진리표를 기반으로 논리식을 작성하십시오. 부울 대수의 기본 연산

우리는 진술에서 논리적 표현을 구성하고 "진리표"의 개념을 정의하고, 진리표를 구성하기 위한 일련의 작업을 연구하고, 진리표를 작성하여 논리적 표현의 가치를 찾는 방법을 배웁니다.

수업 목표:

1. 교육적인:
   1. 문장에서 논리적 표현을 구성하는 법 배우기
   2. "진실 테이블"의 개념을 소개합니다.
   3. 진리표 구성을 위한 일련의 작업을 조사합니다.
   4. 진리표를 만들어 논리적 표현의 의미를 찾는 법을 가르친다.
   5. 논리적 표현의 등가 개념 도입
   6. 진리표를 사용하여 논리 표현의 동등성을 증명하도록 가르칩니다.
   7. 진리표를 구축하여 논리적 표현의 가치를 찾는 능력 강화
2. 개발 중:
   1. 논리적 사고력을 길러라
   2. 주의력 개발
   3. 기억력을 발달시키다
   4. 학생들의 연설을 발전시키다
3. 교육적인:
   1. 선생님과 반 친구들의 말을 잘 들을 수 있는 능력을 기른다.
   2. 수첩 보관의 정확성 교육
   3. 규율 육성

수업 중

정리 시간

안녕하세요 여러분. 우리는 논리의 기초와 오늘 수업의 주제인 "논리적 표현 구성하기. 진리표 ". 검사 후 이 주제, 진술에서 논리적 형식을 구성하는 방법과 진리표를 컴파일하여 진리를 결정하는 방법을 배웁니다.

숙제 확인

칠판에 가정 문제에 대한 해결책을 적는다
다른 사람들은 수첩을 열어 보겠습니다. 숙제를 어떻게했는지 확인하십시오.
논리 연산을 한 번 더 반복하자
어떤 경우에 논리곱 연산의 결과로 복합 명제가 참이 될까요?
논리적 곱셈 연산의 결과로 형성된 복합 명령문은 포함된 모든 단순 명령문이 참인 경우에만 참입니다.
논리적 덧셈 연산의 결과로 복합 문이 거짓이 되는 경우는 언제입니까?
논리적 덧셈 연산의 결과로 형성된 복합 명령문은 포함된 모든 단순 명령문이 거짓일 때 거짓입니다.
반전은 명령문에 어떤 영향을 줍니까?
반전은 참 진술을 거짓으로 만들고 반대로 거짓을 참으로 만듭니다.
암시에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?
논리적 다음 (함축)은 "if ... then ..."의 전환을 통해 두 개의 진술을 하나로 결합하여 형성됩니다.
표시 ㅏ-> V
논리적 추종(암시)의 연산에 의해 형성된 복합 진술은 참 전제(첫 번째 진술)(두 ​​번째 진술)로부터 거짓 결론이 뒤따르는 경우에만 거짓입니다.
등가의 논리적 연산에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?
논리적 평등 (등가)은 "... if and only if ...", "... if and only if ..."
등가의 논리적 연산에 의해 형성된 복합 명령문은 두 명령문이 동시에 거짓이거나 참인 경우에만 참입니다.

신소재에 대한 설명

좋아, 우리는 우리가 다룬 자료를 반복했고 이제 우리는 새로운 주제로 넘어갑니다.

지난 수업에서는 들어오는 boolean 변수의 초기값을 대입하여 복합문의 의미를 찾았습니다. 그리고 오늘 우리는 간단한 문장(논리변수)의 초기값의 가능한 모든 조합에 대해 논리식의 참 또는 거짓을 결정하는 진리표를 만드는 것이 가능하고 값을 결정하는 것이 가능하다는 것을 배웁니다. 어떤 종류의 결과가 필요한지 아는 초기 논리 변수의

지난 수업의 예를 다시 살펴보겠습니다.

이 복합 진술에 대한 진리표를 작성하십시오.

진리표를 구성할 때 특정 일련의 작업이 있습니다. 적어보자

1. 진리표의 행 수를 결정할 필요가 있습니다.

• 행 수 = 2 n, 여기서 n은 논리 변수의 수입니다.

그들은 그것을 기록했습니다. 진리표 작성
먼저 무엇을 할까요?
테이블의 열 수 결정
어떻게 합니까?
우리는 변수의 수를 계산합니다. 우리의 경우 논리 함수 2개의 변수를 포함
어느?
A와 B
테이블에 몇 개의 행이 있습니까?
진리표의 행 수는 4여야 합니다.
변수가 3개라면?
행 수 = 2³ = 8
오른쪽. 다음에 무엇을 할까요?
열의 수를 결정하십시오 = 부울 변수의 수와 부울 연산의 수를 더한 것입니다.
우리의 경우 얼마나 될까요?
우리의 경우 변수의 개수는 2개이고 논리 연산의 개수는 5개, 즉 진리표의 열 개수는 7개입니다.
괜찮아. 더 멀리?
지정된 수의 행과 열로 테이블을 작성하고 열을 지정하고 초기 논리 변수의 가능한 값 세트를 테이블에 입력하고 진리표를 열로 채 웁니다.
어떤 작업을 먼저 수행할까요? 괄호와 우선순위만 고려
먼저 논리적 부정을 수행하거나 첫 번째 괄호에서 값을 먼저 찾은 다음 역함수와 두 번째 괄호에서 값을 찾은 다음 해당 괄호 사이의 값을 찾을 수 있습니다.

이제 모든 부울 변수 세트에 대한 부울 함수의 값을 결정할 수 있습니다.
이제 "동등한 논리 표현식"항목을 기록합니다.
진리표의 마지막 열이 일치하는 부울 표현식이 호출됩니다. 동등한."=" 기호는 동등한 논리 표현을 나타내는 데 사용되며,
논리식 ┐ А & ┐В와 AvB가 동일함을 증명합시다. 먼저 논리식의 진리표를 구성해 보겠습니다.

테이블에 몇 개의 열이 있습니까? 5
어떤 작업을 먼저 수행할까요? 반전 A, 반전 B

이제 논리식 AvB의 진리표를 작성해 보겠습니다.
테이블에 몇 개의 행이 있습니까? 4
테이블에 몇 개의 열이 있습니까? 4

우리는 전체 표현에 대한 부정을 찾아야 하는 경우 우선 순위가 분리에 속한다는 것을 이해합니다. 따라서 우리는 disjunction을 먼저 수행한 다음 inversion을 수행합니다. 또한 부울 식 AvB를 다시 작성할 수 있습니다. 왜냐하면 개별 변수가 아닌 전체 표현식의 부정을 찾아야 합니다. 그러면 대괄호 ┐(AvB) 외부에서 역행렬을 취할 수 있으며 먼저 대괄호 안의 값을 찾습니다.

테이블을 구축했습니다. 이제 진리표의 마지막 열에 있는 값을 비교해 보겠습니다. 결과 열은 마지막 열입니다. 따라서 논리적 표현이 동일하며 "=" 기호를 둘 수 있습니다.

문제 해결

1.

이 공식에는 몇 개의 변수가 포함되어 있습니까? 삼
테이블에는 몇 개의 행과 열이 있습니까? 8과 8
이 예에서 작업 순서는 무엇입니까? (역전, 대괄호 연산, 대괄호 연산)

2. 진리표를 사용하여 다음 논리 표현의 동등성을 증명하십시오.

(A → B) AND (Av┐B)

우리는 어떤 결론을 내립니까? 이러한 부울 표현식은 동일하지 않습니다.

