Základ maticového jádra. Tvorba matice celistvého obrazu s odděleným vnímáním prvků komplexního objektu

Vyjasnění principů integrace diskrétních informací při odděleném vnímání prvků komplexního objektu je naléhavým interdisciplinárním problémem. Článek pojednává o procesu vytváření obrazu objektu, který je komplexem bloků, z nichž každý kombinuje sadu malých prvků. Jako předmět studia byla vybrána konfliktní situace, protože byla důsledně v oblasti pozornosti s konstantní strategií analýzy informací. Okolnosti situace byly součástí objektu a byly odděleně vnímány jako prototypy konfliktu. Úkolem této práce bylo matematicky vyjádřit matici, která odráží obraz problematické behaviorální situace. Řešení problému bylo založeno na datech z vizuální analýzy návrhu grafické kompozice, jejíž prvky odpovídaly situačním okolnostem. Velikost a grafické vlastnosti vybraných prvků a také jejich rozložení v kompozici posloužily jako vodítko pro identifikaci řádků a sloupců v obrazové matici. Studie ukázala, že design matice je určen zaprvé motivací chování, zadruhé vztahy příčiny a následku situačních prvků a posloupností získávání informací a také zatřetí výběrem kusů. informací v souladu s jejich váhovými parametry. Lze předpokládat, že uvedené principy maticového vektoru utváření obrazu behaviorální situace jsou charakteristické pro konstrukci obrazů a dalších objektů, na které je zaměřena pozornost.

vizualizace

vnímání

diskrétnost informací

1. Anokhin P.K. Eseje o fyziologii funkčních systémů. – M.: Medicína, 1985. – 444 s.

2. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineární algebra: učebnice pro vysoké školy. – 6. vyd. – M.: Fizmatlit, 2004. -280 s.

3. Lavrov V.V. Mozek a psychika. – Petrohrad: RGPU, 1996. – 156 s.

4. Lavrov V.V., Lavrova N.M. Vliv agrese na integritu, integritu, hodnotu a subjektivitu obrazu konfliktní situace // Kognitivní psychologie: interdisciplinární výzkum a integrativní postupy. – Petrohrad: VVM, 2015. – S. 342-347.

5. Lavrov V.V., Rudinský A.V. Triáda strategií zpracování informací při rozpoznávání neúplných vizuálních obrazů // Fundamental Research. – 2014 – č. 6 (2). – s. 375-380.

6. Lavrová N.M., Lavrov V.V., Lavrov N.V. Mediace: zodpovědná rozhodnutí. – M: OPPL, 2013. – 224 s.

7. Shelepin Yu.E., Chikhman V.N., Foreman N. Analýza studií vnímání fragmentovaných obrazů - holistické vnímání a vnímání založené na informativních rysech // Russian Physiological Journal. 2008. – T. 94. č. 7. – S. 758-776.

Výsledky studií percepce neúplných obrazů rozšířily perspektivu studia principů, které určují integraci diskrétních informací a montáž úplných obrazů. Analýza vlastností rozpoznávání fragmentovaných obrazů, když jsou prezentovány s měnícím se počtem fragmentů, umožnila vysledovat tři strategie pro konstrukci úplného obrazu v podmínkách nedostatku informací. Strategie se lišily v hodnocení významu dostupných informací pro vytvoření koherentního obrazu. Jinými slovy, každá strategie se vyznačovala manipulací s váhovými parametry dostupných informací. První strategie počítala s ekvivalencí fragmentů obrazu - jeho identifikace byla provedena po nashromáždění informací na úroveň dostatečnou pro úplné pochopení prezentovaného objektu. Druhá strategie byla založena na diferencovaném přístupu k hodnocení váhy dostupných informací. Hodnocení bylo provedeno v souladu s předloženou hypotézou o podstatě objektu. Třetí strategie byla určena motivací k maximálnímu využití dostupných informací, kterým byla přikládána vysoká váha a byly považovány za znak či prototyp skutečného předmětu. Důležitým bodem v předchozí práci bylo zohlednění mozkových mechanismů, které zajišťují změnu strategií v závislosti na dominantní emoci a motivaci chování. To se týká nespecifických mozkových systémů a heterogenity nervových modulů pracujících pod kontrolou centrálního řízení. Provedené studie, stejně jako ty známé z literárních zdrojů, ponechaly otázku principů distribuce informací v uceleném obrazu otevřenou. Pro zodpovězení otázky bylo nutné sledovat utváření obrazu předmětu, na který je pozornost dlouhodobě zaměřena a zvolená strategie konstrukce obrazu zůstává nezměněna. Konfliktní situace by mohla sloužit jako takový objekt, protože byla důsledně v oblasti pozornosti, přičemž druhá strategie analýzy okolností zůstala konstantní. Sporné strany odmítly první strategii kvůli prodloužení doby trvání konfliktu a neuplatnily třetí strategii, aby se zabránilo chybným rozhodnutím.

