Прости нули на функцията. Нулева функция

Стойности на аргумента z при което е(z) изчезва наречен. нулева точка, т.е. ако е(а) = 0, тогава а - нулева точка.

Def.точка аНаречен поръчка нулан , ако FKP може да бъде представен като е(z) =, къде
аналитична функция и
0.

В този случай, при разширяването на функцията в редицата на Тейлър (43), първата н коефициентите са равни на нула

= =

И т.н. Определете порядъка на нула за
и (1 –cos z) при z = 0

=
=

нула 1 поръчка

1 - cos z =
=

нула 2-ри ред

Def.точка z =
Наречен безкрайно далечна точкаи нулафункции е(z), ако е(
) = 0. Такава функция може да се разшири в редица по отрицателни степени z : е(z) =
... Ако първият н коефициентите са равни на нула, тогава стигаме до нулев ред н в безкрайно далечна точка: е(z) = z - н
.

Изолираните единични точки се разделят на: а) подвижни единични точки; б) полюси на редан; v) съществени точки.

точка аНаречен отстранима сингулярностфункции е(z) ако за z
а lim е(z) = с -краен брой .

точка аНаречен полюс на редан (н 1) функции е(z), ако е обратната функция
= 1/ е(z) има нулев ред нв точката а.Такава функция винаги може да бъде представена като е(z) =
, където
- аналитична функция и
.

точка аНаречен съществен моментфункции е(z) ако за z
а lim е(z) не съществува.

Серия Лоран

Помислете за случая на пръстеновидна област на конвергенция r < | z 0 – а| < Рцентрирано в точката аза функция е(z). Нека представим два нови кръга Л 1 (r) и Л 2 (Р) близо до границите на пръстена с точката z 0 между тях. Нека направим разрез на пръстена, свържете кръговете по ръбовете на разреза, отидете на просто свързаната област и в

интегрална формула на Коши (39), получаваме два интеграла по отношение на променливата z

е(z 0) =
+
, (42)

където интеграцията върви в противоположни посоки.

За интеграла край Л 1 условието | z 0 – а | > | z – а |, а за интеграла над Л 2 обратно условие | z 0 – а | < | z – а |. Следователно факторът 1 / ( z – z 0) разширяваме в серия (а) в интеграла над Л 2 и последователно (b) в интеграла над Ледин . В резултат получаваме разлагането е(z) в пръстеновидната област в Серия Лоранв положителни и отрицателни сили ( z 0 – а)

е(z 0) =
А н (z 0 - а) н (43)

където А н =
=
;А -н =

Разширяване на положителните сили (z 0 - а) Наречен. дясната частРед на Лоран (серия на Тейлър) и разширението в отрицателни степени се нарича. Главна частСерия Лоран.

Ако вътре в кръга Л 1, няма особени точки и функцията е аналитична, тогава в (44) първият интеграл е равен на нула по теоремата на Коши и в разгъването на функцията остава само правилната част. Отрицателните мощности в разширението (45) се появяват само когато аналитичността е нарушена във вътрешния кръг и служат за описание на функцията близо до изолирани единични точки.

За да се конструира серия на Лоран (45) за е(z) можете да изчислите коефициентите на разширение по общата формула или да използвате разширенията на елементарните функции, включени в е(z).

Броят на термините ( н) от основната част от серията на Лоран зависи от вида на сингулярната точка: единична точка за еднократна употреба (н = 0) ; съществен момент (н
); полюсн- о, ред(н - краен брой).

и за е(z) = точка z = 0 единична точка за еднократна употреба,от основната част не е. е(z) = (z -
) = 1 -

б) За е(z) = точка z = 0 - полюс от 1-ви порядък

е(z) = (z -
) = -

в) За е(z) = д 1 / zточка z = 0 - съществен момент

е(z) = д 1 / z =

Ако е(z) е аналитичен в областта дс изключение на мизолирани единични точки и | z 1 | < |z 2 | < . . . < |z м| , след това при разширяване на функцията в степени zцелият самолет е разделен на м+ 1 пръстен | z и | < | z | < | z и+ 1 | и редът Laurent има различен вид за всеки пръстен. Разширяване на правомощията ( z – z и ) областта на сходимост на реда на Лоран е окръжността | z – z и | < r, където r - разстоянието до най-близката специална точка.

