दोलन आवृत्ति क्या है? दोलन. हार्मोनिक कंपन

हार्मोनिक दोलन साइन और कोसाइन के नियमों के अनुसार किए गए दोलन हैं। निम्नलिखित चित्र कोसाइन नियम के अनुसार समय के साथ एक बिंदु के निर्देशांक में परिवर्तन का एक ग्राफ दिखाता है।

चित्र

दोलन आयाम

हार्मोनिक कंपन का आयाम किसी पिंड के उसकी संतुलन स्थिति से विस्थापन का सबसे बड़ा मूल्य है। आयाम विभिन्न मान ले सकता है। यह इस बात पर निर्भर करेगा कि हम समय के आरंभिक क्षण में शरीर को संतुलन स्थिति से कितना विस्थापित करते हैं।

आयाम प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होता है, अर्थात, समय के प्रारंभिक क्षण में शरीर को प्रदान की गई ऊर्जा। चूँकि साइन और कोसाइन -1 से 1 तक की सीमा में मान ले सकते हैं, समीकरण में दोलनों के आयाम को व्यक्त करने वाला एक कारक Xm होना चाहिए। हार्मोनिक कंपन के लिए गति का समीकरण:

x = Xm*cos(ω0*t).

दोलन काल

दोलन की अवधि वह समय है जो एक पूर्ण दोलन को पूरा करने में लगता है। दोलन की अवधि को टी अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। अवधि की माप की इकाइयाँ समय की इकाइयों के अनुरूप होती हैं। अर्थात् SI में ये सेकंड हैं।

दोलन आवृत्ति समय की प्रति इकाई किए गए दोलनों की संख्या है। दोलन आवृत्ति को अक्षर ν द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। दोलन आवृत्ति को दोलन अवधि के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

ν = 1/टी.

आवृत्ति इकाइयाँ SI 1/सेकंड में हैं। माप की इस इकाई को हर्ट्ज़ कहा जाता है। 2*pi सेकंड के समय में दोलनों की संख्या बराबर होगी:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

दोलन आवृत्ति

इस मात्रा को दोलनों की चक्रीय आवृत्ति कहा जाता है। कुछ साहित्य में वृत्ताकार आवृत्ति नाम आता है। एक दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति मुक्त दोलनों की आवृत्ति है।

प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्राकृतिक कंपन की आवृत्ति सामग्री के गुणों और भार के द्रव्यमान पर निर्भर करती है। स्प्रिंग की कठोरता जितनी अधिक होगी, उसके स्वयं के कंपन की आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी। भार का द्रव्यमान जितना अधिक होगा, प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति उतनी ही कम होगी।

ये दो निष्कर्ष स्पष्ट हैं. स्प्रिंग जितना सख्त होगा, सिस्टम के असंतुलित होने पर यह शरीर को उतना ही अधिक त्वरण प्रदान करेगा। किसी पिंड का द्रव्यमान जितना अधिक होगा, इस पिंड की गति उतनी ही धीमी होगी।

मुक्त दोलन अवधि:

टी = 2*पीआई/ ω0 = 2*पीआई*√(एम/के)

उल्लेखनीय है कि विक्षेपण के छोटे कोणों पर स्प्रिंग पर पिंड के दोलन की अवधि और पेंडुलम के दोलन की अवधि दोलन के आयाम पर निर्भर नहीं करेगी।

आइए एक गणितीय लोलक के लिए मुक्त दोलनों की अवधि और आवृत्ति के सूत्र लिखें।

तो अवधि बराबर होगी

टी = 2*pi*√(l/g).

यह सूत्र केवल छोटे विक्षेपण कोणों के लिए ही मान्य होगा। सूत्र से हम देखते हैं कि पेंडुलम धागे की लंबाई बढ़ने के साथ दोलन की अवधि बढ़ती है। लंबाई जितनी अधिक होगी, शरीर उतना ही धीमा कंपन करेगा।

दोलन की अवधि भार के द्रव्यमान पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करती है। लेकिन यह मुक्त गिरावट के त्वरण पर निर्भर करता है। जैसे-जैसे g घटेगा, दोलन अवधि बढ़ेगी। यह संपत्ति व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। उदाहरण के लिए, मुक्त त्वरण का सटीक मान मापने के लिए।

इस अनुभाग का अध्ययन करते समय कृपया इसे ध्यान में रखें उतार चढ़ावविभिन्न भौतिक प्रकृति का वर्णन सामान्य गणितीय स्थितियों से किया जाता है। यहां हार्मोनिक दोलन, चरण, चरण अंतर, आयाम, आवृत्ति, दोलन अवधि जैसी अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है।