cílová Tato práce měla objasnit principy konstrukce obrazové matice založené na prvcích informací získaných odděleným vnímáním složek komplexního objektu, na který byla zaměřena pozornost. Řešili jsme následující problémy: za prvé jsme vybrali objekt, na který byla pozornost soustředěna stabilně dlouhou dobu, za druhé jsme pomocí metody vizualizace obrazu vysledovali fragmentaci informací získaných při vnímání objektu a za třetí, formulovat principy integrálních distribučních fragmentů v matici.

Materiály a výzkumné metody

Problematická behaviorální situace sloužila jako vícesložkový objekt, který byl stabilně v poli pozornosti s nezměněnou strategií analýzy dostupných informací. Problém byl způsoben konfliktem ve vztazích mezi rodinnými příslušníky i zaměstnanci průmyslových a vzdělávacích institucí. Mediaci zaměřené na řešení rozporů mezi znesvářenými stranami předcházely experimenty, v nichž byl analyzován obraz situace. Před zahájením mediačních jednání dostali zástupci znesvářených stran nabídku zúčastnit se jako subjekty experimentů pomocí techniky, která usnadňuje analýzu situace. Technika vizualizace zahrnovala konstrukci grafické kompozice, která odrážela konstrukci obrazu, který vznikl při samostatném vnímání složek komplexního objektu. Technika sloužila jako nástroj pro studium procesů utváření celistvého obrazu ze souboru prvků odpovídajících detailům objektu. Soubor subjektů tvořilo 19 žen a 8 mužů ve věku od 28 do 65 let. Pro získání úplného vizuálního obrazu situace byly subjekty požádány, aby provedly následující akce: 1) obnovit si v paměti okolnosti konfliktní situace – události, vztahy s lidmi, motivy jejich chování a jejich okolí; 2) zhodnotit okolnosti podle jejich významu pro pochopení podstaty situace; 3) rozdělit okolnosti na příznivé a nepříznivé pro řešení konfliktu a pokusit se vysledovat jejich vztah; 4) vybrat podle vašeho názoru vhodný grafický prvek (kruh, čtverec, trojúhelník, čára nebo bod) pro každou z okolností, které charakterizují situaci; 5) z grafických prvků vytvořit kompozici s přihlédnutím k významu a vztahu okolností zprostředkovaných těmito prvky a výslednou kompozici nakreslit na papír. Byly analyzovány grafické kompozice - byla posouzena uspořádanost a poměr velikostí obrazových prvků. Náhodné, neuspořádané kompozice byly odmítnuty a subjekty byly požádány, aby přehodnotily vzájemný vztah situačních okolností. Výsledky zobecněné kompoziční analýzy posloužily jako vodítko pro formulaci matematického vyjádření obrazové matice.

Výsledky výzkumu a diskuse

Každá grafická kompozice, jejímž prostřednictvím subjekt představoval konstrukci obrazu behaviorální situace, byla originální. Příklady kompozic jsou znázorněny na obrázku.

Grafické kompozice odrážející obrazy problematických situací chování, ve kterých se subjekty nacházely (každý prvek kompozice odpovídá situačním okolnostem)

Jedinečnost skladeb svědčila o zodpovědném přístupu subjektů k rozboru situací s přihlédnutím k jejich osobitým rysům. Počet prvků v kompozici a dimenze prvků i provedení kompozice odrážely posouzení komplexu okolností.