숙제

논리식을 나타내는 진리표를 사용하여 증명

┐A v ┐B와 A & B는 등가

신소재에 대한 설명(계속)

우리는 여러 수업에서 "진리표"의 개념을 연속적으로 사용해 왔습니다. 진리표는 무엇입니까, 당신은 어떻게 생각하십니까?
진리표는 가능한 논리 변수 값 집합과 함수 값 사이의 대응 관계를 설정하는 표입니다.
숙제를 어떻게 했는지, 결론은 무엇이었나요?
표현식은 동일합니다.
이전 단원에서 우리는 복합 명령문에서 수식을 만들어 간단한 명령문 2 * 2 = 4 및 2 * 2 = 5를 변수 A와 B로 대체했음을 기억하십시오.
이제 문장에서 논리적 표현을 만드는 법을 배워봅시다.

과제를 적어라

진술의 논리 공식의 형태로 작성하십시오.

1) Ivanov가 건강하고 부자라면 그는 건강합니다.

우리는 진술을 분석합니다. 간단한 진술 공개

A - Ivanov는 건강합니다.
B - Ivanov는 부자입니다.

자, 그럼 공식은 어떻게 될까요? 진술의 의미를 잃지 않도록 잊지 마십시오. 수식에 괄호를 넣으십시오.

2) 1과 그 자체로만 나누어 떨어지는 수는 소수입니다.

A - 숫자는 1로만 나눌 수 있습니다.
B - 숫자는 그 자체로만 나눌 수 있습니다.
C - 숫자는 소수

3) 4의 배수이면 2의 배수

A - 4로 나누어짐
B - 2로 나누어짐

4) 임의의 숫자는 2의 배수 또는 3의 배수입니다.

A - 2로 나누어짐
B - 3으로 나누어짐

5) 선수가 상대방 또는 심판과 관련하여 부정확한 행동을 하거나 "도핑"을 한 경우 실격될 수 있다.

A - 선수는 실격될 수 있습니다.
B - 상대방을 향해 잘못 행동합니다.
С - 판사에게 잘못 행동합니다.
D - "도핑"을했습니다.

문제 해결

1. 공식에 대한 진리표 작성

((p & q) → (p → r)) v p

테이블에 몇 개의 행과 열이 있는지 설명합니까? (8 & 7) 작업 순서는 무엇이며 그 이유는 무엇입니까?

우리는 마지막 열을 보고 모든 입력 매개변수 세트에 대해 공식이 참 값을 취한다는 결론을 내렸습니다. 이러한 공식을 동어반복이라고 합니다. 정의를 작성해 보겠습니다.

이 공식에 포함된 변수의 값 집합에 대해 동일한 값 "true"를 취하는 경우 공식을 논리 법칙 또는 동어반복이라고 합니다.
그리고 모든 값이 거짓이라면 그러한 공식에 대해 어떻게 생각하십니까?
우리는 공식이 실현 가능하지 않다고 말할 수 있습니다

2. 진술의 논리 공식의 형태로 작성하십시오.

관리 항구다음 명령을 내렸습니다.

1. 선장은 특별 지시를 받으면 배에서 항구를 떠나야합니다.
2. 선장이 특별한 지시를 받지 못한 경우, 그는 항구를 떠나서는 안 되며, 그렇지 않으면 앞으로 이 항구에 대한 출입이 금지됩니다.
3. 선장은 이 항구에 대한 접근이 거부되었거나 특별한 지시를 받지 못했습니다.

우리는 간단한 진술을 식별하고 수식을 작성합니다.

• A - 기장이 특별 지시를 받습니다.
• B - 항구를 떠남
• C - 항구에 입장할 수 없습니다.

1. ┐А → (┐В v С)
2. С v ┐А

3. 복합명제 “(2 * 2 = 4 and 3 * 3 = 9) or (2 * 2 ≠ 4 and 3 * 3 ≠ 9)”를 논리식으로 적으세요. 진리표를 만드십시오.

A = (2 * 2 = 4) B = (3 * 3 = 9)

(A & B) v (┐A & ┐B)

숙제

not (not A and not (B and C))과 동일한 진리표를 갖는 복합 명제를 선택하십시오.

1. A&V 또는 CIA;
2. (A 또는 B) 및 (A 또는 C);
3. A 및 (B 또는 C);
4. A 또는 (B가 아니거나 C가 아님).

라인을 선택하십시오.
또한 모든 변수의 접속사를 작성합니다. 또한 이 집합의 변수가 1과 같으면 기록하고 변수 = 0이면 그 부정을 기록합니다.

이 예의 경우

이러한 분리의 결합은 원하는 공식이 됩니다.

정의: 접속사 ~라고 불리는 초등학교포함된 모든 변수가 다른 경우. 기본 접속사 또는 기본 분리에 포함된 문자의 수를 계급.

숫자 1은 순위 0의 기본 연결로 간주됩니다. 변수는 순위 1의 기본 연결 또는 기본 연결로 간주됩니다. 숫자 0은 순위 0의 기본 연결로 간주됩니다. 동일하게 거짓이 아닌 변수의 모든 연결은 다음과 같을 수 있습니다. 기본 형식으로 축소되고 동일하지 않은 문자의 분리도 기본 형식으로 축소될 수 있습니다. 이를 위해서는 결합과 분리의 교환성, 멱등성 및 결합성의 속성을 적용할 필요가 있습니다.

부울 대수의 모든 공식은 , &,  연산을 사용하여 표현할 수 있음이 엄밀히 증명되었습니다. 직관적으로이 사실은 분명합니다. 진리표에 따라 공식을 작성하는 알고리즘을 상기합시다. 그러나 우리는 이러한 작업만 사용합니다. 이 형식의 표기법을 분리 정규형(DNF). 이것은 논리 대수 공식을 정규화하기 위한 일종의 메커니즘입니다.

정의: DNF다양한 기본 접속사의 분리입니다(즉, 각 접속사는 기본 진술 또는 그 부정으로 구성됨).

CNF는 유사하게 정의됩니다 - 결합 정규형.

정의: DNF에서 모든 기본 접속사가 DNF가 의존하는 변수의 수와 동일한 순위를 갖는 경우 완벽(SDNF).

정리. 동일하게 거짓이 아닌 모든 함수에 대해 고유한 SDNF도 있습니다.

결과 ... 동일하게 false가 아닌 부울 함수는 중첩 &, , 로 나타낼 수 있으며 부정은 변수에만 적용됩니다.

정의: 논리 연산 시스템은 이러한 연산과 이 시스템의 상수를 사용하여 부울 대수의 모든 기능을 나타낼 수 있는 경우 기능적으로 완전하다고 합니다.

시스템(&, , ); (, ); (&, ), (/) - 기능적으로 완전함

(&, ) - 기능적으로 불완전합니다.

우리는 이러한 사실을 증거 없이 받아들이고, 문제를 풀 때 (&, , )를 사용하여 모든 공식을 나타내려고 합니다. 나중에 우리는 운영 시스템의 기능적 완전성과 불완전성 문제에 대해 더 자세히 논의 할 것입니다.

주제 1.7. 논리적 표현을 위한 단순화 방법. 논리적 문제를 해결하는 방법.

논리 문제를 푸는 예를 생각해 봅시다.

예시 :

원정대 구성을 논의한 끝에 두 가지 조건이 충족되어야 한다고 결정했다.

Arbuzov가 가면 Bryukvin 또는 Vishnevsky가 가야합니다.

Arbuzov와 Vishnevsky가 간다면 Bryukvin은 갈 것입니다.

