Hlavní integrály, které by měl znát každý student

Uvedené integrály jsou základem, základem základů. Tyto vzorce je samozřejmě třeba mít na paměti. Při počítání složitějších integrálů je budete muset neustále používat.

Zvláštní pozornost věnujte vzorcům (5), (7), (9), (12), (13), (17) a (19). Při integraci nezapomeňte do své odpovědi přidat libovolnou konstantu C!

Integrál konstanty

Integrace funkcí napájení

Ve skutečnosti bychom se mohli omezit pouze na vzorce (5) a (7), ale zbytek integrálů z této skupiny se vyskytuje tak často, že stojí za to jim věnovat trochu pozornosti.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

Integrály exponenciální funkce a hyperbolické funkce

Vzorec (8) (možná nejvhodnější pro zapamatování) lze samozřejmě považovat za speciální případ vzorce (9). Vzorce (10) a (11) pro integrály hyperbolického sinusu a hyperbolického kosinus lze snadno odvodit ze vzorce (8), ale je lepší si tyto vztahy jednoduše zapamatovat.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a> 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Základní integrály goniometrických funkcí

Chyba, které se studenti často dopouštějí: pletou si znaménka ve vzorcích (12) a (13). Vzhledem k tomu, že derivace sinu je rovna kosinu, mnozí z nějakého důvodu věří, že integrál funkce sinx je roven cosx. To není pravda! Integrál sinu se rovná „minus kosinus“, ale integrál cosx se rovná „pouze sinus“:

∫ sin x d x = - cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C (15)

Integrály redukce na inverzní goniometrické funkce

Vzorec (16), který vede k arkustangens, je přirozeně speciálním případem vzorce (17) s a = 1. Podobně (18) je speciální případ (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a> 0) (19)

Složitější integrály

Je také žádoucí si tyto vzorce zapamatovat. Používají se také poměrně často a jejich výstup je poměrně zdlouhavý.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | + C (21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a> 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a> 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a> 0) (24)

Obecná pravidla integrace

1) Integrál součtu dvou funkcí je roven součtu odpovídajících integrálů: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrál rozdílu dvou funkcí je roven rozdílu odpovídajících integrálů: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)

3) Konstantu lze vzít mimo znaménko integrálu: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Je snadné vidět, že vlastnost (26) je jednoduše kombinací vlastností (25) a (27).

4) Integrál složené funkce, pokud je vnitřní funkce lineární: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Zde F (x) je primitivní funkce pro funkci f (x). Upozornění: tento vzorec je vhodný pouze pro případ, kdy má vnitřní funkce tvar Ax + B.

Důležité: neexistuje žádný univerzální vzorec pro integrál součinu dvou funkcí, stejně jako pro integrál zlomku:

∫ f (x) g (x) d x =? ∫ f (x) g (x) d x =? (třicet)

To samozřejmě neznamená, že zlomek nebo produkt nelze integrovat. Prostě pokaždé, když uvidíte integrál jako (30), musíte vymyslet způsob, jak se s tím „vypořádat“. V některých případech vám pomůže integrace po částech, někde budete muset změnit proměnnou a někdy mohou pomoci i „školní“ vzorce algebry nebo trigonometrie.

Jednoduchý příklad na výpočet neurčitého integrálu

Použijeme vzorce (25) a (26) (integrál součtu nebo rozdílu funkcí se rovná součtu nebo rozdílu odpovídajících integrálů. Získáme: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx - ∫ 7 exdx + ∫ 12 dx

Připomeňme, že konstantu lze vzít mimo znaménko integrálu (vzorec (27)). Výraz se převede do formy

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Teď už jen použijeme tabulku základních integrálů. Musíme použít vzorce (3), (12), (8) a (1). Integrujme mocninnou funkci, sinus, exponent a konstantu 1. Nezapomeňme na konec přidat libovolnou konstantu C:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Po elementárních transformacích dostáváme konečnou odpověď:

X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Otestujte se derivováním: vezměte derivaci výsledné funkce a ujistěte se, že je rovna původnímu integrandu.

Kontingenční tabulka integrálů

Stáhněte si tabulku integrálů (část II) z tohoto odkazu

Pokud studujete na vysoké škole, pokud máte potíže s vyšší matematikou (matematická analýza, lineární algebra, teorie pravděpodobnosti, statistika), pokud potřebujete služby kvalifikovaného učitele, přejděte na stránku vyššího učitele matematiky. Společně vyřešíme vaše problémy!

