Водещи интеграли, които всеки ученик трябва да знае

Изброените интеграли са основата, основата на основите. Тези формули, разбира се, трябва да се запомнят. Когато изчислявате по-сложни интеграли, ще трябва да ги използвате през цялото време.

Обърнете специално внимание на формулите (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забравяйте да добавите произволна константа C към вашия отговор, когато интегрирате!

Интеграл на константа

Интеграция на функцията за захранване

Всъщност човек би могъл да се ограничи само до формули (5) и (7), но останалите интеграли от тази група се срещат толкова често, че си струва да им обърнем малко внимание.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | х | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

Интеграли от експоненциална функция и хиперболични функции

Разбира се, формула (8) (може би най-удобната за запомняне) може да се разглежда като частен случай на формула (9). Формули (10) и (11) за интеграли от хиперболичен синус и хиперболичен косинус лесно се извличат от формула (8), но е по-добре просто да запомните тези отношения.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a> 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Основни интеграли на тригонометричните функции

Грешка, която учениците често допускат: бъркат знаците във формули (12) и (13). Спомняйки си, че производната на синуса е равна на косинуса, мнозина по някаква причина смятат, че интегралът от функцията sinx е равен на cosx. Това не е истина! Интегралът от синуса е равен на "минус косинус", но интегралът от cosx е равен на "просто синус":

∫ sin x d x = - cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C (15)

Интеграли, свеждащи се до обратни тригонометрични функции

Формула (16), която води до арктангенса, естествено е специален случай на формула (17) с a = 1. По същия начин (18) е специален случай на (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a> 0) (19)

По-сложни интеграли

Също така е желателно да запомните тези формули. Те също се използват доста често, а изходът им е доста досаден.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | + C (21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a> 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a> 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a> 0) (24)

Общи правила за интеграция

1) Интегралът от сбора на две функции е равен на сбора от съответните интеграли: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Интегралът от разликата на две функции е равен на разликата на съответните интеграли: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)

3) Константата може да бъде извадена извън знака на интеграла: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Лесно е да се види, че свойството (26) е просто комбинация от свойства (25) и (27).

4) Интеграл на съставна функция, ако вътрешната функция е линейна: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Тук F (x) е първообразната за функцията f (x). Моля, обърнете внимание: тази формула е подходяща само за случая, когато вътрешната функция е от формата Ax + B.

Важно: няма универсална формула за интеграла от произведението на две функции, както и за интеграла от дроб:

∫ f (x) g (x) d x =? ∫ f (x) g (x) d x =? (тридесет)

Това, разбира се, не означава, че фракция или продукт не могат да бъдат интегрирани. Просто всеки път, когато видите интеграл като (30), трябва да измислите начин да се „справите“ с него. В някои случаи интегрирането по части ще ви помогне, някъде ще трябва да промените променлива, а понякога дори "училищните" формули за алгебра или тригонометрия могат да помогнат.

Прост пример за изчисляване на неопределен интеграл

Използваме формули (25) и (26) (интегралът от сбора или разликата от функции е равен на сбора или разликата от съответните интеграли. Получаваме: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx - ∫ 7 exdx + ∫ 12 dx

Припомнете си, че константата може да бъде извадена извън знака на интеграла (формула (27)). Изразът се преобразува във формата

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Сега нека просто използваме таблицата на основните интеграли. Трябва да приложим формули (3), (12), (8) и (1). Нека интегрираме степенната функция, синус, експонент и константа 1. Нека не забравяме да добавим произволна константа C в края:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

След елементарни трансформации получаваме окончателния отговор:

X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Тествайте се чрез диференциране: вземете производната на получената функция и се уверете, че тя е равна на първоначалния интеграл.

Обобщаваща таблица на интегралите

Изтеглете таблицата на интегралите (част II) от този линк

Ако учите в университет, ако имате затруднения с висшата математика (математически анализ, линейна алгебра, теория на вероятностите, статистика), ако имате нужда от услугите на квалифициран преподавател, отидете на страницата на преподавател по висша математика. Ще решим проблемите ви заедно!