상징적 인 형태로 결정을 내리기위한 논리 공식을 작성하고 결과 공식을 단순화하고 그것을 사용하여 원정대 형성을위한 새로운 조건을 공식화하십시오.

변수와 그에 상응하는 기본 문장을 소개하겠습니다.

- 아르부조프가 간다

- 브뤼크빈이 간다

- Vishnevsky는 갈 것이다

그런 다음 원정대 형성을위한 개발 조건은 다음과 같습니다.

일반식을 만들어 식을 단순화하자

저것들. Arbuzov가 간다면 Bryukvin은 갈 것입니다.

예시:

내일 날씨가 좋으면 우리는 해변에 가거나 숲에 갑니다. 내일을 위한 행동 공식을 작성해 봅시다.

- 좋은 날씨

- 우리는 해변에 갈 것이다

- 우리는 숲에 갈 것입니다

이제 이 구문의 부정문을 구성해 보겠습니다.

그 다음에. 우리는 "내일 날씨가 맑을 것이고 우리는 숲과 해변에 가지 않을 것입니다.

관심 있는 사람들은 진리표를 만들고 이 진술을 확인할 수 있습니다.

예시 :

브라운, 존, 스미스는 범죄 혐의로 체포된다. 그 중 하나는 도시에서 존경받는 노인, 두 번째는 관리, 세 번째는 유명한 사기꾼입니다. 조사하는 동안 그 노인은 진실을 말했고 사기꾼은 거짓말을 했으며 한 사건에서는 세 번째 수감자가 진실을 말하고 다른 한 사건에서는 거짓말을 했다.

그들이 말한 내용은 다음과 같습니다.

브라운: 해냈어. 존의 잘못이 아니다. (비앤디)

존: 브라운의 잘못이 아닙니다. 무법자 스미스. (☞비앤씨)

스미스: 내 잘못이 아니야. 블레임 브라운(C & B)

이러한 진술을 공식적으로 설명하자면 다음과 같습니다.

- 브라운이 범한 범죄

- 범죄는 존에 의해 저질러졌다.

- 범죄는 스미스에 의해 저질러졌다.

그런 다음 그들의 말은 다음 표현으로 설명됩니다.

갈색:

남자:

스미스:

왜냐하면 문제의 조건에 따라 이 & 중 2개는 거짓이고 1개는 참이면

진리표를 작성하자

경우 2만 남아 있습니다. 범죄자 Smith와 그의 진술은 모두 거짓입니다.

그 후 - 거짓과 - 진실

= 1 - 존 친애하는 노인

브라운은 공식적으로 남아 있으며, 그 이후로 - 거짓, 그렇다면 - 진실.

부울 대수의 법칙과 항등식을 사용하여 논리식을 단순화할 수 있습니다.

예시 :

운동:

논리 대수학

논리 대수학

논리 대수학(eng. 논리 대수학) - 대수학 방법이 논리적 변환에 사용되는 수학 논리의 주요 섹션 중 하나입니다.

논리 대수학의 창시자는 영국의 수학자이자 논리학자인 J. Boole(1815-1864)로, 대수와 논리 사이의 유비를 바탕으로 논리를 가르쳤습니다. 그는 자신이 개발하고 받은 "방정식"의 기호를 사용하여 진술을 작성했으며, 그 참 또는 거짓은 가환성, 분포, 결합성 등의 법칙과 같은 특정 논리 법칙에 기초하여 증명될 수 있습니다.

현대의 논리 대수학수학적 논리의 한 분야이며 진리값(참, 거짓)의 관점에서 진술에 대한 논리적 연산을 연구합니다. 진술은 참, 거짓이거나 서로 다른 비율로 참과 거짓을 포함할 수 있습니다.

논리적 진술내용이 참 또는 거짓임을 명확하게 주장할 수 있는 선언적 문장입니다.

예를 들어, "3 곱하기 3은 9", "볼로그다 북쪽의 아르한겔스크"는 참이고 "5는 3보다 작습니다", "화성은 별입니다"는 거짓입니다.

분명히 모든 문장이 논리적 진술이 될 수 있는 것은 아닙니다. 그 이유는 거짓이나 참에 대해 말하는 것이 항상 이치에 맞지 않기 때문입니다. 예를 들어, "컴퓨터 과학은 흥미로운 주제입니다"라는 진술은 모호하고 추가 정보가 필요하며, "10-A 학년 학생 AA Ivanov에게 컴퓨터 과학은 흥미로운 주제입니다."라는 진술은 AA Ivanov의 관심사에 따라 다음을 취할 수 있습니다. "진실" 또는 "거짓말"의 의미에.

뿐만 아니라 2값 명제 대수학, "true"와 "false"의 두 가지 값만 허용됩니다. 다중값 명제 대수학.이러한 대수학에서는 "true"와 "false"의 의미 외에도 "probably", "possible", "impossible" 등과 같은 진리값이 사용됩니다.

대수학에서는 논리가 다릅니다. 단순한(초등) 발언, 라틴 문자(A, B, C, D, ...)로 표시되며, 복잡한(복합), 예를 들어 다음과 같은 논리적 연결을 사용하는 몇 가지 간단한 것으로 구성 "아니요", "그리고", "또는", "그때만", "만약 ... 그러면"... 이렇게 하여 얻은 복잡한 진술의 참 또는 거짓은 단순한 진술의 의미에 의해 결정된다.

다음과 같이 표시합시다. ㅏ"논리 대수학은 전기 회로 이론에 성공적으로 적용되었습니다"라는 진술을 통해 V- "논리 대수학은 릴레이 접점 회로의 합성에 사용됩니다."

그런 다음 "논리 대수학은 전기 회로 이론과 릴레이 접점 회로 합성에 성공적으로 적용되었습니다"라는 복합 문장은 다음과 같이 간략하게 쓸 수 있습니다. A와 B; 여기서 "and"는 논리적 연결입니다. 분명히, 기본 진술부터 A와 B참이면 복합문 A와 B.

각 논리적 연결은 논리적 명령문에 대한 연산으로 간주되며 고유한 이름과 지정이 있습니다.

논리적 값은 두 개뿐입니다. 진실그리고 거짓(거짓)... 이것은 디지털 표현에 해당합니다. 1 그리고 0 ... 각 논리 연산의 결과를 테이블 형태로 기록할 수 있습니다. 이러한 테이블을 진리표라고 합니다.

부울 대수의 기본 연산

1. 논리적 부정, 반전(위도. 반전- 반전) - 주어진 명령문(예: A)( A 아님)라고 하는 원래 진술의 부정, 위의 막대($ A↖ (-) $) 또는 다음과 같은 규칙으로 기호로 표시됩니다. ¬, "아니요", 그리고 다음을 읽습니다. "A가 아니다", "A는 거짓이다", "A는 사실이 아니다", "A의 부정"... 예를 들어, "화성은 태양계의 행성입니다"(A라고 말함). "화성은 태양계의 행성이 아닙니다"($ A↖ (-) $); "10은 소수이다"(명제 B)는 거짓이다. "10은 소수가 아닙니다"(B라고 말함)는 사실입니다.

하나의 수량에 대해 사용되는 작업을 단항... 이 작업의 값 테이블 형식은

$ A↖ (-) $는 A가 참이면 거짓이고 A가 거짓이면 참입니다.

기하학적으로 부정은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. A가 어떤 점들의 집합이면 $ A↖ (-) $는 집합 A의 보수, 즉 집합 A에 속하지 않는 모든 점입니다.