Také by vás mohlo zajímat

Komplexní integrály

Tento článek doplňuje téma neurčitých integrálů a zahrnuje integrály, které považuji za docela obtížné. Lekce vznikla na opakované žádosti návštěvníků, kteří si přáli, aby byly na stránce rozebrány i složitější příklady.

Předpokládá se, že čtenář tohoto textu je dobře připraven a ví, jak aplikovat základní techniky integrace. Dummy a lidé, kteří si nejsou příliš jisti integrály, by se měli obrátit na první lekci - Neurčitý integrál. Příklady řešení, kde zvládnete téma prakticky od nuly. Zkušenější studenti se mohou seznámit s technikami a metodami integrace, se kterými se v mých článcích dosud nesetkali.

Jaké integrály budou uvažovány?

Nejprve budeme uvažovat integrály s odmocninami, k jejichž řešení postupně použijeme variabilní náhrada a integrace po částech... To znamená, že v jednom příkladu jsou kombinovány dvě techniky najednou. A ještě víc.

Pak se seznámíme se zajímavým a originálním metoda redukce integrálu k sobě samému... Tímto způsobem se neřeší tak málo integrálů.

Třetí číslo programu půjde na integrály komplexních zlomků, které prolétly kolem pokladen v předchozích článcích.

Za čtvrté budou analyzovány další integrály goniometrických funkcí. Zejména existují metody, které se vyhýbají časově náročné univerzální trigonometrické substituci.

(2) V integrandu dělíme čitatele ve jmenovateli člen po člen.

(3) Použijeme vlastnost linearity neurčitého integrálu. V posledním integrálu ihned funkci přivedeme pod diferenciální znaménko.

(4) Vezměte zbývající integrály. Všimněte si, že závorky lze použít v logaritmu, nikoli modulu, protože.

(5) Provádíme zpětnou substituci, vyjadřující z přímé substituce "te":

Masochističtí studenti mohou rozlišit odpověď a získat původní integrand jako já. Ne, ne, provedl jsem kontrolu ve správném smyslu =)

Jak je vidět, v průběhu řešení bylo třeba použít i více než dvě metody řešení, takže k řešení takových integrálů jsou potřeba sebevědomé integrační schopnosti a ne nejmenší zkušenosti.

V praxi je samozřejmě běžnější odmocnina, zde jsou tři příklady pro nezávislé řešení:

Příklad 2

Najděte neurčitý integrál

Příklad 3

Najděte neurčitý integrál

Příklad 4

Najděte neurčitý integrál

Tyto příklady jsou stejného typu, takže kompletní řešení na konci článku bude pouze pro příklad 2, v příkladech 3-4 - jedna odpověď. Jakou substituci použít na začátku řešení, je myslím zřejmé. Proč jsem vybral příklady stejného typu? Často se ve své roli setkávají. Častěji snad jen něco podobného .

Ale ne vždy, když je kořen lineární funkce nalezen pod arkustangens, sinus, kosinus, exponent a dalšími funkcemi, je třeba použít několik metod najednou. V řadě případů lze „lehce sesednout“, to znamená, že ihned po výměně se získá jednoduchý integrál, který lze elementárně vzít. Nejjednodušší z výše navržených úloh je příklad 4, ve kterém po nahrazení získáme relativně jednoduchý integrál.

Snížením integrálu na sebe

Geniální a krásná metoda. Pojďme se okamžitě podívat na klasiky tohoto žánru:

Příklad 5

Najděte neurčitý integrál

Pod odmocninou je čtvercový binom a při pokusu o integraci tohoto příkladu může konvice trpět hodiny. Takový integrál je odebírán kus po kuse a redukován na sebe. V zásadě není těžké. Pokud víte jak.

Označme uvažovaný integrál latinkou a začněme řešení:

Integrujeme kus po kuse:

(1) Připravte integrandovou funkci pro dělení členů.

(2) Integrand dělíme podle členu. Možná ne každý rozumí, napíšu podrobněji:

(3) Použijeme vlastnost linearity neurčitého integrálu.

(4) Vezměte poslední integrál ("dlouhý" logaritmus).