И т.н. Разширете функцията е(z) =в реда на Лоран по градуси zи ( z - 1).

Решение. Представяме функцията във формата е(z) = - z 2 ... Използваме формулата за сумата от геометрична прогресия
... В кръга | z |< 1 ряд сходится и е(z) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . ... ... , т.е. разлагането съдържа само правилночаст. Да отидем до външната област на кръга | z | > 1. Представяме функцията като
, където 1 / | z| < 1, и получим разложение е(z) = z
=z + 1 +

Защото , разширяване на функцията в правомощия ( z - 1) има формата е(z) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) за всеки
1.

И т.н. Разширете функцията Лоран е(z) =
: а) по степени zв кръг | z| < 1; b) по степеням z пръстен 1< |z| < 3 ; c) по степеням (z – 2) .Решение. Разширяваме функцията на прости дроби
= =+=
. От условията z =1
А = -1/2 , z =3
Б = ½.

а) е(z) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], за | z|< 1.

б) е(z) = - ½ [
+
] = - (
), за 1< |z| < 3.

с) е(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, за | 2 - z| < 1

Това е окръжност с радиус 1 с център в точката z = 2 .

В някои случаи степенните редове могат да бъдат сведени до набор от геометрични прогресии и след това е лесно да се определи областта на тяхното сближаване.

И т.н. Изследвайте сближаването на поредицата

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Решение. Това е сборът от две геометрични прогресии с q 1 = , q 2 = (). От условията на тяхното сближаване следва < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

В който приема нулева стойност. Например за функция, дефинирана от формулата

Е нула, защото

Функционалните нули също се наричат коренна функция.

Концепцията за нули на функция може да се разглежда за всякакви функции, чийто диапазон от стойности съдържа нулев или нулев елемент от съответната алгебрична структура.

За реална променлива функция нулите са стойностите, при които графиката на функцията пресича оста на абсцисата.

Намирането на нулите на функция често изисква използването на числени методи (например метод на Нютон, градиентни методи).

Един от нерешените математически проблеми е намирането на нулите на дзета функцията на Риман.

Полиномиален корен

Вижте също

литература

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Функция нула" в други речници:

Точката, в която дадената функция f (z) изчезва; по този начин, N. f. f (z) е същото като корените на уравнението f (z) = 0. Например точките 0, π, π, 2π, 2π, ... са нулите на функцията sinz. Нулите на аналитичната функция (вижте Аналитични ... ...

Нулева функция, нулева функция... Правописен речник-справка

Този термин има други значения, вижте Нула. Необходимо е да преместите съдържанието на тази статия в статията „Нулева функция“. Можете да помогнете на проекта, като комбинирате статии. Ако е необходимо да се обсъди възможността за обединение, заменете това ... Wikipedia

Или C string (от името на езика C) или ASCIZ низ (от името на асемблерната директива .asciz) начин за представяне на низове в езиците за програмиране, при който вместо да се въвежда специален тип низ, се извежда масив от символи използван, а краят е ... ... Wikipedia

В квантовата теория на полето, приетото (жаргонно) наименование за свойството на изчезване на коефициента на пренормиране на константата на свързване, където g0 е голата константа на свързване от Лагранжиан на взаимодействието, физ. съединителна константа облечена с взаимодействие. Равенство Z... Физическа енциклопедия

Нулева мутация n-алел- Нулева мутация, n. алел * нулева мутация, n. алел * нулева мутация или n. алел или тих а. мутация, водеща до пълна загуба на функция в ДНК последователността, в която е възникнала... Генетика. енциклопедичен речник