Може да се интересувате и от

Сложни интеграли

Тази статия завършва темата за неопределените интеграли и включва интеграли, които намирам за доста трудни. Урокът е създаден по многократни молби на посетители, които изразиха желанието си в сайта да бъдат анализирани и по-трудни примери.

Предполага се, че читателят на този текст е добре подготвен и знае как да прилага основните техники на интеграция. Манекени и хора, които не са много уверени в интегралите, трябва да се обърнат към първия урок - Неопределен интеграл. Примери за решения, където можете да овладеете темата практически от нулата. По-опитните студенти могат да се запознаят с техниките и методите на интеграция, които все още не са срещани в моите статии.

Какви интеграли ще се разглеждат?

Първо ще разгледаме интеграли с корени, за решението на които последователно използваме променлива замянаи интегриране по части... Тоест в един пример се комбинират две техники наведнъж. И дори повече.

След това ще се запознаем с интересен и оригинален методът за редуциране на интеграла към себе си... Не толкова малко интеграли се решават по този начин.

Третият номер на програмата ще отиде при интеграли от сложни дроби, които прелетяха покрай боксофиса в предишни статии.

Четвърто, ще бъдат анализирани допълнителни интеграли от тригонометрични функции. По-специално, има методи, които избягват отнемащото време универсално тригонометрично заместване.

(2) В интегралната функция разделяме числителя на знаменателя, член по член.

(3) Използваме свойството линейност на неопределения интеграл. В последния интеграл веднага привеждаме функцията под диференциалния знак.

(4) Вземете останалите интеграли. Обърнете внимание, че скоби могат да се използват в логаритъма, а не в модула, тъй като.

(5) Извършваме обратното заместване, изразявайки от прякото заместване "te":

Учениците-мазохисти могат да разграничат отговора и да получат оригиналния интеграл, както направих току-що. Не, не, направих проверката в правилния смисъл =)

Както можете да видите, в хода на решението трябваше да се използват дори повече от два метода за решаване, така че за да се справите с такива интеграли, са необходими уверени умения за интегриране и не най-малък опит.

На практика, разбира се, квадратният корен е по-често срещан, ето три примера за независимо решение:

Пример 2

Намерете неопределения интеграл

Пример 3

Намерете неопределения интеграл

Пример 4

Намерете неопределения интеграл

Тези примери са от същия тип, така че пълното решение в края на статията ще бъде само за Пример 2, в Примери 3-4 - един отговор. Коя замяна да използвам в началото на решенията, мисля, че е очевидно. Защо избрах примери от същия тип? Често се срещат в ролята си. По-често, може би, просто нещо подобно .

Но не винаги, когато коренът на линейна функция се намира под арктангенса, синуса, косинуса, експонента и други функции, трябва да се приложат няколко метода наведнъж. В редица случаи е възможно да се "слезе лесно", тоест веднага след подмяната се получава прост интеграл, който може да се вземе по елементарен начин. Най-лесната от предложените по-горе задачи е Пример 4, в който след замяна се получава относително прост интеграл.

Чрез намаляване на интеграла до себе си

Гениален и красив метод. Нека веднага да разгледаме класиката на жанра:

Пример 5

Намерете неопределения интеграл

Под корена има квадратен бином и когато се опитвате да интегрирате този пример, чайникът може да страда с часове. Такъв интеграл се взема парче по парче и се свежда до себе си. По принцип не е трудно. Ако знаете как.

Нека да обозначим разглеждания интеграл с латинска буква и да започнем решението:

Интегрираме парче по парче:

(1) Подгответе интегрална функция за деление на член.

(2) Разделяме интегралното число на член. Може би не всеки разбира, ще напиша по-подробно:

(3) Използваме свойството линейност на неопределения интеграл.

(4) Вземете последния интеграл („дълъг“ логаритъм).