Nyní se podíváme na úplný začátek řešení:

A na závěr:

Co se stalo? V důsledku našich manipulací se integrál zredukoval na sebe!

Srovnejme začátek a konec:

Přesuňte se doleva se změnou znaménka:

A dvojku neseme na pravou stranu. Jako výsledek:

Konstanta, přísně vzato, měla být přidána dříve, ale přidala se na konci. Důrazně doporučuji, abyste si přečetli, co je zde přísné:

Poznámka: Přesněji řečeno, závěrečná fáze řešení vypadá takto:

Takto:

Konstantu lze přejmenovat na. Proč můžete znovu určit? Protože stále přijímá žádný hodnoty a v tomto smyslu není rozdíl mezi konstantami a.
Jako výsledek:

Podobný trik s neustálým přejmenováním je široce používán v diferenciální rovnice... A tam budu přísný. A tady takovou volnost povoluji jen proto, abych vás nepletl zbytečnostmi a zaměřil se na samotnou metodu integrace.

Příklad 6

Najděte neurčitý integrál

Další typický integrál pro nezávislé řešení. Kompletní řešení a odpověď na konci tutoriálu. Rozdíl oproti odpovědi z předchozího příkladu bude!

Pokud je pod druhou odmocninou čtvercová trojčlenka, pak je řešení v každém případě redukováno na dva analyzované příklady.

Uvažujme například integrál ... Vše, co musíte udělat, je předem vyberte celý čtverec:
.
Dále se provádí lineární výměna, která se obejde „bez jakýchkoli následků“:
výsledkem je integrál. Něco známého, že?

Nebo takový příklad se čtvercovým binomem:
Vyberte celý čtverec:
A po lineárním nahrazení dostaneme integrál, který je také řešen podle již uvažovaného algoritmu.

Zvažte dva další typické příklady, jak redukovat integrál na sebe:
- integrál exponentu násobený sinem;
Je integrál exponentu vynásobený kosinusem.

V uvedených integrálech po částech budeme muset integrovat již dvakrát:

Příklad 7

Najděte neurčitý integrál

Integrand je exponent krát sinus.

Integrujeme po částech dvakrát a integrál redukujeme na sebe:

V důsledku dvojité integrace po částech se integrál zredukoval na sebe. Položme rovnítko mezi začátek a konec řešení:

Přesuňte se doleva se změnou znaménka a vyjádřete náš integrál:

Připraveno. Po cestě je vhodné pročesat pravou stranu, tzn. umístěte exponent mimo závorky a v závorkách uspořádejte sinus a kosinus v "krásném" pořadí.

Nyní se vraťme na začátek příkladu, nebo spíše k integraci po částech:

Neboť jsme určili vystavovatele. Nabízí se otázka, přesně by měl být exponent vždy označen? Není nutné. Ve skutečnosti v uvažovaném integrálu zásadně žádný rozdíl, co označovat, bylo možné jít i jinak:

Proč je to možné? Protože se exponent mění v sebe (jak při derivaci, tak i při integraci), sinus a kosinus se vzájemně přeměňují (opět jak při derivaci, tak integraci).

To znamená, že můžete určit také goniometrickou funkci. Ale v uvažovaném příkladu je to méně racionální, protože se objeví zlomky. Pokud chcete, můžete tento příklad zkusit vyřešit druhým způsobem, odpovědi musí být stejné.

Příklad 8

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily. Než se rozhodnete, přemýšlejte o tom, co je v tomto případě výhodnější určit, exponent nebo goniometrická funkce? Kompletní řešení a odpověď na konci tutoriálu.

A samozřejmě mějte na paměti, že většinu odpovědí v této lekci lze snadno rozlišit!

Příklady nebyly považovány za nejobtížnější. V praxi jsou běžnější integrály, kde konstanta je jak v exponentu, tak v argumentu goniometrické funkce, například:. Mnoho lidí se bude muset v takovém integrálu ztratit a já sám se často pletu. Faktem je, že existuje vysoká pravděpodobnost výskytu zlomků v roztoku a je velmi snadné něco ztratit nepozorností. Kromě toho existuje vysoká pravděpodobnost chyby ve znacích, všimněte si, že exponent má znaménko mínus, což přináší další potíže.

