Funksioni i thjeshtë zero. Funksioni zero

Vlerat e argumentit z nën të cilat f(z) shkon në zero të quajtur. pikë zero, d.m.th. nëse f(a) = 0, atëherë a - pika zero.

Def. Pika a thirrur rendit zeron , nëse FKP mund të përfaqësohet në formë f(z) = , ku
funksioni analitik dhe
0.

Në këtë rast, në zgjerimin e funksionit në një seri Taylor (43), i pari n koeficientët janë zero

= =

etj. Përcaktoni rendin e zeros për
dhe (1-cos z) në z = 0

=
=

zero rendi i parë

1 - cos z =
=

zero renditja e dytë

Def. Pika z =
thirrur pikë në pafundësi dhe zero funksione f(z), nëse f(
) = 0. Një funksion i tillë zgjerohet në një seri në fuqi negative z : f(z) =
. Nëse së pari n koeficientët janë të barabartë me zero, atëherë arrijmë në rendit zero n në një pikë në pafundësi: f(z) = z - n
.

Pikat e veçuara njëjës ndahen në: a) pika singulare të lëvizshme; b) shtyllat e renditn; v) pika thelbësore njëjës.

Pika a thirrur pikë njëjës e lëvizshme funksione f(z) nëse z
a lim f(z) = Me - numër i kufizuar .

Pika a thirrur poli i renditn (n 1) veçoritë f(z) nëse funksioni i anasjelltë
= 1/ f(z) ka rend zero n në pikën a. Një funksion i tillë gjithmonë mund të përfaqësohet si f(z) =
, ku
- funksioni analitik dhe
.

Pika a thirrur pikë thelbësore funksione f(z), nëse z
a lim f(z) nuk ekziston.

Seriali Laurent

Merrni parasysh rastin e një rajoni të konvergjencës unazore r < | z 0 – a| < R të përqendruar në një pikë a për funksionin f(z). Ne prezantojmë dy qarqe të reja L 1 (r) dhe L 2 (R) pranë kufijve të unazës me një pikë z 0 mes tyre. Le të bëjmë një pjesë të unazës, të bashkojmë rrathët përgjatë skajeve të seksionit, të kalojmë në një rajon të lidhur thjesht dhe në

Formula integrale Cauchy (39) marrim dy integrale mbi ndryshoren z

f(z 0) =
+
, (42)

ku integrimi shkon në drejtime të kundërta.

Për mbi integrale L 1 kushti | z 0 – a | > | z – a |, dhe për mbi integrale L 2 gjendje e kundërt | z 0 – a | < | z – a |. Prandaj, faktori 1/( z – z 0) zgjerohet në një seri (a) në mbi integrale L 2 dhe në serinë (b) në mbi integrale L një. Si rezultat, marrim dekompozimin f(z) në rajonin unazor në Seriali Laurent në fuqitë pozitive dhe negative ( z 0 – a)

f(z 0) =
A n (z 0 – a) n (43)

ku A n =
=
;A -n =

Zgjerimi i fuqive pozitive (z 0 - a) thirri pjesa e djathtë Seria Laurent (seri Taylor), dhe zgjerimi në fuqitë negative quhet. Pjesa kryesore Laurent rresht.

Nëse brenda rrethit L 1 nuk ka pika njëjës dhe funksioni është analitik, atëherë në (44) integrali i parë është i barabartë me zero nga teorema e Cauchy, dhe vetëm pjesa e saktë mbetet në zgjerimin e funksionit. Fuqitë negative në zgjerim (45) shfaqen vetëm kur analiticiteti cenohet brenda rrethit të brendshëm dhe shërbejnë për të përshkruar funksionin pranë pikave të veçuara njëjës.

Për të ndërtuar serinë Laurent (45) për f(z) mund të llogariten koeficientët e zgjerimit sipas formulës së përgjithshme ose të përdoren zgjerimet e funksioneve elementare të përfshira në f(z).