यह ध्यान में रखना चाहिए कि किसी भी वास्तविक दोलन प्रणाली में माध्यम का प्रतिरोध होता है, अर्थात। दोलन मंद हो जायेंगे. दोलनों के अवमंदन को चिह्नित करने के लिए, एक अवमंदन गुणांक और एक लघुगणक अवमंदन कमी पेश की जाती है।

यदि दोलन किसी बाहरी, समय-समय पर बदलते बल के प्रभाव में होते हैं, तो ऐसे दोलनों को मजबूर कहा जाता है। वे अविरल होंगे. मजबूर दोलनों का आयाम प्रेरक बल की आवृत्ति पर निर्भर करता है। जैसे-जैसे मजबूर दोलनों की आवृत्ति प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति के करीब पहुंचती है, मजबूर दोलनों का आयाम तेजी से बढ़ता है। इस घटना को अनुनाद कहा जाता है।

विद्युत चुम्बकीय तरंगों के अध्ययन की ओर बढ़ते समय, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता हैविद्युत चुम्बकीय तरंगअंतरिक्ष में फैलने वाला एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र है। सबसे सरल प्रणालीविद्युत चुम्बकीय तरंगें उत्सर्जित करना एक विद्युत द्विध्रुव है। यदि एक द्विध्रुव हार्मोनिक दोलन से गुजरता है, तो यह एक मोनोक्रोमैटिक तरंग उत्सर्जित करता है।

सूत्र तालिका: दोलन और तरंगें

(अव्य. आयाम-परिमाण) किसी दोलनशील पिंड का उसकी संतुलन स्थिति से सबसे बड़ा विचलन है।

एक पेंडुलम के लिए, यह वह अधिकतम दूरी है जब गेंद अपनी संतुलन स्थिति से दूर जाती है (नीचे चित्र)। छोटे आयाम वाले दोलनों के लिए, चाप 01 या 02 की लंबाई और इन खंडों की लंबाई जैसी दूरी ली जा सकती है।

दोलनों का आयाम लंबाई की इकाइयों - मीटर, सेंटीमीटर आदि में मापा जाता है। दोलन ग्राफ पर, आयाम को साइनसॉइडल वक्र के अधिकतम (मॉड्यूलो) कोटि के रूप में परिभाषित किया गया है (नीचे चित्र देखें)।

दोलन काल.

दोलन काल- यह समय की सबसे छोटी अवधि है जिसके माध्यम से एक प्रणाली दोलन करते हुए फिर से उसी स्थिति में लौट आती है जिसमें वह मनमाने ढंग से चुने गए समय के प्रारंभिक क्षण में थी।

दूसरे शब्दों में, दोलन अवधि ( टी) वह समय है जिसके दौरान एक पूर्ण दोलन होता है। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में, पेंडुलम बॉब को सबसे दाहिने बिंदु से संतुलन बिंदु तक जाने में लगने वाला समय है के बारे मेंसुदूर बाएँ बिंदु तक और बिंदु से वापस के बारे मेंफिर से सबसे दाहिनी ओर.

दोलन की पूरी अवधि में, पिंड इस प्रकार चार आयामों के बराबर पथ यात्रा करता है। दोलन की अवधि को समय की इकाइयों - सेकंड, मिनट आदि में मापा जाता है। दोलन की अवधि दोलनों के एक प्रसिद्ध ग्राफ से निर्धारित की जा सकती है (नीचे चित्र देखें)।

"दोलन अवधि" की अवधारणा, सख्ती से बोलती है, केवल तभी मान्य होती है जब दोलन मात्रा के मान एक निश्चित अवधि के बाद बिल्कुल दोहराए जाते हैं, यानी हार्मोनिक दोलनों के लिए। हालाँकि, यह अवधारणा लगभग दोहराई जाने वाली मात्राओं के मामलों पर भी लागू होती है, उदाहरण के लिए, के लिए नम दोलन.

दोलन आवृत्ति.

दोलन आवृत्ति- यह समय की प्रति इकाई किए गए दोलनों की संख्या है, उदाहरण के लिए, 1 एस में।

आवृत्ति की SI इकाई को नाम दिया गया है हेटर्स(हर्ट्ज) जर्मन भौतिक विज्ञानी जी. हर्ट्ज़ (1857-1894) के सम्मान में। यदि दोलन आवृत्ति ( वी) के बराबर है 1 हर्ट्ज, इसका मतलब है कि हर सेकंड एक दोलन होता है। दोलनों की आवृत्ति और अवधि निम्नलिखित संबंधों से संबंधित हैं:

दोलन के सिद्धांत में वे इस अवधारणा का भी उपयोग करते हैं चक्रीय, या गोलाकार आवृत्ति ω . यह सामान्य आवृत्ति से संबंधित है वीऔर दोलन अवधि टीअनुपात:

.

