로 간주됩니다.

단항식의 차수는 그것에 포함된 모든 변수의 지수의 합입니다. 단항식에 변수가 포함되어 있지 않은 경우, 즉 숫자인 경우 해당 차수는 0으로 간주됩니다.

예를 들어, 단항식 8x3yz2의 차수는 6, 단항식 6x는 1, 단항식 -10은 0입니다.

단항식의 곱셈. 단항식의 지수화

단항식을 곱하여 단항식을 거듭제곱할 때는 밑수가 같은 거듭제곱을 곱하는 규칙과 거듭제곱을 거듭제곱하는 규칙을 사용합니다. 이 경우 일반적으로 표준 형식으로 표현되는 단항식이 얻어진다.

예를 들어

4x3y2(-3) x2y = 4(-3) x3x2y2y = -12x5y3

((-5) x3y2) 3 = (-5) 3x3 * 3y2 * 3 = -125x9y6