Numri i termave ( n) e pjesës kryesore të serisë Laurent varet nga lloji i pikës njëjës: pikë njëjës e lëvizshme (n = 0) ; pikë thelbësore njëjës (n
); shtyllën- urdhri(n - numri i fundit).

dhe për f(z) = pika z = 0 pikë njëjës e lëvizshme, sepse nuk ka asnjë pjesë kryesore. f(z) = (z -
) = 1 -

b) Për f(z) = pika z = 0 - Shtylla e rendit të parë

f(z) = (z -
) = -

c) Për f(z) = e 1 / z pika z = 0 - pikë thelbësore njëjës

f(z) = e 1 / z =

Nëse f(z) është analitike në domen D me përjashtim të m pika të veçuara njëjës dhe | z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m| , atëherë kur zgjerohet funksioni në fuqi z i gjithë avioni është i ndarë në m+ 1 unazë | z i | < | z | < | z i+ 1 | dhe seria Laurent ka një formë të ndryshme për secilën unazë. Kur zgjerohet në pushtet ( z – z i ) rajoni i konvergjencës së serisë Laurent është rrethi | z – z i | < r, ku r është distanca nga pika më e afërt njëjës.

etj. Zgjero funksionin f(z) =në serinë e Laurent-it në fuqi z dhe ( z - 1).

Zgjidhje. Ne e paraqesim funksionin në formë f(z) = - z 2 . Ne përdorim formulën për shumën e një progresion gjeometrik
. Në rrethin |z|< 1 ряд сходится и f(z) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , d.m.th. zbërthimi përmban vetëm e saktë pjesë. Le të kalojmë në rajonin e jashtëm të rrethit |z| > 1 . Ne e paraqesim funksionin në formë
, ku 1/| z| < 1, и получим разложение f(z) = z
=z + 1 +

Sepse , zgjerimi i funksionit në pushtet ( z - 1) duket si f(z) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) për të gjithë
1.

etj. Zgjero funksionin në një seri Laurent f(z) =
: a) në shkallë z në një rreth | z| < 1; b) по степеням z unaza 1< |z| < 3 ; c) по степеням (z – 2).Vendim. Le ta zbërthejmë funksionin në thyesa të thjeshta
= =+=
. Nga kushtet z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

a) f(z) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], kur | z|< 1.

b) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), në 1< |z| < 3.

Me) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, per |2 - z| < 1

Është një rreth me rreze 1 me qendër në një pikë z = 2 .

Në disa raste, seritë e fuqisë mund të reduktohen në një grup progresionesh gjeometrike, dhe më pas është e lehtë të përcaktohet zona e konvergjencës së tyre.

etj. Hulumtoni konvergjencën e një serie

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Zgjidhje. Është shuma e dy progresioneve gjeometrike me q 1 = , q 2 = () . Nga kushtet e konvergjencës së tyre rrjedh < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

ku merr vlerën zero. Për shembull, për një funksion të dhënë nga formula

është nul sepse

Funksioni zero quhen gjithashtu rrënjët e funksionit.

Koncepti i zerave të një funksioni mund të konsiderohet për çdo funksion, diapazoni i të cilit përmban zero ose një element zero të strukturës algjebrike përkatëse.

Për një funksion të një ndryshoreje reale, zero janë vlerat në të cilat grafiku i funksionit kryqëzon boshtin x.

Gjetja e zerave të një funksioni shpesh kërkon përdorimin e metodave numerike (për shembull, metoda e Njutonit, metodat e gradientit).

Një nga problemet e pazgjidhura matematikore është gjetja e zerave të funksionit zeta të Riemann-it.

Rrënja polinomiale

Shiko gjithashtu

Letërsia

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

Shihni se çfarë është "Funksioni Zero" në fjalorë të tjerë:

Pika ku zhduket një funksion i dhënë f(z); kështu, N. f. f (z) është e njëjtë me rrënjët e ekuacionit f (z) = 0. Për shembull, pikat 0, π, π, 2π, 2π,... janë zero të funksionit sinz. Zerot e një funksioni analitik (Shih Analitik ... ...

Funksioni zero, funksioni zero ... Fjalor drejtshkrimor

Ky term ka kuptime të tjera, shih Zero. Është e nevojshme të zhvendoset përmbajtja e këtij artikulli në artikullin "Funksioni Zero". Ju mund ta ndihmoni projektin duke konsoliduar artikujt. Nëse keni nevojë të diskutoni mbi këshillueshmërinë e bashkimit, zëvendësoni këtë ... Wikipedia

Ose një varg C (nga emri i gjuhës C) ose një varg ASCIZ (nga emri i direktivës së asemblerit.asciz) është një mënyrë për të paraqitur vargjet në gjuhët e programimit, në të cilën përdoret një grup karakteresh në vend të prezantimit të një lloji i veçantë i vargut, dhe fundi ... ... Wikipedia