Твърдението в теорията на вероятностите, че всяко събитие (т.нар. остатъчно събитие), подходът към което се определя само от произволно отдалечени елементи от поредица от независими случайни събития или случайни променливи, има ... ... Енциклопедия по математика

1) Число, което има свойството, че всяко (реално или комплексно) число не се променя, когато се добави към него. Обозначава се със символа 0. Продуктът на произволно число от N. е равен на N.: Ако произведението на две числа е равно на N., тогава един от факторите ... Енциклопедия по математика

Функции, дефинирани от връзки между независими променливи, които не са разрешени спрямо последните; тези съотношения са един от начините за дефиниране на функцията. Например, отношението x2 + y2 1 = 0 задава N. f. ... Голяма съветска енциклопедия

Какво представляват нулите на функциите? Отговорът е съвсем прост – това е математически термин, който означава областта на дадена функция, на която нейната стойност е нула. Нулите на функциите се наричат ​​още нули на функции Най-лесният начин да обясните какво представляват нулите на функциите е с няколко прости примера.

Примери за

Разгледайте простото уравнение y = x + 3. Тъй като нулата на функцията е стойността на аргумента, при който y придобива нула, ние заместваме 0 в лявата страна на уравнението:

В този случай -3 е желаната нула. Има само един корен на уравнението за дадена функция, но това не винаги е така.

Нека разгледаме друг пример:

Заменете 0 от лявата страна на уравнението, както в предишния пример:

Очевидно в този случай ще има две нули на функцията: x = 3 и x = -3. Ако уравнението имаше аргумент от трета степен, щеше да има три нули. Може да се направи просто извод, че броят на корените на полинома съответства на максималната степен на аргумента в уравнението. Въпреки това, много функции, например y = x 3, на пръв поглед противоречат на това твърдение. Логиката и здравият разум предполагат, че тази функция има само една нула - в точката x = 0. Но всъщност има три корена, просто всички съвпадат. Ако решите уравнението в сложна форма, то става очевидно. x = 0 в този случай, коренът, чиято кратност е 3. В предишния пример нулите не съвпадаха, следователно те имаха кратност 1.

Алгоритъм за определяне

От представените примери можете да видите как да определите нулите на функция. Алгоритъмът винаги е един и същ:

1. Функция за запис.
2. Заместете y или f (x) = 0.
3. Решете полученото уравнение.

Сложността на последната точка зависи от степента на аргумента на уравнението. Когато решавате уравнения от високи степени, е особено важно да запомните, че броят на корените на уравнението е равен на максималната степен на аргумента. Това е особено вярно за тригонометричните уравнения, където разделянето на двете части на синус или косинус води до загуба на корени.

Най-лесно се решават уравнения с произволна степен по метода на Хорнер, който е разработен специално за намиране на нулите на произволен полином.

Стойността на нулите на функциите може да бъде отрицателна или положителна, реална или лежаща в комплексната равнина, единична или множествена. Или корените на уравнението може да не съществуват. Например, функцията y = 8 няма да придобие нулева стойност за нито един x, защото не зависи от тази променлива.

Уравнението y = x 2 -16 има два корена и двата лежат в комплексната равнина: x 1 = 4і, x 2 = -4і.

Типични грешки

Често срещана грешка, допускана от ученици, които все още не са разбрали какво представляват нулите на дадена функция, е да заменят аргумента (x) с нула, а не стойността (y) на функцията. Те уверено заместват x = 0 в уравнението и, изхождайки от това, намират y. Но това е грешен подход.

Друга грешка, както вече споменахме, е редуцирането със синус или косинус в тригонометричното уравнение, поради което една или повече нули на функцията се губят. Това не означава, че нищо не може да бъде отменено в такива уравнения, просто при по-нататъшни изчисления е необходимо да се вземат предвид тези "загубени" фактори.