2.접속사(위도. 결막- 연결) - 논리적 곱셈, 적어도 두 개의 논리적 값(피연산자)이 필요하고 링크를 사용하여 둘 이상의 명령문을 연결하는 연산 "그리고"(예를 들어, "A와 B"), 기호 ∧ (A ∧ B)로 기호로 표시되며 "A 및 B"로 읽습니다. 다음 기호는 접속사를 나타내는 데도 사용됩니다. A ∙ B; A 및 B, A 및 B, 그리고 문장 사이에 부호가 없는 경우도 있습니다: AB. 논리 곱셈의 예: "이 삼각형은 이등변이고 직각입니다." 주어진 명령문은 두 조건이 모두 충족되는 경우에만 참이 될 수 있고, 그렇지 않으면 명령문이 거짓입니다.

말 ㅏ ∧ V두 문장 모두 - ㅏ그리고 V사실이다.

기하학적으로 결합은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 에이, 비 ㅏ ∧ V집합의 교집합이 있다 ㅏ그리고 V.

3. 분리(위도. 분리- 분리) - 논리적 추가, 링크를 사용하여 둘 이상의 명령문을 연결하는 작업 "또는"(예를 들어, "A 또는 B"), 기호 ∨ (ㅏ∨ V)그리고 읽습니다: "A 또는 B"... 다음 기호는 분리를 나타내는 데도 사용됩니다. A + B; A 또는 B; 에이 | 비... 논리적 덧셈의 예: "숫자 x는 3 또는 5로 나눌 수 있습니다." 이 명령문은 두 조건이 모두 충족되거나 조건 중 하나 이상이 충족되면 참이 됩니다.

연산의 진리표는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

말 ㅏ∨ V두 문장 모두 - ㅏ그리고 V거짓입니다.

기하학적 논리적 덧셈은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 에이, 비다음은 몇 가지 점의 집합입니다. ㅏ ∨ V집합의 합집합인가 ㅏ그리고 V, 즉 정사각형과 원을 합친 도형이다.

4. 엄밀히 분리 분리, 추가 모드 2- 링크를 이용하여 두 문장을 연결하는 논리적 연산 "또는", 기호 ∨ ∨ 또는 ⊕ ( ㅏ ∨ ∨ 나, 아 ⊕ V) 그리고 다음과 같이 읽습니다. "A 또는 B 중 하나"... 덧셈 모듈로 2의 예는 "이 삼각형은 둔각이거나 예각입니다."입니다. 조건 중 하나라도 참이면 명제가 참입니다.

연산의 진리표는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

명제 A ⊕ B는 명제 A와 B가 서로 다른 의미를 가질 때에만 참입니다.

5. 함축(위도. 묵시적- 밀접하게 관련됨) - 번들을 사용하여 두 문장을 연결하는 논리적 연산 "만약 ... 그렇다면"기호 → ( ㅏ → V) 그리고 다음과 같이 읽습니다. "만약 A이면 B이다", "A는 B를 수반한다", "B는 A로부터 나온다", "A는 B를 의미한다"... 기호 ⊃(A ⊃ B)도 함축을 나타내는 데 사용됩니다. 암시의 예: "결과 사각형이 정사각형이면 그 주위에 원이 설명될 수 있습니다." 이 연산은 첫 번째는 조건이고 두 번째는 결과인 두 개의 간단한 부울 표현식을 연결합니다. 전제가 참이고 결과가 거짓인 경우에만 연산의 결과가 거짓입니다. 예를 들어, "만약 3 * 3 = 9(A), 그러면 태양은 행성(B)"이고 함축 A → B의 결과는 거짓입니다.

연산의 진리표는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

함축의 작용에 있어서 거짓에서는 무엇이든 따를 수 있고 진리에서는 진리만이 따를 수 있다는 것이 사실이다.

6. 등가, 이중 함축, 등가(위도. 이퀄리스- 평등하고 발렌티스- 유효) - 두 개의 명령문을 허용하는 논리 연산 ㅏ그리고 V새로운 진술을 얻다 에이 ≡ 나다음과 같이 읽습니다. "A는 B와 같다"... 등가를 나타내기 위해 다음 기호도 사용됩니다: ⇔, ~. 이 수술은 인대로 표현할 수 있습니다. "그때만", "필요하고 충분하다", "동등한"... 등가의 예는 다음과 같은 진술입니다. "삼각형은 각 중 하나가 90도인 경우에만 직사각형이 됩니다."

등가 연산의 진리표 형식은

등가 연산은 모듈로 2의 덧셈과 반대이며 변수의 값이 일치하는 경우에만 결과가 "참"입니다.

간단한 진술의 의미를 알면 진리표를 기반으로 복잡한 진술의 의미를 결정할 수 있습니다. 논리 대수의 모든 기능을 나타내기 위해서는 세 가지 연산(결합, 분리, 부정)이면 충분하다는 것을 아는 것이 중요합니다.

논리 연산 수행의 우선 순위는 다음과 같습니다. "아니다")가 가장 높은 우선 순위를 가지며 다음으로 접속사( "그리고"), 결합 후 - 분리 ( "또는").

논리 변수와 논리 연산의 도움으로 모든 논리 문장을 공식화할 수 있습니다. 즉, 논리 공식으로 대체할 수 있습니다. 동시에 복합명제를 구성하는 기본 진술은 의미상 완전히 관련이 없을 수 있지만 이는 복합 진술의 참 또는 거짓을 결정하는 데 방해가 되지 않습니다. 예를 들어 "5가 2보다 크면( ㅏ), 화요일은 항상 월요일( V) "- 함축 ㅏ→ V이며 이 경우 작업의 결과는 "true"입니다. 논리 연산에서 진술의 의미는 고려되지 않고 참 또는 거짓만 고려됩니다.

예를 들어 명령문에서 복합 명령문의 구성을 고려하십시오. ㅏ그리고 V두 문장이 모두 참인 경우에만 거짓이 됩니다. 덧셈 모듈로 2의 연산에 대한 진리표에서 우리는 1 ⊕ 1 = 0을 찾습니다. 그리고 그 문장은 예를 들어 다음과 같을 수 있습니다. "이 공은 완전히 빨간색이거나 완전히 파란색입니다." 그러므로 만약 진술이 ㅏ"이 공은 완전히 빨갛다"는 말이 사실이며, V"이 공은 완전히 파란색입니다."가 참이고 공은 동시에 빨간색과 파란색일 수 없기 때문에 복합 진술은 거짓말입니다.

문제 해결의 예

예 1. X의 표시된 값을 결정하십시오. 논리 문장의 값 ((X> 3) ∨ (X< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.

해결책.연산 순서는 괄호 안의 비교 연산을 먼저 수행한 다음 분리 연산을 수행하고 마지막 연산이 함축 연산을 수행합니다. 분리 연산 ∨은 두 피연산자가 모두 거짓인 경우에만 거짓입니다. 의미에 대한 진리표는 다음과 같습니다.

여기에서 우리는 다음을 얻습니다.

1) X = 1의 경우:

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) X = 12의 경우:

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) X = 3의 경우:

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

예 2.표현식 ¬ ((X> 2) → (X> 5))가 참인 정수 값 X 세트를 지정하십시오.

해결책.부정 연산은 ((X> 2) → (X> 5)) 표현식 전체에 적용되므로, 표현식 ¬ ((X> 2) → (X> 5))가 참일 때 표현식 ((X > 2) → (X > 5))는 거짓입니다. 따라서 식 ((X> 2) → (X> 5))이 거짓인 X의 값을 결정할 필요가 있습니다. 함축 연산은 한 가지 경우에만 "거짓" 값을 취합니다. 거짓이 진실에서 뒤따를 때입니다. 그리고 이것은 X = 3에 대해서만 수행됩니다. X = 4; X = 5.