Në teorinë kuantike të fushës, emri (zhargon) i pranuar për vetinë e zhdukjes së faktorit të rinormalizimit të konstantës së bashkimit, ku g0 është konstanta e lidhjes së zhveshur nga bashkëveprimi Lagranzhian, fiz. konstante bashkuese e veshur nga ndërveprimi. Barazia Z... Enciklopedia Fizike

Mutacion null n-alele- Mutacion null, n. alel * mutacion null, n. alel * mutacion null ose n. alele ose e heshtur a. një mutacion që çon në një humbje të plotë të funksionit në sekuencën e ADN-së në të cilën ndodhi ... Gjenetika. fjalor enciklopedik

Deklarata në teorinë e probabilitetit se çdo ngjarje (e ashtuquajtura ngjarja e mbetur), shfaqja e së cilës përcaktohet vetëm nga elementë arbitrarisht të largët të një sekuence ngjarjesh të pavarura të rastësishme ose ndryshore të rastësishme, ka ... ... Enciklopedia Matematikore

1) Një numër që ka vetinë që çdo numër (real ose kompleks) të mos ndryshojë kur i shtohet. Ai shënohet me simbolin 0. Prodhimi i çdo numri me N. është i barabartë me N.: Nëse prodhimi i dy numrave është i barabartë me N., atëherë një nga faktorët ... Enciklopedia Matematikore

Funksionet e dhëna nga marrëdhëniet ndërmjet variablave të pavarur të pazgjidhura në lidhje me këtë të fundit; këto marrëdhënie janë një nga mënyrat për të përcaktuar një funksion. Për shembull, relacioni x2 + y2 1 = 0 përcakton N. f. … Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Cilat janë zerat e funksionit? Përgjigja është mjaft e thjeshtë - ky është një term matematik, që nënkupton domenin e një funksioni të caktuar, në të cilin vlera e tij është zero. Funksioni zero quhen edhe zero funksioni Mënyra më e lehtë për të shpjeguar se çfarë janë funksionet zero është me disa shembuj të thjeshtë.

Shembuj

Shqyrtoni një ekuacion të thjeshtë y=x+3. Meqenëse zeroja e funksionit është vlera e argumentit në të cilin y u bë zero, ne zëvendësojmë 0 në anën e majtë të ekuacionit:

Në këtë rast, -3 është zeroja e dëshiruar. Për një funksion të caktuar, ekziston vetëm një rrënjë e ekuacionit, por nuk është gjithmonë kështu.

Konsideroni një shembull tjetër:

Zëvendësoni 0 në anën e majtë të ekuacionit, si në shembullin e mëparshëm:

Natyrisht, në këtë rast, do të ketë dy zero të funksionit: x=3 dhe x=-3. Nëse ekuacioni do të kishte një argument të shkallës së tretë, do të kishte tre zero. Mund të nxjerrim një përfundim të thjeshtë se numri i rrënjëve të polinomit korrespondon me shkallën maksimale të argumentit në ekuacion. Megjithatë, shumë funksione, për shembull y=x 3, në pamje të parë kundërshtojnë këtë pohim. Logjika dhe sensi i shëndoshë sugjerojnë se ky funksion ka vetëm një zero - në pikën x=0. Por në fakt ka tre rrënjë, ato thjesht përkojnë të gjitha. Nëse e zgjidhni ekuacionin në formë komplekse, kjo bëhet e qartë. x=0 në këtë rast, rrënja, shumëfishimi i së cilës është 3. Në shembullin e mëparshëm, zerot nuk përputheshin, prandaj kishin shumëfishim 1.

Algoritmi i përkufizimit

Nga shembujt e paraqitur është e qartë se si të përcaktohen zerot e funksionit. Algoritmi është gjithmonë i njëjtë:

1. Shkruani një funksion.
2. Zëvendësoni y ose f(x)=0.
3. Zgjidheni ekuacionin që rezulton.

Kompleksiteti i artikullit të fundit varet nga shkalla e argumentimit të ekuacionit. Kur zgjidhni ekuacione të shkallëve të larta, është veçanërisht e rëndësishme të mbani mend se numri i rrënjëve të ekuacionit është i barabartë me fuqinë maksimale të argumentit. Kjo është veçanërisht e vërtetë për ekuacionet trigonometrike, ku ndarja e të dy pjesëve me sinus ose kosinus çon në humbjen e rrënjëve.