V konečné fázi se často ukáže něco jako následující:

I na konci řešení byste měli být velmi opatrní a kompetentně zacházet se zlomky:

Integrace složených frakcí

Pomalu se přibližujeme k rovníku lekce a začínáme uvažovat integrály zlomků. Opět ne všechny jsou super složité, jen z toho či onoho důvodu byly příklady v jiných článcích trochu „mimo téma“.

Pokračování v tématu kořenů

Příklad 9

Najděte neurčitý integrál

Ve jmenovateli pod odmocninou je čtvercová trojčlenka plus mimo kořenový "přídavek" ve tvaru "x". Integrál tohoto druhu se řeší pomocí standardní substituce.

rozhodujeme se:

Výměna je jednoduchá:

Podíváme se na životnost po výměně:

(1) Po substituci přivedeme členy pod kořenem ke společnému jmenovateli.
(2) Vyjmeme zpod kořene.
(3) Snižte čitatel a jmenovatel o. Zároveň jsem pod rootem přeskupil podmínky ve vhodném pořadí. S určitými zkušenostmi lze kroky (1), (2) přeskočit provedením komentovaných akcí slovně.
(4) Výsledný integrál, jak si pamatujete z lekce Integrace některých zlomků, vyřešeno metodou výběru plného čtverce... Vyberte celý čtverec.
(5) Integrací dostaneme obyčejný "dlouhý" logaritmus.
(6) Provádíme zpětnou výměnu. Pokud zpočátku, pak zpět:.
(7) Poslední akce je zaměřena na účes výsledku: pod kořenem opět přivedeme termíny ke společnému jmenovateli a vyjmeme je zpod kořene.

Příklad 10

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily. Zde byla k osamělému X přidána konstanta a náhrada je téměř stejná:

Jediná věc, kterou je třeba udělat dodatečně, je vyjádřit „x“ z nahrazení:

Kompletní řešení a odpověď na konci tutoriálu.

Někdy v takovém integrálu může být pod odmocninou čtvercový binom, tím se řešení nezmění, bude ještě jednodušší. Cítit rozdíl:

Příklad 11

Najděte neurčitý integrál

Příklad 12

Najděte neurčitý integrál

Stručná řešení a odpovědi na konci lekce. Je třeba poznamenat, že příklad 11 je přesně takový binomický integrál, jehož způsob řešení byl v lekci zvažován Integrály iracionálních funkcí.

Integrál nerozložitelného polynomu stupně 2 stupně

(polynom ve jmenovateli)

Vzácnější, ale přesto se v praktických příkladech setkáváme s formou integrálu.

Příklad 13

Najděte neurčitý integrál

Ale zpět k příkladu se šťastným číslem 13 (upřímně, nehádal jsem správně). I tento integrál je z kategorie těch, se kterými se můžete pěkně potrápit, když si nevíte rady.

Řešení začíná umělou transformací:

Myslím, že každý už chápe, jak rozdělit čitatele podle jmenovatele termín po termínu.

Výsledný integrál se odebírá kus po kuse:

Pro integrál tvaru (je přirozené číslo), opakující se Vzorec pro snížení stupně:
, kde - integrál o stupeň nižší.

Ověřme platnost tohoto vzorce pro řešený integrál.
V tomto případě:,, použijeme vzorec:

Jak vidíte, odpovědi jsou stejné.

Příklad 14

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily. Roztok vzorku používá výše uvedený vzorec dvakrát za sebou.

Pokud pod stupeň existuje nerozložitelnéčtvercový trojčlen, pak se řešení redukuje na dvojčlen výběrem celého čtverce, například:

Co když je v čitateli další polynom? V tomto případě je použita metoda nedefinovaných koeficientů a integrand je rozšířen na součet zlomků. Ale v mé praxi takový příklad nikdy nepotkal, tak jsem tento případ v článku přeskočil Integrály zlomkové racionální funkce, teď to vynechám. Pokud se takový integrál stále vyskytuje, podívejte se do učebnice - tam je vše jednoduché. Nepovažuji za vhodné zařazovat materiál (byť jednoduchý), u kterého pravděpodobnost setkání bývá nulová.