Poté, co byla zaznamenána originalita kompozic, studie se obrátila k identifikaci základních rysů designu obrazu. Ve snaze vybudovat celistvou kompozici odrážející obraz situace subjekty rozdělovaly prvky v souladu se svými individuálními preferencemi a také s přihlédnutím k příčinným a následným vztahům okolností a kombinaci okolností v čase. Sedm subjektů preferovalo montáž kompozice formou kresby, jejíž konstrukci určoval předkreslený figurativní plán. Na Obr. 1 (a, b, d) uvádí příklady takových kompozic. Před sestavením kompozice si dva subjekty zvolily myšlenku, která tvořila základ plánu, vědomě a pět intuitivně, aniž by uvedli logické vysvětlení, proč se rozhodli pro vybranou možnost. Zbývajících dvacet subjektů vytvořilo schematickou kompozici, přičemž pozornost věnovala pouze vztahům příčin a následků okolností a kombinaci okolností v čase (obr. 1, c, e, f). Ve skladbě se spojily příbuzné a náhodné okolnosti. Experimenty neinterpretovaly podstatu konfliktu pomocí grafických kompozičních dat. Tento výklad byl následně proveden v rámci mediace, kdy byla zjišťována připravenost stran k jednání.

Analýza kompozic umožnila vysledovat nejen odlišnost, ale i univerzálnost principů utváření obrazu situace. Za prvé, kompozice se skládaly z grafických prvků, z nichž každý odrážel okolnosti, které měly společné. Shodnost okolností byla způsobena příčinami a následkem a časovými vztahy. Za druhé, okolnosti byly nestejně důležité pro pochopení podstaty problémové situace. Čili okolnosti se lišily v parametrech hmotnosti. Velmi významné okolnosti byly znázorněny grafickými prvky ve větší velikosti oproti méně významným. Poznamenané rysy obrazu byly vzaty v úvahu při sestavování obrazové matice. To znamená, že velikost a grafické vlastnosti vybraných prvků i jejich prostorová poloha v grafické kompozici sloužily jako vodítko pro konstrukci informační matice, která odrážela obraz situace a byla jejím matematickým modelem. Obdélníková matice, reprezentovaná jako tabulka, je rozdělena na řádky a sloupce. Ve vztahu k obrazu utvářející se problémové situace byly v matici identifikovány řádky, které obsahovaly vážené prvky prototypů, sjednocené vztahem příčina-následek a časovými vztahy, a sloupce obsahující elementární data, která se lišila váhovými parametry.

(1)

Každá jednotlivá linie odrážela formování části obrazu nebo jinými slovy prototypu objektu. Čím více čar a čím větší m, tím komplexněji byl objekt vnímán, protože strukturální a funkční vlastnosti, které sloužily jako jeho prototypy, byly plně brány v úvahu. Počet sloupců n byl určen počtem detailů zaznamenaných při konstrukci prototypu. Dá se předpokládat, že čím více informačních fragmentů vysoké a nízké hmotnosti bylo nashromážděno, tím plněji prototyp odpovídal skutečnosti. Matrix (1) se vyznačoval dynamičností, neboť jeho rozměr se měnil v souladu s úplností obrazu vnímaného předmětu.

Zde je vhodné poznamenat, že úplnost není jediným ukazatelem kvality obrazu. Obrazy prezentované na plátnech umělců jsou často horší než fotografie z hlediska detailů a korespondence s realitou, ale zároveň mohou být lepší ve spojení s jinými obrazy, ve stimulaci imaginace a ve vyvolávání emocí. Uvedená poznámka pomáhá pochopit význam parametrů amn, které udávají váhu informačních fragmentů. Přírůstek hmotnosti kompenzoval nedostatek dostupných údajů. Jak ukázala studie strategií pro překonání nejistoty, uznání vysokého významu dostupných informací urychlilo rozhodování v problémové situaci.

Proces vytváření integrálního obrazu lze tedy interpretovat, pokud jej korelujeme s manipulací s informacemi v matici. Manipulace je vyjádřena dobrovolnou nebo nedobrovolnou (vědomou, účelovou nebo intuitivní nevědomou) změnou váhových parametrů informačních fragmentů, tedy změnou hodnoty amn. V tomto případě se zvyšuje nebo snižuje hodnota bm, která charakterizuje významnost prototypu a zároveň se mění výsledný obrázek br. Pokud se obrátíme na maticový model tvorby obrazu, pokrývající soubor dat týkajících se objektu, pak je organizace obrazu popsána následovně. Označme vektor předobrazů obsahujících m složek pomocí

kde T je znak transpozice a každý prvek vektoru předobrazu má tvar:

Poté lze výběr výsledného obrázku provést podle Laplaceova pravidla:

kde br je konečný výsledek vytvoření pevného obrázku, který má jako své složky hodnoty bm, amn je soubor hodnot, které určují parametry polohy a váhy proměnné v řádku odpovídající předobrazu . V podmínkách omezených informací lze konečný výsledek zvýšit zvýšením vah dostupných dat.