Ekuacionet e shkallës arbitrare zgjidhen më lehtë me metodën e Horner-it, e cila u zhvillua posaçërisht për gjetjen e zerave të një polinomi arbitrar.

Vlera e zerove të funksioneve mund të jetë negative dhe pozitive, reale ose e shtrirë në planin kompleks, e vetme ose e shumëfishtë. Ose mund të mos ketë rrënjë të ekuacionit. Për shembull, funksioni y=8 nuk do të bëhet zero për asnjë x, sepse nuk varet nga kjo ndryshore.

Ekuacioni y=x 2 -16 ka dy rrënjë, dhe të dyja shtrihen në rrafshin kompleks: x 1 =4i, x 2 =-4i.

Gabimet e zakonshme

Një gabim i zakonshëm i bërë nga nxënësit e shkollës që ende nuk e kanë kuptuar me të vërtetë se cilat janë zerot e një funksioni është zëvendësimi i argumentit (x) me zero, dhe jo vlerën (y) të funksionit. Ata me siguri zëvendësojnë x = 0 në ekuacion dhe, bazuar në këtë, gjejnë y. Por kjo është qasja e gabuar.

Një gabim tjetër, siç është përmendur tashmë, është reduktimi me sinus ose kosinus në ekuacionin trigonometrik, për këtë arsye humbasin një ose më shumë zero të funksionit. Kjo nuk do të thotë se asgjë nuk mund të reduktohet në ekuacione të tilla, por këta faktorë "të humbur" duhet të merren parasysh në llogaritjet e mëtejshme.

Paraqitje grafike

Ju mund të kuptoni se çfarë janë zerot e një funksioni me ndihmën e programeve matematikore si Maple. Në të, ju mund të ndërtoni një grafik duke specifikuar numrin e dëshiruar të pikëve dhe shkallën e dëshiruar. Ato pika në të cilat grafiku kalon boshtin OX janë zerot e dëshiruara. Kjo është një nga më mënyra të shpejta gjetja e rrënjëve të një polinomi, veçanërisht nëse rendi i tij është më i lartë se i treti. Pra, nëse ka nevojë për të kryer rregullisht llogaritjet matematikore, gjetja e rrënjëve të polinomeve të shkallëve arbitrare, ndërtimi i grafikëve, Maple ose një program i ngjashëm do të jetë thjesht i domosdoshëm për kryerjen dhe verifikimin e llogaritjeve.

2. Le të gjejmë zerat funksione.

f(x) në x .

Përgjigjuni f(x) në x .

2) x 2 > -4x-5;

x 2 +4x +5>0;

Le të jetë f (x) \u003d x 2 + 4 x + 5 pastaj gjej x të tillë për të cilin f (x)> 0,

D=-4 Nuk ka zero.

4. Sistemet e pabarazive. Pabarazitë dhe sistemet e inekuacioneve me dy ndryshore

1) Bashkësia e zgjidhjeve të një sistemi pabarazish është kryqëzimi i bashkësive të zgjidhjeve të pabarazive të përfshira në të.

2) Bashkësia e zgjidhjeve të pabarazisë f (x; y)> 0 mund të paraqitet grafikisht në planin koordinativ. Zakonisht, vija e dhënë nga ekuacioni f (x; y) \u003d 0 e ndan rrafshin në 2 pjesë, njëra prej të cilave është zgjidhja e pabarazisë. Për të përcaktuar se cila nga pjesët, është e nevojshme të zëvendësohen koordinatat e një pike arbitrare M (x0; y0) që nuk shtrihet në vijën f (x; y) \u003d 0 në pabarazi. Nëse f(x0;y0) > 0, atëherë zgjidhja e pabarazisë është pjesa e rrafshit që përmban pikën М0. nëse f(x0; y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Bashkësia e zgjidhjeve të një sistemi pabarazish është kryqëzimi i bashkësive të zgjidhjeve të pabarazive të përfshira në të. Le të jepet, për shembull, një sistem pabarazish:

.

Për pabarazinë e parë, bashkësia e zgjidhjeve është një rreth me rreze 2 dhe me qendër në origjinë, dhe për të dytën, një gjysmërrafsh i vendosur mbi drejtëzën 2x+3y=0. Bashkësia e zgjidhjeve të këtij sistemi është kryqëzimi i këtyre bashkësive, d.m.th. gjysmërreth.