Сега разглеждаме самото начало на решението:

И в края:

Какво стана? В резултат на нашите манипулации интегралът се е свел до себе си!

Нека приравним началото и края:

Придвижете се наляво с промяна на знака:

И носим двойката от дясната страна. Като резултат:

Константата, строго погледнато, трябваше да бъде добавена по-рано, но добавена в края. Силно препоръчвам да прочетете какво е строго тук:

Забележка: По-строго, крайният етап на решението изглежда така:

По този начин:

Константата може да бъде преозначена като. Защо можете да преназначавате? Защото все още приема всякаквистойности и в този смисъл няма разлика между константи и.
Като резултат:

Подобен трик за постоянно преназначаване се използва широко в диференциални уравнения... И там ще бъда строг. И тук такава свобода е позволена от мен само за да не ви бъркам с ненужни неща и да се съсредоточа върху самия метод на интеграция.

Пример 6

Намерете неопределения интеграл

Друг типичен интеграл за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока. Разликата с отговора от предишния пример ще бъде!

Ако има квадратен трином под корен квадратен, тогава решението във всеки случай се свежда до два анализирани примера.

Например, разгледайте интеграла ... Всичко, което трябва да направите, е предварително изберете пълен квадрат:
.
Освен това се извършва линейна подмяна, която се отменя "без никакви последствия":
, което води до интеграл. Нещо познато, нали?

Или такъв пример, с квадратен бином:
Изберете пълен квадрат:
И след линейна замяна получаваме интеграл, който също се решава според вече разгледания алгоритъм.

Помислете за още два типични примера за това как да намалите интеграла до себе си:
- интеграл от експонента, умножен по синус;
Интегралът от експонента е умножен по косинус.

В изброените интеграли по части ще трябва да интегрираме вече два пъти:

Пример 7

Намерете неопределения интеграл

Интегрантът е степента, умножена по синуса.

Интегрираме по части два пъти и намаляваме интеграла до себе си:

В резултат на двойно интегриране по части интегралът се свежда до себе си. Нека приравним началото и края на решението:

Придвижете се наляво с промяна на знака и изразете нашия интеграл:

Готов. По пътя е препоръчително да срешете дясната страна, т.е. поставете степента извън скобите, а в скобите подредете синуса и косинуса в "красив" ред.

Сега да се върнем към началото на примера, или по-скоро към интегрирането по части:

Защото ние определихме изложителя. Възниква въпросът, точно експонентът трябва винаги да се означава с? Не е задължително. Всъщност в разглеждания интеграл фундаментално няма разлика, за какво да се обозначава, можеше да се отиде по друг начин:

Защо това е възможно? Тъй като експонентът се превръща в себе си (както по време на диференциране, така и по време на интегриране), синусът и косинусът взаимно се трансформират един в друг (отново както по време на диференциране, така и при интегриране).

Това означава, че можете да посочите и тригонометрична функция. Но в разглеждания пример това е по-малко рационално, тъй като ще се появят дроби. Ако желаете, можете да опитате да решите този пример по втория начин, като отговорите трябва да са еднакви.

Пример 8

Намерете неопределения интеграл

Това е пример за решение "направи си сам". Преди да решите, помислете какво е по-изгодно в този случай да определите за степенна или тригонометрична функция? Пълно решение и отговор в края на урока.

И разбира се, имайте предвид, че повечето от отговорите в този урок са достатъчно лесни за разграничаване!

Примерите се смятаха за не най-трудните. На практика по-често срещани са интегралите, където константата е както в експонента, така и в аргумента на тригонометричната функция, например:. Много хора ще трябва да се изгубят в такъв интеграл, а аз самият често се обърквам. Факт е, че има голяма вероятност от появата на фракции в разтвора и е много лесно да загубите нещо по невнимание. Освен това има голяма вероятност от грешка в знаците, имайте предвид, че степента има знак минус и това създава допълнителни затруднения.