예 3.주어진 단어 중 ¬(모음의 첫 글자 ∧ 모음의 세 번째 글자) ⇔ 4자 문자열이 거짓인 것은 무엇입니까? 1) 아사; 2) 쿠키 3) 옥수수; 4) 오류; 5) 강한 남자.

해결책.제안된 모든 단어를 순서대로 고려해 보겠습니다.

1) 엉덩이라는 단어에 대해 다음을 얻습니다. ¬ (1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - 진술이 참입니다.

2) kuku라는 단어에 대해 다음을 얻습니다. ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - 진술이 참입니다.

3) 옥수수라는 단어에 대해 다음을 얻습니다. ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - 진술이 거짓입니다.

4) 단어 오류에 대해 다음을 얻습니다. ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 - 진술이 참입니다.

5) Strongman이라는 단어에 대해 우리는 다음을 얻습니다. ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - 진술은 거짓입니다.

부울 표현식 및 변환

아래에 논리적 표현논리값 "true" 또는 "false"를 취할 수 있는 레코드를 이해해야 합니다. 이 정의를 사용하여 논리적 표현을 구별해야 합니다.

• 비교 연산("보다 큼", "보다 작음", "같음", "같지 않음" 등)을 사용하고 논리값을 취하는 표현식(예: 표현식 a> b, 여기서 a = 5 및 b = 7, 값 "거짓"과 같습니다);
• 논리 값 및 논리 연산과 관련된 직접적인 논리 표현(예: A ∨ B ∧ C, 여기서 A = true, B = false, C = true).

부울 표현식에는 함수, 대수 연산, 비교 연산 및 논리 연산이 포함될 수 있습니다. 이 경우 작업 수행의 우선 순위는 다음과 같습니다.

1. 기존 기능 종속성 계산;
2. 대수 연산 수행(첫 번째 곱셈과 나눗셈, 그 다음 뺄셈 및 덧셈);
3. 비교 연산 수행(특정 순서 없이);
4. 논리 연산의 실행(부정 연산의 시작에서 논리 곱셈 연산, 논리 덧셈 연산, 함축 및 등가 연산의 마지막 연산이 수행됨).

부울 표현식은 연산이 수행되는 순서를 변경하는 괄호를 사용할 수 있습니다.

예시.표현식의 값 찾기:

$ 1 ≤ a ∨ A ∨ sin (π / a - π / b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B) $ a = 2, b = 3, A = true, B = false.

해결책.값을 계산하는 순서:

1) b a + a b> a + b, 치환 후 우리는 다음을 얻습니다. 3 2 + 2 3> 2 + 3, 즉 17> 2 + 3 = true;

2) A ∧ B = 참 ∧ 거짓 = 거짓.

따라서 괄호 안의 표현은 (b a + a b> a + b ∨ A ∧ B) = true ∨ false = true;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = 참;

4) 죄(π / a - π / b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

이러한 계산 후에 우리는 마침내 다음을 얻습니다. truth ∨ А ∧ true ∧ ¬В ∧ ¬true.

이제 부정 연산을 수행한 다음 논리적 곱셈과 덧셈을 수행해야 합니다.

5) ¬В = ¬거짓 = 참 ¬참 = 거짓;

6) A ∧ 참 ∧ 참 ∧ 거짓 = 참 ∧ 참 ∧ 참 ∧ 거짓 = 거짓;

7) 참 ∨ 거짓 = 참.

따라서 값이 지정된 부울 표현식의 결과는 "true"입니다.

메모.원래 표현식이 결국 두 항의 합이고 그 중 하나의 값이 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = true임을 고려하면 추가 계산 없이 전체 표현식의 결과도 다음과 같다고 말할 수 있습니다. "진실".

논리식의 동일 변환

논리 대수학에서는 기본 법칙이 충족되어 논리 표현의 동일한 변환을 수행할 수 있습니다.

이러한 진술의 증거는 해당 레코드에 대한 진리표 구성을 기반으로 합니다.

논리 공식의 등가 변환은 일반 대수학의 공식 변환과 같은 목적을 갖습니다. 그들은 논리 대수의 기본 법칙을 사용하여 공식을 단순화하거나 특정 형식으로 가져 오는 역할을합니다. 아래에 공식의 단순화함축 및 등가 연산을 포함하지 않는 는 원래 연산 수보다 적거나 더 적은 변수를 포함하는 공식으로 이어지는 등가 변환으로 이해됩니다.

논리 공식의 일부 변환은 일반 대수에서 공식의 변환과 유사하지만(괄호 외부에서 공통 인수를 취하여 변위 및 조합 법칙 등을 사용함), 다른 변환은 일반 대수의 연산에 없는 속성을 기반으로 합니다. (결합에 대한 분포 법칙 사용, 흡수 법칙, 접착, 드 모르간 등).

논리 공식을 단순화하는 데 사용되는 몇 가지 기술과 방법의 예를 살펴보겠습니다.

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2.

여기에서 변환을 위해 멱등성의 법칙, 분배 법칙을 적용할 수 있습니다. 역변수 연산과 상수 연산.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1.

여기서는 단순화를 위해 흡수 법칙이 적용됩니다.

3) ¬ (X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1.

변환할 때 de Morgan's rule, inversion이 있는 변수의 연산, 상수가 있는 연산이 적용됩니다.

문제 해결의 예

예 1. A ∧ ¬ (¬B ∨ C)에 해당하는 부울 표현식을 찾으십시오.

해결책. B와 C에 대해 de Morgan의 법칙을 적용합니다. ¬ (¬B ∨ C) = B ∧ ¬C.

A ∧ ¬ (¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C와 같은 원래 표현식과 동일한 표현식을 얻습니다.

대답: A ∧ B ∧ ¬C.

예 2.논리식 (A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B)의 값이 거짓인 논리 변수 A, B, C의 값을 나타냅니다.

해결책.함축 연산은 참 전제에서 거짓이 뒤따르는 경우에만 거짓입니다. 따라서 주어진 식에 대해 전제 A ∨ B는 "참" 값을 취해야 하고 결과, 즉 식 B ∨ ¬C ∨ B는 "거짓" 값을 취해야 합니다.

1) A ∨ B - 피연산자 중 하나 이상이 "참"이면 분리 결과가 "참"입니다.

2) B ∨ ¬C ∨ B - 모든 용어에 값이 "거짓"인 경우, 즉 B - "거짓"이면 표현식이 거짓입니다. ¬C - "거짓", 따라서 변수 C는 "참" 값을 갖습니다.

3) 전제를 고려하고 B가 "거짓"임을 고려하면 A의 값이 "참"임을 얻습니다.

대답: A는 참, B는 거짓, C는 참입니다.

예 3.명령문(35

해결책.함축 연산에 대한 진리표를 작성해 보겠습니다.

식 X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

대답: X = 5.

부울 표현식을 사용하여 기하학적 영역 설명하기

부울 표현식을 사용하여 기하학적 영역을 설명할 수 있습니다. 이 경우 문제는 다음과 같이 공식화됩니다. 주어진 기하학적 영역에 대해 좌표(x; y )은 기하학적 영역에 속합니다.

예제를 사용하여 논리식을 사용하여 기하학적 영역에 대한 설명을 살펴보겠습니다.

예 1.기하학적 영역의 이미지가 지정됩니다. 그것에 속하는 점 세트를 설명하는 부울 표현식을 작성하십시오.

1) .