4) Shembull. Zgjidh sistemin e pabarazive:

Zgjidhja e pabarazisë së parë është bashkësia, bashkësia e dytë (2;7) dhe e treta - bashkësia.

Kryqëzimi i këtyre bashkësive është intervali (2;3], i cili është bashkësia e zgjidhjeve të sistemit të pabarazive.

5. Zgjidhja e inekuacioneve racionale me metodën e intervalit

Metoda e intervalit bazohet në vetinë e mëposhtme të binomit (xa): pika x=α ndan boshtin real në dy pjesë - në të djathtë të pikës α, binomi (x‑α)>0, dhe në majtas nga pika α (x-α)<0.

Le të kërkohet të zgjidhet pabarazia (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, ku α 1 , α 2 ...α n-1 , α n janë të fiksuara numra, midis të cilëve nuk ka të barabartë, dhe të tillë që α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 me metodën e intervaleve veprohet si më poshtë: numrat α 1 , α 2 ... α n-1 , α n aplikohen në boshtin numerik; në hendekun në të djathtë të më të madhit prej tyre, d.m.th. numrat α n vendosin një shenjë plus, në intervalin pas saj nga e djathta në të majtë vendosni një shenjë minus, pastaj një shenjë plus, pastaj një shenjë minus, etj. Atëherë bashkësia e të gjitha zgjidhjeve të pabarazisë (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 do të jetë bashkimi i të gjitha intervaleve në të cilat vendoset shenja plus, dhe bashkësia e zgjidhjeve të pabarazisë (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Zgjidhja e pabarazive racionale (d.m.th. pabarazitë e formës P(x) Q(x) ku janë polinomet) bazohet në vetinë e mëposhtme të një funksioni të vazhdueshëm: nëse një funksion i vazhdueshëm zhduket në pikat x1 dhe x2 (x1; x2) dhe nuk ka rrënjë të tjera midis këtyre pikave, atëherë në intervalet (x1; x2) funksioni ruan shenjën e tij.

Prandaj, për të gjetur intervalet e qëndrueshmërisë së funksionit y=f(x) në vijën numerike, shënoni të gjitha pikat në të cilat funksioni f(x) zhduket ose prishet. Këto pika e ndajnë vijën reale në disa intervale, brenda secilit prej të cilave funksioni f(x) është i vazhdueshëm dhe nuk zhduket, d.m.th. shenjë e shpëtimit. Për të përcaktuar këtë shenjë, mjafton të gjesh shenjën e funksionit në çdo pikë të intervalit të konsideruar të vijës reale.

2) Për të përcaktuar intervalet e shenjës konstante të një funksioni racional, d.m.th. Për të zgjidhur një pabarazi racionale, shënojmë në vijën numerike rrënjët e numëruesit dhe rrënjët e emëruesit, të cilat, si dhe janë rrënjët dhe pikat e ndërprerjes së funksionit racional.

Zgjidhja e inekuacioneve me metodën e intervalit

3. < 20.

Zgjidhje. Gama e vlerave të pranueshme përcaktohet nga sistemi i pabarazive:

Për funksionin f(x) = – 20. Gjeni f(x):

prej nga x = 29 dhe x = 13.

f(30) = – 20 = 0,3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

Përgjigje:. Metodat bazë për zgjidhjen e ekuacioneve racionale. 1) Më e thjeshta: zgjidhet me thjeshtësimet e zakonshme - reduktimi në një emërues të përbashkët, reduktimi i anëtarëve të ngjashëm, etj. Ekuacionet kuadratike ax2 + bx + c = 0 zgjidhen me...

X ndryshon në intervalin (0,1], dhe zvogëlohet në intervalin .

Ne e shohim atë duke shtuar n ndaj argumentit x, nuk ndryshon

vlera e funksionit. Numri më i vogël jo zero

nga nështë , pra kjo është periudha mëkati 2 x .

Funksioni null. Thirret vlera e argumentit për të cilin funksioni është i barabartë me 0 zero ( rrënja) funksionet. Një funksion mund të ketë zero të shumta. Për shembull, funksioni y = x (x + 1) (x- 3) ka tre zero: x = 0, x = — 1, x= 3. Gjeometrikisht funksioni null – është abshisa e pikës së prerjes së grafikut të funksionit me boshtin X .