चक्रीय आवृत्तिप्रति निष्पादित दोलनों की संख्या है 2πसेकंड

इस प्रकार, हार्मोनिक दोलन की कुल ऊर्जा स्थिर और विस्थापन आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है . यह हार्मोनिक दोलनों के विशिष्ट गुणों में से एक है। यहां स्प्रिंग पेंडुलम के मामले में निरंतर गुणांक k का मतलब स्प्रिंग की कठोरता है, और गणितीय पेंडुलम के लिए k = mgH है। दोनों ही मामलों में, गुणांक k ऑसिलेटरी सिस्टम के मापदंडों द्वारा प्रेषित होता है।

एक यांत्रिक दोलन प्रणाली की कुल ऊर्जा में गतिज और संभावित ऊर्जा शामिल होती है और यह इन दो घटकों में से किसी एक के अधिकतम मूल्य के बराबर होती है:

इसलिए, कुल कंपन ऊर्जा विस्थापन आयाम के वर्ग या वेग आयाम के वर्ग के सीधे आनुपातिक है।

सूत्र से:

विस्थापन दोलनों के आयाम x m को निर्धारित करना संभव है:

मुक्त दोलन के दौरान विस्थापन का आयाम प्रारंभिक क्षण में दोलन प्रणाली को प्रदान की गई ऊर्जा के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होता है जब सिस्टम को संतुलन से बाहर लाया गया था।

यांत्रिक मुक्त कंपन की गतिकी

1 विस्थापन, गति, त्वरण.मुक्त दोलनों की गतिक विशेषताओं (विस्थापन, वेग और त्वरण) को खोजने के लिए, हम ऊर्जा के संरक्षण और परिवर्तन के नियम का उपयोग करेंगे, जो एक आदर्श यांत्रिक दोलन प्रणाली के लिए इस प्रकार लिखा गया है:

चूंकि समय व्युत्पन्न φ " स्थिर है, कोण φ समय पर रैखिक रूप से निर्भर करता है:

इसे ध्यान में रखते हुए, हम लिख सकते हैं:

x = x m पाप ω 0 t, υ = x m ω 0 cos ω 0 t

यहाँ मूल्य है

गति परिवर्तन का आयाम है:

υ = υ एम कॉस ω 0 टी

तात्कालिक त्वरण मान की निर्भरता एसमय t से हम समय के संबंध में गति υ के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं:

ए = υ " = - ω 0 υ एम पाप ω 0 टी,

ए = -ए एम पाप ω 0 टी

परिणामी सूत्र में "-" चिह्न इंगित करता है कि जिस अक्ष पर दोलन होते हैं उस पर त्वरण वेक्टर के प्रक्षेपण का चिह्न विस्थापन x के चिह्न के विपरीत है।

तो, हम देखते हैं कि हार्मोनिक दोलनों के साथ, न केवल विस्थापन, बल्कि गति और त्वरण भी साइनसॉइडल रूप से बदलते हैं .

2 चक्रीय दोलन आवृत्ति.ω 0 की मात्रा को चक्रीय दोलन आवृत्ति कहा जाता है। चूंकि फ़ंक्शन पाप α के तर्क α में 2π की अवधि होती है, और हार्मोनिक दोलनों में समय की अवधि T होती है, तो

हमारे आस-पास की दुनिया में, कई घटनाएं और प्रक्रियाएं हैं, जो कुल मिलाकर अदृश्य हैं, इसलिए नहीं कि उनका अस्तित्व नहीं है, बल्कि इसलिए कि हम उन पर ध्यान नहीं देते हैं। वे हमेशा मौजूद रहते हैं और चीजों का वही अगोचर और अनिवार्य सार हैं, जिसके बिना हमारे जीवन की कल्पना करना मुश्किल है। उदाहरण के लिए, हर कोई जानता है कि दोलन क्या है: अपने सबसे सामान्य रूप में, यह संतुलन की स्थिति से विचलन है। अच्छा, ठीक है, ओस्टैंकिनो टॉवर का शीर्ष 5 मीटर भटक गया है, लेकिन आगे क्या? क्या यह ऐसे ही जम जायेगा? ऐसा कुछ भी नहीं, यह वापस लौटना शुरू कर देगा, संतुलन की स्थिति से आगे निकल जाएगा और दूसरी दिशा में भटक जाएगा, और इसी तरह हमेशा के लिए, जब तक यह मौजूद है। मुझे बताओ, वास्तव में कितने लोगों ने इतनी विशाल संरचना के इन गंभीर कंपनों को देखा? हर कोई जानता है, इसमें उतार-चढ़ाव होता रहता है, यहां और वहां, यहां और वहां, दिन और रात, सर्दी और गर्मी, लेकिन किसी तरह... यह ध्यान देने योग्य नहीं है। दोलन प्रक्रिया के कारण एक और प्रश्न हैं, लेकिन इसकी उपस्थिति सभी चीजों की एक अविभाज्य विशेषता है।