На последния етап често се оказва нещо като следното:

Дори в края на решението трябва да сте изключително внимателни и компетентно да се справяте с фракциите:

Интегриране на сложни фракции

Бавно се доближаваме до екватора на урока и започваме да разглеждаме интеграли от дроби. Отново не всички са супер сложни, просто по една или друга причина примерите бяха малко "не по темата" в други статии.

Продължаване на темата за корените

Пример 9

Намерете неопределения интеграл

В знаменателя под корена е квадратният тричлен плюс извън корена "придатък" под формата на "x". Интеграл от този вид се решава със стандартно заместване.

Ние решаваме:

Подмяната е проста:

Ние гледаме на живота след смяната:

(1) След заместването привеждаме членовете под корена към общ знаменател.
(2) Изваждаме изпод корена.
(3) Намалете числителя и знаменателя с. В същото време под корена пренаредих термините в удобен ред. С известен опит, стъпки (1), (2) могат да бъдат пропуснати чрез извършване на коментираните действия устно.
(4) Полученият интеграл, както си спомняте от урока Интегриране на някои дроби, решено по метода на избор на пълен квадрат... Изберете пълен квадрат.
(5) При интегриране получаваме обикновен "дълъг" логаритъм.
(6) Извършваме обратната подмяна. Ако първоначално, след това обратно:.
(7) Крайното действие е насочено към прическата на резултата: под корена отново привеждаме термините в общ знаменател и ги изваждаме изпод корена.

Пример 10

Намерете неопределения интеграл

Това е пример за решение "направи си сам". Тук към самотния X е добавена константа и замяната е почти същата:

Единственото нещо, което трябва да се направи допълнително, е да се изрази "x" от замяната:

Пълно решение и отговор в края на урока.

Понякога в такъв интеграл може да има квадратен бином под корена, това не променя решението, ще бъде още по-просто. Почувствай разликата:

Пример 11

Намерете неопределения интеграл

Пример 12

Намерете неопределения интеграл

Кратки решения и отговори в края на урока. Трябва да се отбележи, че Пример 11 е точно биномен интеграл, чийто метод на решение беше разгледан в урока Интеграли от ирационални функции.

Интеграл от неразложим полином от степен 2 в степен

(полином в знаменателя)

По-рядка, но въпреки това, срещана в практически примери, формата на интеграла.

Пример 13

Намерете неопределения интеграл

Но да се върнем към примера с щастливо число 13 (честно казано, не се досетих правилно). Този интеграл също е от категорията на тези, с които можете доста да се измъчите, ако не знаете как да го решите.

Решението започва с изкуствена трансформация:

Мисля, че всички вече разбират как да разделят числителя на знаменателя член по член.

Полученият интеграл се взема парче по парче:

За интеграл от формата (е естествено число), повтарящи сеФормула за намаляване на степента:
, където - интеграл от степен по-нисък.

Нека проверим валидността на тази формула за решения интеграл.
В този случай:,, ние използваме формулата:

Както виждате, отговорите са едни и същи.

Пример 14

Намерете неопределения интеграл

Това е пример за решение "направи си сам". Разтворът на пробата използва горната формула два пъти последователно.

Ако под степента има неразложимквадратен трином, тогава решението се свежда до бином чрез избиране на пълен квадрат, например:

Ами ако има допълнителен полином в числителя? В този случай се използва методът на недефинираните коефициенти, а подинтегралната функция се разширява в сумата от дроби. Но в моята практика на такъв пример никога не се срещали, затова пропуснах този случай в статията Интеграли на дробна рационална функция, сега ще го пропусна. Ако все пак се появи такъв интеграл, вижте учебника - там всичко е просто. Не смятам за уместно да включвам материали (дори и прости), вероятността за среща с които клони към нула.

Интегриране на сложни тригонометрични функции

За повечето примери прилагателното „трудно“ отново е до голяма степен условно. Нека започнем с тангенси и котангенси във високи градуси. От гледна точка на методите, използвани за решаване на тангенса и котангенса, те са почти едно и също нещо, така че ще говоря повече за допирателната, като се има предвид, че демонстрираният метод за решаване на интеграла е валиден и за котангенса.