V závěru diskuse k předloženému materiálu o principech tvorby obrazu je třeba upozornit na nutnost upřesnění pojmu „obraz“, neboť v literatuře neexistuje žádný obecně přijímaný výklad. Termín především znamená vytvoření uceleného systému informačních fragmentů, které odpovídají detailům objektu v oblasti pozornosti. Navíc velké detaily objektu jsou reflektovány subsystémy informačních fragmentů, které tvoří prototypy. Objektem může být objekt, jev, proces, ale i behaviorální situace. Utváření obrazu je zajištěno asociacemi přijatých informací a těch, které jsou obsaženy v paměti a jsou spojeny s vnímaným objektem. Konsolidace informačních fragmentů a asociací při vytváření obrazu je realizována v rámci matice, jejíž design a vektor jsou voleny vědomě nebo intuitivně. Volba závisí na preferencích nastavených motivací chování. Zde je zvláštní pozornost věnována základnímu bodu - diskrétnosti informace použité k sestavení integrální matice obrazu. Integrita, jak je ukázáno, je zajištěna nespecifickými mozkovými systémy, které řídí procesy analýzy přijatých informací a jejich integraci do paměti. Integrita může nastat při minimálních hodnotách n a m rovných jedné. Obraz získává vysokou hodnotu díky zvýšení váhových parametrů dostupných informací a úplnost obrazu se zvyšuje s rostoucími hodnotami n a m (1).

Závěr

Vizualizace prvků obrazu umožnila vysledovat principy jeho návrhu v podmínkách samostatného vnímání okolností problematické behaviorální situace. Výsledkem provedených prací bylo prokázáno, že konstrukci kompletního obrazu lze považovat za rozložení informačních fragmentů ve struktuře matice. Její design a vektor jsou určeny zaprvé motivací chování, zadruhé příčinnými a následnými vztahy okolností a časovou posloupností získávání informace a zatřetí výběrem informací v souladu s jejich váhovými parametry. Integrita obrazové matice je zajištěna integrací diskrétních informací odrážejících vnímaný objekt. Nespecifické mozkové systémy tvoří mechanismus zodpovědný za integraci informací do koherentního obrazu. Objasnění maticových principů utváření obrazu složitého objektu rozšiřuje perspektivu pochopení podstaty nejen celistvosti, ale i dalších vlastností obrazu. To se týká integrity a bezpečnosti obrazového systému, stejně jako hodnoty a subjektivity způsobené nedostatkem úplných informací o objektu.

Bibliografický odkaz

Definice 1. Obraz lineárního operátoru A je množina všech prvků reprezentovatelných ve tvaru , kde .

Obraz lineárního operátoru A je lineární podprostor prostoru. Jeho rozměr se nazývá hodnost operátora A.

Definice 2. Jádro lineárního operátoru A je množina všech vektorů, pro které je .

Jádro je lineární podprostor prostoru X. Jeho dimenze se nazývá závada operátora A.

Pokud operátor A působí v -rozměrném prostoru X, pak platí následující vztah + =.

Volá se operátor A nedegenerované, pokud jeho jádro . Hodnost nedegenerovaného operátoru se rovná rozměru prostoru X.

Nechť je matice lineární transformace A prostoru X v nějaké bázi, pak souřadnice obrazu a inverzního obrazu souvisí vztahem

Souřadnice libovolného vektoru tedy vyhovují soustavě rovnic

Z toho vyplývá, že jádro lineárního operátoru je lineární skořápka fundamentálního systému řešení daného systému.

Úkoly

1. Dokažte, že hodnost operátoru je rovna hodnosti jeho matice na libovolném základě.

Vypočítejte jádra lineárních operátorů definovaných v určité bázi prostoru X pomocí následujících matic:

5. Dokažte to.

Vypočítejte hodnost a defekt operátorů daných následujícími maticemi:

6. . 7. . 8. .

3. Vlastní vektory a vlastní hodnoty lineárního operátoru

Uvažujme lineární operátor A působící v -rozměrném prostoru X.

Definice.Číslo l se nazývá vlastní hodnota operátoru A if , takže . V tomto případě se vektor nazývá vlastní vektor operátoru A.

Nejdůležitější vlastností vlastních vektorů lineárního operátoru je, že vlastní vektory odpovídají párově různým vlastním číslům lineárně nezávislý.