해결책.주어진 기하학적 영역은 다음 영역의 집합으로 나타낼 수 있습니다. 첫 번째 영역 - D1 - 반평면 $ (x) / (- 1) + (y) / (1) ≤ 1 $, 두 번째 영역 - D2 - 원점이 중심이 되는 원 $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 1 $. 그들의 교집합 D1 $ ∩ $ D2는 원하는 도메인입니다.

결과:불리언 표현식 $ (x) / (- 1) + (y) / (1) ≤ 1 ∧ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 1 $.

2)

이 영역은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. | x | ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1.

메모.논리식을 구성할 때 약한 부등식을 사용하는데, 이는 도형의 경계도 음영 영역에 속한다는 의미입니다. 엄격한 불평등이 사용되는 경우 경계는 고려되지 않습니다. 영역에 속하지 않는 테두리는 일반적으로 점선으로 표시됩니다.

역 문제를 해결할 수 있습니다. 즉, 주어진 논리 표현식에 대한 영역을 그립니다.

예 2.논리 조건이 만족되는 점의 영역을 그리고 음영 처리 y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y< 2 .

해결책.찾고자 하는 영역은 3개의 반평면의 교차점입니다. 우리는 평면 (x, y) 직선 y = x에 구축합니다. y = -x; y = 2. 이들은 영역의 경계이며 마지막 경계 y = 2는 영역에 속하지 않으므로 점선으로 그립니다. 부등식 y ≥ x를 만족시키려면 점이 y = x의 왼쪽에 있어야 하고, 부등식 y = -x는 y = -x의 오른쪽에 있는 점에 대해 충족되어야 합니다. 조건 y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

논리 함수를 사용하여 전기 회로 설명하기

논리 함수는 전기 회로가 작동하는 방식을 설명하는 데 매우 유용합니다. 따라서 그림에 표시된 회로의 경우 변수 X의 값이 스위치의 상태인 경우(켜져 있으면 X의 값이 "참"이고 꺼져 있으면 "거짓"입니다) , 이 Y 값은 전구의 상태입니다(켜져 있으면 값이 "true"이고 그렇지 않으면 "false"임). 논리 함수는 Y = X와 같이 작성됩니다. 함수 Y가 호출됩니다. 전도도의 기능.

그림에 표시된 회로의 경우 논리 함수 Y는 Y = X1 ∪ X2 형식을 갖습니다. 하나의 스위치를 켜면 빛을 태우기에 충분하기 때문입니다. 그림의 다이어그램에서 램프가 타려면 두 스위치가 모두 켜져 있어야 하므로 전도율 함수는 Y = X1 ∧ X2 형식을 갖습니다.

더 복잡한 회로의 경우 컨덕턴스 함수는 다음과 같습니다. Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

회로에는 폐쇄 접점도 포함될 수 있습니다. 이 경우 스위치로서의 열린 접점은 버튼이 눌러지지 않고 손을 떼면 불이 켜지도록 합니다. 이러한 회로의 경우 차단 스위치는 부정으로 설명됩니다.

두 가지 계획을 호출 ~에 해당하는전류가 다른 하나를 통과할 때 둘 중 하나를 통과하는 경우. 두 개의 등가 회로 중에서 회로가 더 단순하고 전도도 함수가 더 적은 수의 요소를 포함합니다.등가물 중에서 가장 간단한 체계를 찾는 작업은 매우 중요합니다.

논리 회로 설계에 논리 대수학 장치 사용

논리 수학의 대수학은 컴퓨터 하드웨어가 어떻게 작동하는지 설명하는 데 매우 유용합니다. 컴퓨터에서 처리될 때 모든 정보는 이진 형식으로 표시됩니다. 즉, 0과 1의 일부 시퀀스로 인코딩됩니다. 0과 1에 해당하는 이진 신호의 처리는 논리 요소에 의해 컴퓨터에서 수행됩니다. 기본적인 논리 연산을 수행하는 논리 게이트 그리고, 아니면, 아니,그림에 나와 있습니다.

논리 소자의 기호는 표준이며 컴퓨터의 논리 회로를 작성하는 데 사용됩니다. 이러한 체계를 사용하여 컴퓨터의 작동을 설명하는 모든 논리적 기능을 구현할 수 있습니다.

기술적으로 컴퓨터 논리 요소는 다음 형식으로 구현됩니다. 전기 회로, 다이오드, 트랜지스터, 저항기, 커패시터와 같은 다양한 부품의 연결입니다. 게이트라고도 하는 논리 소자의 입력은 고전압 및 저전압 레벨의 전기 신호를 수신하고 하나의 출력 신호도 하이 또는 로우 레벨로 제공됩니다. 이 수준은 상태 중 하나에 해당합니다. 이진법: 10; 참은 거짓입니다. 각 논리 요소에는 논리 기능을 나타내는 자체 기호가 있지만 어떤 종류의 전자 회로가 구현되어 있는지는 나타내지 않습니다. 이것은 복잡한 논리 회로를 작성하고 이해하기 쉽게 만듭니다. 논리 회로의 작동은 진리표를 사용하여 설명됩니다. OR 회로에 대한 기존 표기법, 기호 "1" - "> = 1과 같은 오래된 분리 지정에서"(두 피연산자의 합이 1보다 크거나 같은 경우 분리 값은 1입니다). AND 다이어그램의 "&" 기호는 영어 단어 and의 약어입니다.

전자 논리 회로는 보다 복잡한 논리 연산을 수행하는 논리 요소로 구성됩니다. 복잡한 논리 구조를 구축할 수 있는 NOT, OR, AND 요소로 구성된 논리 요소 집합을 기능적으로 완전한.

부울 표현식 진리표 작성

논리 공식의 경우 항상 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 진리표즉, 주어진 논리적 기능을 표 형식으로 표현하는 것입니다. 이 경우 테이블에는 가능한 모든 함수 인수(수식) 조합과 해당 함수 값(수식은 주어진 값 집합에 대한 결과)이 포함되어야 합니다.

함수 값을 찾기 위한 편리한 표기법은 변수 및 함수 값 외에 중간 계산 값도 포함하는 표입니다. 공식 $ (X1) ↖ (-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2) ↖ (-) ∨ X1 $에 대한 진리표를 구성하는 예를 고려하십시오.

함수가 모든 변수 값 집합에 대해 값 1을 취하는 경우 똑같이 사실; 모든 입력 값 세트에 대해 함수가 값 0을 취하는 경우 똑같이 거짓; 출력 집합에 0과 1이 모두 포함되어 있으면 함수가 호출됩니다. 실현 가능 한... 위의 예는 동일하게 참된 함수의 예입니다.

논리 함수의 분석 형식을 알면 항상 다음으로 이동할 수 있습니다. 표 형식논리적 기능. 주어진 진리표의 도움으로 역 문제를 해결할 수 있습니다. 즉, 주어진 표에 대해 논리 함수에 대한 분석 공식을 구성하십시오. 주어진 테이블 함수에 따라 논리 함수의 분석적 종속성을 구성하는 두 가지 형태가 있습니다.

1. 분리정규형(DNF)- 변수와 거짓 값에 대한 부정으로 구성된 곱의 합.

DNF를 구성하는 알고리즘은 다음과 같습니다.

1. 함수의 진리표에서 논리 형식이 1("true")인 인수 집합이 선택됩니다.
2. 선택된 모든 논리적 세트는 논리적 합(분리) 연산에 의해 서로를 순차적으로 연결하는 인수의 논리적 곱으로 기록됩니다.
3. false인 인수의 경우 부정 연산이 구성된 레코드에 적용됩니다.