Figura 7 tregon grafikun e funksionit me zero: x = a , x = b dhe x = c .

Asimptotë. Nëse grafiku i një funksioni i afrohet një drejtëze të caktuar për një kohë të pacaktuar ndërsa largohet nga origjina, atëherë kjo drejtëz quhet asimptotë.

Tema 6. “Metoda e intervaleve”.

Nëse f (x) f (x 0) për x x 0, atëherë thirret funksioni f (x). e vazhdueshme në x 0.

Nëse një funksion është i vazhdueshëm në çdo pikë të një intervali I, atëherë ai thirret e vazhdueshme në interval I (intervali I quhet intervali i vazhdimësisë së funksionit). Grafiku i funksionit në këtë interval është një vijë e vazhdueshme, e cila thuhet se "vizatohet pa e hequr lapsin nga letra".

Vetia e funksioneve të vazhdueshme.

Nëse në intervalin (a ; b) funksioni f është i vazhdueshëm dhe nuk zhduket, atëherë ai ruan një shenjë konstante në këtë interval.

Metoda e zgjidhjes së pabarazive me një ndryshore bazohet në këtë veti - metodën e intervaleve. Le të jetë funksioni f(x) i vazhdueshëm në intervalin I dhe të zhduket në një numër të kufizuar pikash në këtë interval. Nga vetia e funksioneve të vazhdueshme, këto pika e ndajnë I-në në intervale, në secilën prej të cilave funksioni i vazhdueshëm f(x) c ruan një shenjë konstante. Për të përcaktuar këtë shenjë, mjafton të llogaritet vlera e funksionit f(x) në çdo pikë nga çdo interval i tillë. Bazuar në këtë, marrim algoritmin e mëposhtëm për zgjidhjen e pabarazive me metodën e intervalit.

Metoda e intervalit për pabarazitë e formës

metoda e intervalit. Niveli mesatar.

Dëshironi të provoni forcën tuaj dhe të zbuloni rezultatin se sa gati jeni për Provimin e Unifikuar të Shtetit ose OGE?

Funksioni linear

Një funksion i formës quhet linear. Le të marrim një funksion si shembull. Është pozitive në 3″> dhe negative në. Pika është zero e funksionit (). Le të tregojmë shenjat e këtij funksioni në boshtin real:

Themi se "funksioni ndryshon shenjën kur kalon nëpër një pikë".

Mund të shihet se shenjat e funksionit korrespondojnë me pozicionin e grafikut të funksionit: nëse grafiku është mbi boshtin, shenja është “ ”, nëse është poshtë tij, “ ”.

Nëse e përgjithësojmë rregullin që rezulton në një funksion linear arbitrar, marrim algoritmin e mëposhtëm:

funksion kuadratik

Shpresoj të mbani mend se si zgjidhen pabarazitë kuadratike? Nëse jo, lexoni temën "Pabarazitë katrore". Më lejoni t'ju kujtoj formën e përgjithshme të një funksioni kuadratik: .

Tani le të kujtojmë se çfarë shenjash merr funksioni kuadratik. Grafiku i tij është një parabolë, dhe funksioni merr shenjën " " për ato në të cilat parabola është mbi boshtin, dhe " " - nëse parabola është nën bosht:

Nëse funksioni ka zero (vlerat në të cilat), parabola kryqëzon boshtin në dy pika - rrënjët e ekuacionit kuadratik përkatës. Kështu, boshti ndahet në tre intervale, dhe shenjat e funksionit ndryshojnë në mënyrë alternative kur kalojnë nëpër secilën rrënjë.

A është e mundur të përcaktohen disi shenjat pa vizatuar një parabolë çdo herë?

Kujtojmë se trinomi katror mund të faktorizohet:

Vini re rrënjët në bosht:

Kujtojmë se shenja e një funksioni mund të ndryshojë vetëm kur kalon nëpër rrënjë. Ne përdorim këtë fakt: për secilin nga tre intervalet në të cilat boshti ndahet me rrënjë, mjafton të përcaktohet shenja e funksionit vetëm në një pikë të zgjedhur në mënyrë arbitrare: në pikat e tjera të intervalit, shenja do të jetë njëjtë.