Pokud je matice lineárního operátoru A na bázi prostoru X, pak se vlastní čísla l a vlastní vektory operátoru A určují takto:

1. Vlastní čísla se nacházejí jako kořeny charakteristické rovnice (algebraická rovnice t. stupně):

2. Souřadnice všech lineárně nezávislých vlastních vektorů odpovídajících každému jednotlivému vlastnímu číslu se získá řešením soustavy homogenních lineárních rovnic:

jehož matice má hodnost . Základním řešením tohoto systému jsou sloupcové vektory souřadnic vlastních vektorů.

Kořeny charakteristické rovnice se také nazývají vlastní hodnoty matice a řešení systému se nazývají vlastní vektory matice.

Příklad. Najděte vlastní vektory a vlastní hodnoty operátoru A, specifikované na určité bázi maticí

1. K určení vlastních hodnot sestavíme a vyřešíme charakteristickou rovnici:

Odtud vlastní hodnota, její násobnost.

2. K určení vlastních vektorů sestavíme a vyřešíme soustavu rovnic:

Ekvivalentní soustava základních rovnic má tvar

Každý vlastní vektor je tedy sloupcový vektor, kde c je libovolná konstanta.

3.1.Operátor jednoduché struktury.

Definice. Lineární operátor A pracující v n-rozměrném prostoru se nazývá operátor jednoduché struktury, pokud odpovídá přesně n lineárně nezávislým vlastním vektorům. V tomto případě je možné sestrojit prostorovou bázi z vlastních vektorů operátoru, ve které má operátorová matice nejjednodušší diagonální tvar

kde jsou vlastní čísla operátora. Je zřejmé, že to platí i obráceně: pokud má v nějaké bázi prostoru X matice operátoru diagonální tvar, pak základ tvoří vlastní vektory operátoru.

Lineární operátor A je operátor jednoduché struktury právě tehdy, když každá vlastní hodnota násobnosti odpovídá přesně lineárně nezávislým vlastním vektorům. Protože vlastní vektory jsou řešením soustavy rovnic, každý kořen charakteristické rovnice násobnosti musí odpovídat matici pořadí.

Jakákoli matice velikosti odpovídající jednoduchému strukturnímu operátoru je podobná diagonální matici

kde přechodová matice T z původní báze do báze vlastních vektorů má jako sloupce sloupcové vektory ze souřadnic vlastních vektorů matice (operátor A).

Příklad. Redukujte lineární operátorovou matici na diagonální tvar

Vytvořme charakteristickou rovnici a najdeme její kořeny.

Odkud pocházejí vlastní hodnoty mnohosti a mnohosti?

První vlastní hodnota. Odpovídá vlastním vektorům, jejichž souřadnice jsou

systémové řešení

Hodnost tohoto systému je 3, takže existuje pouze jedno nezávislé řešení, například vektor .

Odpovídající vlastní vektory jsou určeny soustavou rovnic

jehož pořadí je 1, a proto existují tři lineárně nezávislá řešení, např.

Každé vlastní číslo násobnosti tedy odpovídá přesně lineárně nezávislým vlastním vektorům, a proto je operátor operátorem jednoduché struktury. Matice přechodu T má tvar

a souvislost mezi podobnými maticemi je určena vztahem

Úkoly

Najděte vlastní vektory a vlastní čísla

lineární operátory definované na určité bázi maticemi:

Určete, který z následujících lineárních operátorů lze převedením na nový základ redukovat na diagonální formu. Najděte tento základ a jeho odpovídající matici:

10. Dokažte, že vlastní vektory lineárního operátoru odpovídající různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé.

11. Dokažte, že pokud lineární operátor A působící v , má n různých hodnot, pak libovolný lineární operátor B komutuje s A, má bázi vlastních vektorů a jakýkoli vlastní vektor A bude také vlastním vektorem B.

INVARIANTNÍ PODPROSTORY

Definice 1.. O podprostoru L lineárního prostoru X se říká, že je invariantní pod operátorem A působícím v X, pokud pro každý vektor jeho obraz také patří do .

Hlavní vlastnosti invariantních podprostorů jsou určeny následujícími vztahy:

1. Jestliže a jsou invariantní podprostory vzhledem k operátoru A, pak jejich součet a průnik jsou také invariantní vzhledem k operátoru A.

2. Je-li prostor X rozložen na přímý součet podprostorů a () a je invariantní vzhledem k A, pak matice operátoru v bázi, která je sjednocením bází, je bloková matice.

kde jsou čtvercové matice, 0 je nulová matice.