예시. DNF 방법을 사용하여 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자와 같은지 확인하는 함수를 생성합니다. 함수의 진리표는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

해결책.함수가 1인 인수 값 세트를 선택합니다. 이들은 테이블의 첫 번째 및 네 번째 행입니다(번호를 매길 때 제목 행은 고려되지 않음).

우리는 이러한 집합의 인수의 논리적 곱을 기록하고 이를 논리적 합과 결합합니다: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2.

우리는 거짓 값(표의 네 번째 행, 공식의 두 번째 집합, 첫 번째 및 두 번째 요소)을 가진 선택된 집합의 인수에 대해 부정을 씁니다. X1 ∧ X2 ∨ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ $ (X2) ↖ (-) $.

대답: F (X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ $ (X2) ↖ (-) $.

2. 결합 정규형(CNF)- 참값에 대한 변수와 그 부정으로부터 형성된 합계의 곱.

CNF를 구성하는 알고리즘은 다음과 같습니다.

1. 진리표에서 논리 형식이 0("거짓")인 인수 집합이 선택됩니다.
2. 인수의 논리적 합으로 선택된 모든 논리적 세트는 논리적 제품(접속)의 연산에 의해 함께 연결되어 순차적으로 작성됩니다.
3. 참인 인수의 경우 부정 연산은 구성된 레코드에 기록됩니다.

문제 해결의 예

예 1.앞의 예를 고려하십시오. 즉, CNF 방법을 사용하여 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자와 같은지 확인하는 함수를 구성합니다. 주어진 함수에 대해 진리표의 형식은 다음과 같습니다.

해결책.함수가 0인 인수 값 세트를 선택합니다. 이들은 두 번째 및 세 번째 줄입니다(번호를 매길 때 제목 줄은 고려되지 않음).

우리는 이러한 집합의 인수의 논리적 합을 기록하고 이를 논리적 곱과 결합합니다. X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2.

우리는 참 값(테이블의 두 번째 행, 공식의 첫 번째 세트, 두 번째 요소, 세 번째 행의 경우 공식의 두 번째 세트, 첫 번째 요소): X1 ∨ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ $ ( X1) ↖ (-) $ ∨ X2.

따라서 CNF의 논리적 기능에 대한 레코드를 얻었습니다.

대답: X1 ∨ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ $ (X1) ↖ (-) $ ∨ X2.

두 가지 방법으로 얻은 함수 값은 동일합니다. 이 진술을 증명하기 위해 우리는 논리 법칙을 사용합니다: F (X1, X2) = X1 ∨ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ $ (X1) ↖ (-) $ ∨ X2 = X1 ∧ $ (X1) ↖ (-) $ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ $ (X1) ↖ (-) $ ∨ $ (X2) ↖ (-) $ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $ (X2 ) ↖ (- ) $ ∧ $ (X1) ↖ (-) $ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ $ (X2) ↖ (-) $.

실시예 2... 주어진 진리표에 대한 부울 함수를 구성하십시오.

구하는 공식: X1 ∧ X2 ∨ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ X2.

X1 ∧ X2 ∨ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $ (X1) ↖ (-) $) = X2 ∧ 1 = X2.

예 3.주어진 진리표에 대해 DNF 방법을 사용하여 논리 함수를 구성합니다.

구하는 공식: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $ (X3) ↖ (-) $ ∪ X1 ∧ $ (X2) $ ↖ (-) $ (X3) ↖ (-) $.

공식은 다소 복잡하며 단순화해야 합니다.

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∧ $ (X1) ↖ (-) $ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $ (X3) ↖ (-) $ ∨ X1 ∧ $ (X2) ↖ (-) $ ↖ (-) $ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $ (X1) ↖ (-) $) ∨ X1 ∧ $ (X3) ↖ (-) $ ∧ (X2 ∨ $ (X2) ↖ (-) $) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $ (X3) ↖ (-) $.

논리 문제 해결을 위한 진리표

진리표의 편집은 논리적 문제를 해결하는 방법 중 하나입니다. 이 솔루션을 사용할 때 문제에 포함된 조건은 특별히 컴파일된 테이블을 사용하여 수정됩니다.

문제 해결의 예

예 1.세 개의 센서를 사용하고 그 중 두 개만 닫힐 때 트리거되는 보안 장치에 대한 진리표를 만듭니다.

해결책.분명히 솔루션은 두 변수에 "true" 값이 있는 경우 원하는 함수 Y(X1, X2, X3)에 "true" 값이 있는 테이블이 생성됩니다.

예 2.정보학 수업은 첫 번째 또는 두 번째, 수학 수업은 첫 번째 또는 세 번째, 물리학은 두 번째 또는 세 번째 수업일 수 있다는 점을 고려하여 하루 수업 일정을 만드십시오. 모든 요구 사항을 충족하는 일정을 만들 수 있습니까? 몇 가지 일정 옵션이 있습니까?

해결책.적절한 표를 작성하면 문제가 쉽게 해결됩니다.

표는 원하는 일정에 대해 두 가지 옵션이 있음을 보여줍니다.

1. 수학, 컴퓨터 과학, 물리학;
2. 정보학, 물리학, 수학.

예 3. Peter, Boris 및 Alexey의 세 친구가 스포츠 캠프에 왔습니다. 그들 각각은 두 가지 스포츠를 좋아합니다. 축구, 하키, 스키, 수영, 테니스, 배드민턴의 6가지 스포츠가 있는 것으로 알려져 있습니다. 또한 다음과 같이 알려져 있습니다.

1. 보리스는 가장 나이가 많습니다.
2. 축구를 하는 사람은 하키를 하는 사람보다 어리다.
3. 축구와 하키를 하고 Peter는 같은 집에 산다.
4. 스키 선수와 테니스 선수 사이에 다툼이 발생하면 보리스가 화해합니다.
5. Peter는 테니스나 배드민턴을 할 수 없습니다.

소년들은 각각 어떤 스포츠를 즐깁니까?

해결책.표를 작성하고 해당 문장이 거짓인지 참인지에 따라 해당 셀에 숫자 0과 1을 채우고 문제의 조건을 반영합시다.

운동 종류가 6가지나 되니 남자아이들이 좋아하는 운동이 다 달라요.

조건 4에서 Boris는 스키나 테니스를 좋아하지 않지만 조건 3과 5에서 Peter는 축구, 하키, 테니스, 배드민턴을 할 줄 모릅니다. 따라서 Peter가 가장 좋아하는 스포츠는 스키와 수영입니다. 이것을 표에 입력하고 "스키" 및 "수영" 열의 나머지 셀을 0으로 채우겠습니다.

이 표는 Alexei만이 테니스를 칠 수 있음을 보여줍니다.

조건 1과 2에서 보리스는 축구 선수가 아닙니다. 따라서 Alexey는 축구를합니다. 계속해서 표를 채워봅시다. "Alexey"줄의 빈 셀에 0을 입력합시다.

마침내 우리는 Boris가 하키와 배드민턴을 좋아한다는 것을 알게 되었습니다. 최종 테이블은 다음과 같습니다.

대답: Peter는 스키와 수영을 좋아하고 Boris는 하키와 배드민턴을 하고 Alexey는 축구와 테니스를 즐깁니다.

논리 함수변수가 두 개의 값만 취하는 함수입니다. 논리 단위 또는 논리적 제로 ... 복잡한 판단의 참 또는 거짓은 단순한 판단의 참 또는 거짓의 함수입니다. 이 기능은 불리언 판정 함수 f(a, b) .

모든 논리 함수는 진리표를 사용하여 지정할 수 있으며 왼쪽에는 인수 집합이 작성되고 오른쪽에는 논리 함수의 해당 값이 표시됩니다. 진리표를 구성할 때 논리 연산이 수행되는 순서를 고려해야 합니다.