Графично представяне

За да разберете какви са нулите на функциите, можете да използвате математически програми като Maple. В него можете да изградите графика, като посочите желания брой точки и желания мащаб. Точките, в които графиката пресича оста OX, са желаните нули. Това е едно от най бързи начининамиране на корените на полином, особено ако неговият ред е по-висок от третия. Така че, ако има нужда от редовно извършване на математически изчисления, намиране на корените на полиноми от произволни степени, изграждане на графики, Maple или подобна програма ще бъде просто необходима за извършване и проверка на изчисления.

2. Намерете нулифункции.

f (x) при x .

Отговорете на f (x) при x .

2) x 2> -4x-5;

x 2 + 4x +5> 0;

Нека f (x) = x 2 + 4x +5, тогава Намерете такъв x, за който f (x)> 0,

D = -4 Без нули.

4. Системи от неравенства. Неравенства и системи от неравенства в две променливи

1) Множеството от решения на система от неравенства е пресечната точка на наборите от решения на неравенствата, включени в нея.

2) Множеството от решения на неравенството f (x; y)> 0 може да бъде изобразено графично върху координатната равнина. Обикновено правата, дадена от уравнението f (x; y) = 0, разделя равнината на 2 части, едната от които е решение на неравенството. За да се определи коя от частите е необходимо да се заменят координатите на произволна точка M (x0; y0), която не лежи на правата f (x; y) = 0, в неравенството. Ако f (x0; y0)> 0, тогава решението на неравенството е частта от равнината, съдържаща точка Mo. ако f (x0; y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Множеството от решения на системата от неравенства е пресечната точка на множествата от решения на неравенствата, включени в нея. Например, нека бъде дадена система от неравенства:

.

За първото неравенство множеството от решения е окръжност с радиус 2 и център в началото, а за второто полуравнина, разположена над правата 2x + 3y = 0. Множеството от решения за тази система е пресечната точка на тези множества, т.е. полукръг.

4) Пример. Решете системата от неравенства:

Решението на 1-во неравенство е множеството, 2-рото е множеството (2; 7), а третото е множеството.

Пресечната точка на тези множества е интервалът (2; 3], който е множеството от решения на системата от неравенства.

5. Решаване на рационални неравенства по интервалния метод

Интервалният метод се основава на следното свойство на бинома (xa): точката x = α разделя оста на числата на две части - вдясно от точка α биномът (x-α)> 0, а вляво на точка α (x-α)<0.

Нека се изисква да се реши неравенството (x-α 1) (x-α 2) ... (x-α n)> 0, където α 1, α 2 ... α n-1, α n са фиксирани числа, между които няма равни и такива, че α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 по метода на интервалите се прави следното: числата α 1, α 2 ... α n-1, α n се нанасят върху числовата ос; в процепа вдясно от най-големия от тях, т.е. числа α n, поставете знак плюс, в интервала, който го следва от дясно наляво, поставете знак минус, след това знак плюс, след това знак минус и т.н. Тогава множеството от всички решения на неравенството (x-α 1) (x ‑ α 2) ... (x-α n)> 0 ще бъде обединението на всички интервали, в които е поставен знакът плюс, и множеството на решения на неравенството (x-α 1 ) (x-α 2) ... (x ‑ α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Решение на рационални неравенства (т.е. неравенства от вида P (x) Q (x) където са полиноми) се основава на следното свойство на непрекъсната функция: ако непрекъсната функция изчезва в точки x1 и x2 (x1; x2) и няма други корени между тези точки, тогава в интервали (x1; x2) функцията запазва знака си.

Следователно, за да намерите интервалите с постоянен знак на функцията y = f (x) на числовата права, маркирайте всички точки, в които функцията f (x) изчезва или претърпява прекъсване. Тези точки разделят числовата права на няколко интервала, във всеки от които функцията f (x) е непрекъсната и не изчезва, т.е. запазва знака. За да се определи този знак, достатъчно е да се намери знакът на функцията във всяка точка от разглеждания интервал на числовата права.