चारों ओर सब कुछ दोलन करता है: इमारतें, संरचनाएं, घड़ी के पेंडुलम, पेड़ों पर पत्तियां, वायलिन के तार, समुद्र की सतह, एक ट्यूनिंग कांटा के पैर... दोलनों के बीच, अराजक होते हैं, जिनमें सख्त दोहराव नहीं होता है, और चक्रीय, जिसमें समय अवधि टी के दौरान दोलनशील शरीर अपने परिवर्तनों के एक पूरे सेट से गुजरता है, और फिर यह चक्र बिल्कुल, आम तौर पर, अनिश्चित काल तक दोहराता है। आम तौर पर ये परिवर्तन स्थानिक निर्देशांक की अनुक्रमिक खोज का संकेत देते हैं, जैसा कि एक पेंडुलम या एक ही टावर के दोलनों के उदाहरण में देखा जा सकता है।

प्रति इकाई समय दोलनों की संख्या को आवृत्ति F = 1/T कहा जाता है। आवृत्ति इकाई - हर्ट्ज = 1/सेकंड। यह स्पष्ट है कि चक्रीय आवृत्ति किसी भी प्रकार के समान नाम के दोलनों का एक पैरामीटर है। हालाँकि, व्यवहार में, इस अवधारणा को कुछ परिवर्धन के साथ, मुख्य रूप से एक घूर्णी प्रकृति के कंपन के रूप में संदर्भित करने की प्रथा है। प्रौद्योगिकी में ऐसा ही होता है कि यह अधिकांश मशीनों, तंत्रों और उपकरणों का आधार है। ऐसे दोलनों के लिए, एक चक्र एक क्रांति है, और फिर गति के कोणीय मापदंडों का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है। इसके आधार पर, घूर्णी गति को कोणीय इकाइयों में मापा जाता है, अर्थात। एक क्रांति 2π रेडियन के बराबर है, और चक्रीय आवृत्ति ῳ = 2π / T. इस अभिव्यक्ति से आवृत्ति F के साथ संबंध आसानी से दिखाई देता है: ῳ = 2πF। यह हमें यह कहने की अनुमति देता है कि चक्रीय आवृत्ति 2π सेकंड में दोलनों (पूर्ण क्रांतियों) की संख्या है।

ऐसा लगेगा, माथे में नहीं, तो... बिलकुल नहीं। कारक 2π और 2πF का उपयोग इलेक्ट्रॉनिक्स, गणितीय और सैद्धांतिक भौतिकी के कई समीकरणों में उन अनुभागों में किया जाता है जहां चक्रीय आवृत्ति की अवधारणा का उपयोग करके दोलन प्रक्रियाओं का अध्ययन किया जाता है। उदाहरण के लिए, गुंजयमान आवृत्ति का सूत्र दो कारकों से कम हो जाता है। यदि गणना में इकाई "रेव/सेकंड" का उपयोग किया जाता है, तो कोणीय, चक्रीय, आवृत्ति ῳ संख्यात्मक रूप से आवृत्ति एफ के मान से मेल खाती है।

कंपन, पदार्थ के अस्तित्व के सार और रूप के रूप में, और इसके भौतिक अवतार - हमारे अस्तित्व की वस्तुएं हैं बडा महत्वमानव जीवन में. दोलनों के नियमों के ज्ञान ने आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक्स, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और कई आधुनिक मशीनें बनाना संभव बना दिया है। दुर्भाग्य से, उतार-चढ़ाव हमेशा सकारात्मक प्रभाव नहीं लाते; कभी-कभी वे दुख और विनाश लाते हैं। बेहिसाब कंपन, कई दुर्घटनाओं का कारण, कारण सामग्री, और पुलों, बांधों और मशीन भागों के गुंजयमान कंपन की चक्रीय आवृत्ति उनकी समय से पहले विफलता का कारण बनती है। दोलन प्रक्रियाओं का अध्ययन, प्राकृतिक और तकनीकी वस्तुओं के विनाश या संचालन में विफलता को रोकने के लिए उनके व्यवहार की भविष्यवाणी करने की क्षमता कई इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों का मुख्य कार्य है, और कंपन प्रतिरोध के लिए औद्योगिक सुविधाओं और तंत्र का निरीक्षण एक अनिवार्य है परिचालन रखरखाव का तत्व.