Në shembullin tonë: për 3″> të dyja shprehjet në kllapa janë pozitive (ne zëvendësojmë, për shembull: 0″>). Ne vendosim shenjën "" në bosht:

Epo, nëse (zëvendësoni, për shembull) të dy kllapat janë negative, atëherë produkti është pozitiv:

Kjo është ajo që është metoda e intervalit: duke ditur shenjat e faktorëve në çdo interval, ne përcaktojmë shenjën e të gjithë produktit.

Le të shqyrtojmë edhe rastet kur funksioni nuk ka zero, ose është vetëm një.

Nëse nuk ka asnjë, atëherë nuk ka rrënjë. Kjo do të thotë se nuk do të ketë "kalim përmes rrënjës". Kjo do të thotë se funksioni në të gjithë boshtin numerik merr vetëm një shenjë. Është e lehtë të përcaktohet duke e zëvendësuar atë në një funksion.

Nëse ka vetëm një rrënjë, parabola prek boshtin, kështu që shenja e funksionit nuk ndryshon kur kalon nëpër rrënjë. Cili është rregulli për situata të tilla?

Nëse faktorizojmë një funksion të tillë, marrim dy faktorë identikë:

Dhe çdo shprehje në katror është jonegative! Prandaj, shenja e funksionit nuk ndryshon. Në raste të tilla, ne do të zgjedhim rrënjën, kur kalojmë nëpër të cilën shenja nuk ndryshon, duke e rrethuar atë me një katror:

Një rrënjë e tillë do të quhet të shumëfishta.

Metoda e intervaleve në pabarazi

Tani çdo pabarazi kuadratike mund të zgjidhet pa vizatuar një parabolë. Mjafton vetëm vendosja e shenjave të funksionit kuadratik në bosht dhe zgjedhja e intervaleve në varësi të shenjës së pabarazisë. Për shembull:

Ne masim rrënjët në bosht dhe rregullojmë shenjat:

Na duhet pjesa e boshtit me shenjën ""; meqenëse pabarazia nuk është e rreptë, vetë rrënjët përfshihen gjithashtu në zgjidhje:

Tani merrni parasysh një pabarazi racionale - një pabarazi, të dyja pjesët e së cilës janë shprehje racionale (shih "Ekuacionet racionale").

Shembull:

Të gjithë faktorët përveç një - - këtu janë "linearë", domethënë ato përmbajnë një ndryshore vetëm në shkallën e parë. Na duhen faktorë të tillë linearë për të aplikuar metodën e intervalit - shenja ndryshon kur kalon nëpër rrënjët e tyre. Por shumëzuesi nuk ka rrënjë fare. Kjo do të thotë se është gjithmonë pozitiv (kontrollojeni vetë), dhe për këtë arsye nuk ndikon në shenjën e të gjithë pabarazisë. Kjo do të thotë që ju mund të ndani anën e majtë dhe të djathtë të pabarazisë në të, dhe kështu të shpëtoni prej tij:

Tani gjithçka është njësoj siç ishte me pabarazitë kuadratike: ne përcaktojmë se në cilat pika zhduket secili prej faktorëve, shënojmë këto pika në bosht dhe rregullojmë shenjat. Unë tërheq vëmendjen tuaj për një fakt shumë të rëndësishëm:

Në rastin e një numri çift, veprojmë në të njëjtën mënyrë si më parë: e rrethojmë pikën me një katror dhe nuk e ndryshojmë shenjën kur kalojmë nëpër rrënjë. Por në rastin e një numri tek, ky rregull nuk përmbushet: shenja do të ndryshojë akoma kur kalon nëpër rrënjë. Prandaj, ne nuk bëjmë asgjë shtesë me një rrënjë të tillë, sikur të mos jetë një shumëfish prej nesh. Rregullat e mësipërme vlejnë për të gjitha fuqitë çift dhe tek.

Çfarë shkruajmë në përgjigje?

Nëse ndërrimi i shenjave është shkelur, duhet të jeni shumë të kujdesshëm, sepse me pabarazi jo të rreptë, përgjigja duhet të përfshijë të gjitha pikat e mbushura. Por disa prej tyre shpesh qëndrojnë vetëm, domethënë nuk hyjnë në zonën me hije. Në këtë rast, ne i shtojmë ato në përgjigje si pika të izoluara (në kllapa kaçurrelë):

Shembuj (vendosni vetë):

Përgjigjet:

1. Nëse ndër faktorët është e thjeshtë - kjo është rrënja, sepse mund të përfaqësohet si.
   .