В горния урок разгледахме универсално тригонометрично заместванеза решаване на определен вид интеграли от тригонометрични функции. Недостатъкът на универсалното тригонометрично заместване е, че при използването му често възникват тромави интеграли с трудни изчисления. А в някои случаи може да се избегне универсалното тригонометрично заместване!

Помислете за друг каноничен пример, интегралът от единство, разделен на синус:

Пример 17

Намерете неопределения интеграл

Можете да използвате общо тригонометрично заместване тук и да получите отговора, но има по-рационален начин. Ще предоставя цялостно решение с коментари за всяка стъпка:

(1) Използваме тригонометричната формула с двоен ъгъл.
(2) Извършваме изкуствено преобразуване: В знаменателя, разделете и умножете по.
(3) Съгласно добре познатата формула в знаменателя преобразуваме дробта в допирателна.
(4) Подвеждаме функцията под знака на диференциала.
(5) Вземете интеграла.

Няколко прости примера за независимо решение:

Пример 18

Намерете неопределения интеграл

Забележка: Първата стъпка е да използвате формулата за прехвърляне и внимателно изпълнете стъпките, подобни на предишния пример.

Пример 19

Намерете неопределения интеграл

Е, това е много прост пример.

Пълни решения и отговори в края на урока.

Мисля, че сега никой няма да има проблеми с интегралите:
и т.н.

Каква е идеята зад метода? Идеята е да се организират само допирателните и производната на допирателната в интегранта с помощта на трансформации, тригонометрични формули. Тоест говорим за замяна на: ... В примери 17-19 всъщност приложихме тази замяна, но интегралите бяха толкова прости, че материята беше третирана с еквивалентно действие - подвеждане на функцията под диференциалния знак.

Подобни разсъждения, както вече споменах, могат да бъдат извършени за котангенса.

Съществува и формална предпоставка за прилагане на горната замяна:

Сборът от степени на косинус и синус е отрицателно цяло число ЧЕТНО число, Например:

за интеграл - цяло отрицателно ЧЕТНО число.

! Забележка : ако интегралната функция съдържа САМО синус или САМО косинус, тогава интегралът се приема и за отрицателна нечетна степен (най-простите случаи са в примери № 17, 18).

Помислете за няколко по-смислени задачи за това правило:

Пример 20

Намерете неопределения интеграл

Сборът от степените на синус и косинус: 2 - 6 = –4 е отрицателно цяло число, ЧЕТНО число, което означава, че интегралът може да бъде сведен до допирателни и неговата производна:

(1) Преобразувайте знаменателя.
(2) Съгласно добре познатата формула получаваме.
(3) Преобразувайте знаменателя.
(4) Използваме формулата .
(5) Подвеждаме функцията под знака на диференциала.
(6) Извършваме подмяна. По-опитните ученици може да не извършат подмяната, но все пак е по-добре да замените допирателната с една буква - има по-малък риск от объркване.

Пример 21

Намерете неопределения интеграл

Това е пример за решение "направи си сам".

Чакай, шампионските кръгове започват =)

Често в интегрираното число има "кошарка":

Пример 22

Намерете неопределения интеграл

Този интеграл първоначално съдържа допирателна, която веднага навежда на вече позната мисъл:

Изкуствената трансформация в самото начало и останалите стъпки ще оставя без коментар, тъй като всичко вече беше казано по-горе.

Няколко креативни примера за самостоятелно решение:

Пример 23

Намерете неопределения интеграл

Пример 24

Намерете неопределения интеграл

Да, в тях, разбира се, можете да намалите степените на синуса, косинуса, да използвате универсалното тригонометрично заместване, но решението ще бъде много по-ефективно и по-кратко, ако се извършва през тангентите. Пълно решение и отговори в края на урока