2) Да се ​​определят интервалите на постоянство на рационална функция, т.е. За да разрешите рационалното неравенство, маркирайте върху числовата права корените на числителя и корените на знаменателя, които също са корените и точките на прекъсване на рационалната функция.

Решаване на неравенства чрез интервалния метод

3. < 20.

Решение. Обхватът на допустимите стойности се определя от система от неравенства:

За функцията f (x) = - 20. Намерете f (x):

откъдето x = 29 и x = 13.

f (30) = - 20 = 0,3> 0,

f (5) = - 1 - 20 = - 10< 0.

Отговор: . Основни методи за решаване на рационални уравнения. 1) Най-простият: те се решават чрез обичайните опростявания - свеждане до общ знаменател, редукция на подобни термини и т.н. Квадратните уравнения ax2 + bx + c = 0 се решават с ...

X се променя в интервала (0,1] и намалява в интервала.

Виждаме това добавяне нкъм аргумента х, не се променя

стойност на функцията. Най-малкото ненулево число

от нследователно това е периодът sin 2 х .

Функционални нули. Извиква се стойността на аргумента, при който функцията е равна на 0 нула ( root) функция... Една функция може да има множество нули. Например функцията г = х (х + 1) (х- 3) има три нули: х = 0, х = — 1, х= 3. Геометрично функция нула – това е абсцисата на точката на пресичане на графиката на функцията с оста х .

Фигура 7 показва графика на функция с нули: х = а , х = би х = ° С .

Асимптота. Ако графиката на функция се приближава неограничено до някаква права линия на нейното разстояние от началото, тогава тази права линия се нарича асимптота.

Тема 6. „Метод на интервалите“.

Ако f (x) f (x 0) при x x 0, тогава функцията f (x) се извиква непрекъснато в точка x 0.

Ако функцията е непрекъсната във всяка точка от някакъв интервал I, тогава тя се извиква непрекъснато между тях I (интервал I се нарича интервал на непрекъснатост на функцията). Графиката на функцията на този интервал е непрекъсната линия, за която се казва, че е „начертана, без да се вдига молива от хартията“.

Свойството на непрекъснатите функции.

Ако на интервала (a; b) функцията f е непрекъсната и не изчезва, тогава тя запазва постоянен знак на този интервал.

Това свойство е в основата на метода за решаване на неравенства с една променлива - метода на интервалите. Нека функцията f (x) е непрекъсната на интервал I и изчезва в краен брой точки от този интервал. По свойството на непрекъснати функции тези точки разделят I на интервали, във всеки от които непрекъснатата функция f (x) c пази постоянен знак. За да се определи този знак, е достатъчно да се изчисли стойността на функцията f (x) във всяка една точка от всеки такъв интервал. Въз основа на това получаваме следния алгоритъм за решаване на неравенства по метода на интервалите.

Интервалният метод за неравенства на формата

Методът на интервалите. Средно ниво.

Искате ли да изпробвате силата си и да разберете резултата от това колко сте готови за Единния държавен изпит или OGE?

Линейна функция

Функция на формата се нарича линейна. Нека разгледаме функция като пример. Той е положителен при 3 ″> и отрицателен при. Точката е нулата на функцията (). Нека покажем знаците на тази функция на числовата ос:

Казваме, че "функцията променя знака, когато преминава през точка."

Вижда се, че знаците на функцията съответстват на позицията на графиката на функцията: ако графиката е над оста, знакът е "", ако е под - "".

Ако обобщим полученото правило до произволна линейна функция, получаваме следния алгоритъм:

Квадратична функция

Надявам се, че си спомняте как се решават квадратни неравенства? Ако не, прочетете темата „Квадратни неравенства“. Нека ви напомня общата форма на квадратичната функция:.