3. V libovolném podprostoru invariantu vzhledem k operátoru A má operátor alespoň jeden vlastní vektor.

Příklad 1 Uvažujme jádro nějakého operátoru A působícího v X. Podle definice. Nechte Potom , protože nulový vektor je obsažen v každém lineárním podprostoru. V důsledku toho je jádro invariantní podprostor pod A.

Příklad 2 Nechť v nějaké bázi prostoru X je operátor A dán maticí definovanou rovnicí a

5. Dokažte, že jakýkoli podprostor, který je invariantní pod nedegenerovaným operátorem A, bude také invariantní pod inverzním operátorem.

6. Nechť lineární transformace A -rozměrného prostoru má ve své bázi diagonální matici s různými prvky na diagonále. Najděte všechny podprostory invariantní pod A a určete jejich počet.

V vektorový prostor PROTI přes libovolné pole P nastavit na lineární operátor .

Definice9.8. Jádro lineární operátor  je množina vektorů v prostoru PROTI, jehož obrázek je nulový vektor. Přijato zápis pro tuto sadu: Ker, tzn.

Ker = {X | (X) = Ó}.

Věta 9.7. Jádro lineárního operátoru je podprostorem prostoru PROTI.

Definice 9.9. Dimenze nazývá se jádro lineárního operátoru přeběhnout lineární operátor. matný Ker = d.

Definice 9.10.Svým způsobem lineární operátor  je množina obrázků prostorové vektory PROTI. Notace pro tuto sadu Im, tzn. Im = {(X) | X PROTI}.

Věta 9.8. obraz lineární operátor je podprostor prostoru PROTI.

Definice 9.11. Dimenze nazývá se obraz lineárního operátoru hodnost lineární operátor. ztlumit Im = r.

Věta 9.9. Prostor PROTI je přímý součet jádra a obrazu lineárního operátoru v něm specifikovaného. Součet hodnosti a defektu lineárního operátoru je roven rozměru prostoru PROTI.

Příklad 9.3. 1) Ve vesmíru R[X] ( 3) najít hodnost a defekt operátor diferenciace. Najděte ty polynomy, jejichž derivace je rovna nule. Jedná se tedy o polynomy nultého stupně Ker = {F | F = C) A d= 1. Derivace polynomů, jejichž stupeň nepřesahuje tři, tvoří množinu polynomů, jejichž stupeň nepřesahuje dva, proto, Im =R[X] ( 2) a r = 3.

2) Pokud lineární operátor je dán maticí M(), pak k nalezení jeho jádra je třeba vyřešit rovnice ( X) = Ó, který v maticové podobě vypadá takto: M()[X] = [Ó]. Z Z toho vyplývá, že základem jádra lineárního operátoru je fundamentální množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic s hlavní maticí M(). Systém generátorů obrazu lineárního operátoru sestavte vektory ( E 1), (E 2), …, (E n). Základ tohoto systému vektorů dává základ obrazu lineárního operátoru.

9.6. Invertibilní lineární operátory

Definice9.12. Lineární volá se operátor  reverzibilní, pokud existuje lineární operátor ψ takový co se dělá rovnost ψ = ψ = , kde  je operátor identity.

Věta 9.10. Pokud lineární operátor  reverzibilní, Že operátor ψ je definován jednoznačně a nazývá se zvrátit Pro operátor .

V tomto případě operátor, inverzní operátor , značí se  –1.

Věta 9.11. Lineární operátor  je invertibilní právě tehdy, když je jeho matice invertibilní M(), zatímco M( –1) = (M()) –1 .

Z této věty vyplývá, že hodnost invertibilního lineárního operátoru je rovna rozměry prostor a vada je nulová.

Příklad 9.4 1) Určete, zda je lineární invertibilní operátor , pokud ( X) = (2X 1 – X 2 , –4X 1 + 2X 2).

Řešení. Vytvořme matici pro tento lineární operátor: M() = . Protože
= 0 pak matice M() je nevratný, což znamená, že je nevratný a lineární operátor .

2) Nalézt lineární operátor, zadní operátor , pokud (X) = (2X 1 + X 2 , 3X 1 + 2X 2).

Řešení. Matice této lineární operátor rovný M() =
, je reverzibilní, protože | M()| ≠ 0. (M()) –1 =
, tedy  –1 = (2X 1 – X 2 , –3X 1 + 2X 2).