복잡한 논리 표현식에서 논리 연산을 수행하는 순서:

1. 반전;

2. 접속사;

3. 분리;

4. 함의

5. 동등성.

대괄호는 지정된 작업 순서를 변경하는 데 사용됩니다.

각 복합 명령문(논리식)에 대해 다음을 작성할 수 있습니다. 진리표, 간단한 문장(논리 변수)의 초기 값의 가능한 모든 조합에 대한 참 또는 거짓을 결정합니다.

진리표를 구성할 때 특정 일련의 작업에 따라 안내하는 것이 좋습니다.

복잡한 표현에 대한 진리표를 구성하는 알고리즘:

줄 수 = 2 n + 헤더 줄,

N- 간단한 문장의 수.

열 수 = 변수 수 + 논리 연산 수;

o 변수의 수를 결정합니다(단순 표현식).

o 논리적 연산의 수와 실행 순서를 결정합니다.

3. 주요 논리 연산의 진리표를 고려하여 표시된 순서로 논리 연산을 수행한 결과로 열을 채웁니다.

예시:논리식에 대한 진리표를 만듭니다.

D = A & (B  C).

해결책: 

1. 줄 수를 결정합니다.

입구에는 세 가지 간단한 설명이 있습니다. A, B, C 따라서 n = 3이고 행 수 = 2 3 +1 = 9입니다.

2. 열 수를 결정합니다.

o 단순 표현식(변수): A, B, C ;

o 중간 결과(논리 연산):

영형 ㅏ - 반전 (로 표시 이자형 );

영형 B  C 는 분리 연산입니다(우리는 로 표시합니다. 에프 );

o 뿐만 아니라 원하는 산술 표현식의 최종 값:

영형 D = A & (B  C) ... 저것들. D = 전자 및 F 합동작전이다.

3. 논리 연산의 진리표를 고려하여 열을 채우십시오.

주어진 진리표에 대한 논리 함수를 만듭니다.

진리표에 따라 논리 함수를 구성하는 규칙:

1. 진리표에서 함수 값이 다음과 같은 행을 선택하십시오. 1 .

2. 여러 논리적 요소의 분리 형태로 필요한 수식을 작성하십시오. 이러한 요소의 수는 선택한 라인의 수와 같습니다.

3. 이 분리의 각 논리적 요소는 함수 인수의 결합으로 작성됩니다.

4. 테이블의 해당 행에 있는 함수 인수의 값이 다음과 같은 경우 0 , 이 인수는 부정과 함께 사용됩니다.

해결책.

1. 진리표의 첫 번째와 세 번째 행에서 함수의 값은 다음과 같습니다. 1 .

2. 두 줄이 있으므로 다음을 얻습니다. 분리 두 가지 요소: () V () .

3. 이 분리의 각 논리적 요소는 다음 형식으로 작성됩니다. 접속사 함수 인수 엑스 그리고 와이 : (X & Y) V (X & Y) .

4. 테이블의 해당 행에 있는 값이 다음과 같으면 부정으로 인수를 취합니다. 0 필요한 기능을 얻습니다.

5. Z(X, Y) = (X 및 Y) V(X 및 Y) .

예 4.두 가지 전제에 따라 범죄 참여자를 결정합니다.

1) "Ivanov가 참여하지 않았거나 Petrov가 참여했다면 Sidorov가 참여했습니다";

2) 2) "Ivanov가 참여하지 않았다면 Sidorov는 참여하지 않았습니다."

해결책

표현식을 작성해 보겠습니다.

나- "Ivanov는 범죄에 참여했습니다";

피- "페트로프가 범죄에 가담했다";

에스- "Sidorov는 범죄에 가담했습니다."

수식 형태로 소포를 작성합시다.

진리표를 사용하여 결과를 확인합시다.

대답: Ivanov는 범죄에 가담했습니다.

주어진 표현식의 입력 변수 수는 3입니다. (A, B, C)... 따라서 입력 세트의 수는 Q = 2 3 = 8.

진리표 열은 원래 표현식의 값에 해당합니다. A, B, C, 중간 결과 및 ( 비 V 씨) 및 복잡한 산술 표현식의 원하는 최종 값:

정의 1

논리 함수- 변수가 $ 1 $ 또는 $ 0 $의 두 값 중 하나를 취하는 함수.

진리표를 사용하여 모든 논리 함수를 지정할 수 있습니다. 가능한 모든 인수 세트는 표의 왼쪽에 기록되고 논리 함수의 해당 값은 오른쪽에 있습니다.

정의 2

진리표- 복합 표현식에 포함된 단순 표현식의 가능한 모든 값 세트에 대해 어떤 값을 취하는지 보여주는 표.

정의 3

동등한논리식이 호출되며 진리표의 마지막 열이 동일합니다. 등가는 $ "=" $ 기호로 표시됩니다.

진리표를 컴파일할 때 논리 연산을 수행하는 다음 순서를 고려하는 것이 중요합니다.

그림 1.

괄호는 연산 실행 순서에 우선합니다.

논리 함수의 진리표를 구성하는 알고리즘

줄 수를 결정합니다. 줄 수= $ 2 ^ n + 1 $ (제목 표시줄용), $ n $ - 단순 표현식의 수. 예를 들어, 두 변수의 함수의 경우 $ 2 ^ 2 = 4 $ 변수 값 집합의 조합, 세 변수의 함수 - $ 2 ^ 3 = 8 $ 등이 있습니다.

열 수를 결정합니다. 열 수 = 변수 수 + 논리 연산 수.논리 연산의 수를 결정할 때 실행 순서도 고려됩니다.

논리 연산의 결과로 열 채우기주요 논리 연산의 진리표를 고려하여 특정 순서로.

그림 2.

실시예 1

논리식 $ D = \ bar (A) \ vee (B \ vee C) $에 대한 진리표를 만듭니다.

해결책:

줄 수를 결정합시다.

줄 수 = $ 2 ^ 3 + 1 = 9 $.

변수의 수는 $ 3 $입니다.

1. 반전 ($ \ bar (A) $);
2. 분리, 왜냐하면 괄호 안에 있습니다($ B \ vee C $).

3. disjunction ($ \ overline (A) \ vee \ left (B \ vee C \ right) $)은 필수 논리식입니다.

   열 수 = $3 + 3=6$.

논리 연산의 진리표를 고려하여 표를 채워봅시다.

그림 3.

실시예 2

이 논리식에 대해 진리표를 작성하십시오.

해결책:

줄 수를 결정합시다.

단순 표현식의 수는 $ n = 3 $이므로

줄 수 = $2^3 + 1=9$.

열 수를 결정합시다.

변수의 수는 $ 3 $입니다.

논리 연산의 수와 순서:

1. 부정 ($ \ bar (C) $);
2. 분리, 왜냐하면 괄호 안에 있습니다($ A \ vee B $).
3. 접속사 ($ (A \ vee B) \ bigwedge \ overline (C) $);
4. 부정, 우리는 $ F_1 $ ($ \ overline ((A \ vee B) \ bigwedge \ overline (C)) $);
5. 분리 ($ A \ ve C $);
6. 접속사 ($ (A \ vee C) \ bigwedge B $);
7. 부정, 우리는 $ F_2 $ ($ \ overline ((A \ vee C) \ bigwedge B) $);

8. disjunction은 필수 논리 함수입니다($ \ overline ((A \ vee B) \ bigwedge \ overline (C)) \ vee \ overline ((A \ vee C) \ bigwedge B) $).