Integrace komplexních goniometrických funkcí

U většiny příkladů je přídavné jméno „obtížný“ opět z velké části podmíněné. Začněme tečnami a kotangens ve vysokých stupních. Z hlediska metod používaných pro řešení tečny a kotangens jsou téměř totožné, proto budu mluvit více o tečně, z čehož vyplývá, že demonstrovaná metoda řešení integrálu platí i pro kotangens.

Ve výše uvedené lekci jsme se podívali na univerzální trigonometrické substituce pro řešení určitého druhu integrálů goniometrických funkcí. Nevýhodou univerzální goniometrické substituce je, že při jejím použití často vznikají těžkopádné integrály s obtížnými výpočty. A v některých případech se lze vyhnout univerzální trigonometrické substituci!

Zvažte další kanonický příklad, integrál jednoty dělený sinem:

Příklad 17

Najděte neurčitý integrál

Zde můžete použít obecnou trigonometrickou substituci a získat odpověď, ale existuje racionálnější způsob. Poskytnu kompletní řešení s komentáři pro každý krok:

(1) Použijeme sinusový trigonometrický vzorec dvojitého úhlu.
(2) Provedeme umělou transformaci: Ve jmenovateli rozděl a násob.
(3) Podle známého vzorce ve jmenovateli převedeme zlomek na tečnu.
(4) Funkci přivedeme pod znaménko diferenciálu.
(5) Vezměte integrál.

Několik jednoduchých příkladů pro nezávislé řešení:

Příklad 18

Najděte neurčitý integrál

Poznámka: Úplně prvním krokem je použití přetypovacího vzorce a pečlivě proveďte kroky podobné předchozímu příkladu.

Příklad 19

Najděte neurčitý integrál

No, toto je velmi jednoduchý příklad.

Kompletní řešení a odpovědi na konci lekce.

Myslím, že nyní nikdo nebude mít problémy s integrály:
atd.

Jaká je myšlenka této metody? Cílem je uspořádat pouze tečny a derivaci tečny v integrandu pomocí transformací, trigonometrických vzorců. To znamená, že mluvíme o nahrazení: ... V příkladech 17-19 jsme skutečně použili toto nahrazení, ale integrály byly tak jednoduché, že záležitost byla ošetřena ekvivalentní akcí - uvedením funkce pod diferenciální znaménko.

Podobné úvahy, jak jsem již uvedl, lze provést pro kotangens.

Existuje také formální předpoklad pro uplatnění výše uvedené náhrady:

Součet mocnin kosinu a sinu je záporné celé číslo SUDÉ číslo, Například:

pro integrál - záporné celé číslo SUDÉ číslo.

! Poznámka : pokud integrand obsahuje POUZE sinus nebo POUZE kosinus, pak se integrál bere i jako záporný lichý stupeň (nejjednodušší případy jsou v příkladech č. 17, 18).

Zvažte několik smysluplnějších úkolů pro toto pravidlo:

Příklad 20

Najděte neurčitý integrál

Součet mocnin sinu a kosinu: 2 - 6 = –4 je záporné celé číslo SUDÉ, což znamená, že integrál lze redukovat na tečny a jeho derivaci:

(1) Transformujte jmenovatele.
(2) Podle známého vzorce získáme.
(3) Transformujte jmenovatele.
(4) Použijeme vzorec .
(5) Funkci přivedeme pod znaménko diferenciálu.
(6) Provádíme výměnu. Zkušenější studenti sice záměnu neprovedou, ale i tak je lepší tečnu nahradit jedním písmenem - hrozí menší nebezpečí záměny.

Příklad 21

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily.

Vydržte, kola šampionů začínají =)

V integrandu se často vyskytuje „miška“:

Příklad 22

Najděte neurčitý integrál

Tento integrál zpočátku obsahuje tečnu, která okamžitě vyvolává již známou myšlenku:

Umělou transformaci na samém začátku a zbytek kroků nechám bez komentáře, protože vše již bylo řečeno výše.

Několik kreativních příkladů pro vlastní řešení:

Příklad 23

Najděte neurčitý integrál

Příklad 24

Najděte neurčitý integrál

Ano, samozřejmě v nich můžete snížit stupně sinus, kosinus, použít univerzální trigonometrickou substituci, ale řešení bude mnohem efektivnější a kratší, pokud bude provedeno přes tečny. Kompletní řešení a odpovědi na konci lekce