Сега нека си припомним какви знаци приема квадратичната функция. Нейната графика е парабола и функцията приема знака "", когато параболата е над оста, и "" - ако параболата е под оста:

Ако функцията има нули (стойности, при които), параболата пресича оста в две точки - корените на съответното квадратно уравнение. По този начин оста е разделена на три интервала и знаците на функцията се сменят последователно при преминаване през всеки корен.

Възможно ли е по някакъв начин да се дефинират знаците, без да се чертае парабола всеки път?

Припомнете си, че квадратният трином може да бъде разложен на множители:

Нека отбележим корените на оста:

Не забравяйте, че знакът на функция може да се промени само при преминаване през корена. Използваме този факт: за всеки от трите интервала, на които оста е разделена с корени, е достатъчно да определим знака на функцията само в една произволно избрана точка: в останалите точки от интервала знакът ще бъде един и същ.

В нашия пример: с 3 ″> и двата израза в скоби са положителни (заместете, например: 0 ″>). Поставяме знака "" на оста:

Е, за (заместете, например) и двете скоби са отрицателни, което означава, че продуктът е положителен:

Ето какво е интервален метод: познавайки знаците на факторите на всеки интервал, ние определяме знака на цялото произведение.

Нека разгледаме и случаите, когато функцията няма нули или има само една.

Ако ги няма, значи няма корени. Това означава, че няма да има и „пресичане на корени“. Това означава, че функцията приема само един знак на цялата числова ос. Лесно е да го дефинирате, като го заместите във функция.

Ако има само един корен, параболата докосва оста, така че знакът на функцията не се променя при преминаване през корена. Какво правило можем да измислим за такива ситуации?

Ако изчислите такава функция, получавате два еднакви фактора:

И всеки израз на квадрат е неотрицателен! Следователно знакът на функцията не се променя. В такива случаи ще изберем корен, преминавайки през който знакът не се променя, ще го заобиколим с квадрат:

Ще наречем такъв корен многократни.

Методът на интервалите в неравенствата

Сега всяко квадратно неравенство може да бъде решено без да се чертае парабола. Достатъчно е само да подредите знаците на квадратичната функция по оста и да изберете интервалите в зависимост от знака на неравенството. Например:

Нека измерим корените по оста и поставим знаците:

Нуждаем се от частта от оста със знака ""; тъй като неравенството не е строго, самите корени също са включени в решението:

Сега помислете за рационално неравенство - неравенство, и двете страни на което са рационални изрази (вижте "Рационални уравнения").

пример:

Всички фактори с изключение на един - - тук са "линейни", тоест съдържат променливата само в първа степен. Такива линейни фактори са ни необходими, за да приложим метода на интервалите - знакът се променя при преминаване през техните корени. Но факторът изобщо няма корени. Това означава, че той винаги е положителен (проверете го сами) и следователно не засяга знака на всички неравенства. Това означава, че можем да разделим лявата и дясната част на неравенството на него и по този начин да се отървем от него:

Сега всичко е същото, както беше с квадратните неравенства: определяме в кои точки всеки от факторите изчезва, маркираме тези точки на оста и поставяме знаци. Искам да обърна внимание на един много важен факт:

В случай на четно число правим същото както преди: заобикаляме точката с квадрат и не променяме знака при преминаване през корена. Но в случай на нечетно число това правило не се спазва: знакът все пак ще се промени при преминаване през корена. Следователно не правим нищо допълнително с такъв корен, сякаш той не е кратен на него. Горните правила важат за всички нечетни и четни степени.

Какво ще напишем в отговора?

Ако редуването на знаците е нарушено, трябва да бъдете много внимателни, защото ако неравенството не е строго, отговорът трябва да бъде всички попълнени точки... Но някои от опитите често стоят самостоятелно, тоест не влизат в сенчестата зона. В този случай ги добавяме към отговора като изолирани точки (в къдрави скоби):

Примери (решете сами):

Отговори:

1. Ако е просто сред множителите, това е коренът, защото може да бъде представен като.
   .