복잡한 적분. 복잡한 적분 일반 적분 규칙

모든 학생이 알아야 할 주요 적분

나열된 적분은 기초, 기초의 기초입니다. 물론 이러한 공식을 기억해야 합니다. 더 복잡한 적분을 계산할 때 항상 사용해야 합니다.

공식 (5), (7), (9), (12), (13), (17) 및 (19)에 특히 주의하십시오. 통합할 때 답에 임의의 상수 C를 추가하는 것을 잊지 마십시오!

상수의 적분

∫ A d x = A x + C (1)

전력 기능 통합

사실, 공식 (5)와 (7)로만 제한할 수 있지만 이 그룹의 나머지 적분은 너무 자주 발생하므로 약간의 주의를 기울일 가치가 있습니다.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | 엑스 | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

지수 함수와 쌍곡선 함수의 적분

물론 (8)식(암기에 가장 편할 수도 있음)은 식 (9)의 특수한 경우로 생각할 수 있다. 쌍곡선 사인과 쌍곡선 코사인의 적분에 대한 공식 (10)과 (11)은 공식 (8)에서 쉽게 파생되지만 이러한 관계를 단순히 기억하는 것이 좋습니다.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a> 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = ch x + C (10)
∫ ch x d x = s h x + C (11)

삼각 함수의 기본 적분

학생들이 자주 범하는 실수: 공식 (12)와 (13)의 기호를 혼동합니다. 사인의 도함수가 코사인과 같다는 것을 기억하면 많은 사람들이 어떤 이유로 sinx 함수의 적분이 cosx와 같다고 믿습니다. 이것은 사실이 아닙니다! 사인의 적분은 "코사인 빼기"와 같지만 cosx의 적분은 "정사인"과 같습니다.

∫ sin x d x = - cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 죄 2 x d x = - c t g x + C (15)

역삼각 함수로 환원하는 적분

아크탄젠트로 이어지는 공식 (16)은 당연히 a = 1인 공식 (17)의 특수한 경우입니다. 마찬가지로 (18)은 (19)의 특수한 경우입니다.

∫ 1 1 + x 2 d x = a rc t g x + C = - a rc c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a rc t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a> 0) (19)

더 복잡한 적분

이 공식을 기억하는 것도 바람직합니다. 그것들은 또한 꽤 자주 사용되며 출력은 매우 지루합니다.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | + 씨 (21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a> 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a> 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a> 0) (24)

통합의 일반 규칙

1) 두 함수의 합은 해당 적분의 합과 같습니다. ∫ (f(x) + g(x)) d x = ∫ f(x) d x + ∫ g(x) d x (25)

2) 두 함수의 차의 적분은 해당 적분의 차와 같습니다. ∫ (f(x) - g(x)) d x = ∫ f(x) d x - ∫ g(x) d x (26)

3) 정수는 적분 기호 외부에서 취할 수 있습니다. ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

속성 (26)은 단순히 속성 (25)와 (27)의 조합이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

4) 내부 함수가 선형인 경우 복합 함수의 적분: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

여기서 F(x)는 함수 f(x)에 대한 역도함수입니다. 참고: 이 공식은 내부 함수가 Ax + B 형식인 경우에만 적합합니다.

중요: 두 함수의 곱의 적분과 분수의 적분에 대한 보편적인 공식은 없습니다.

∫ f (x) g (x) d x =? ∫ f (x) g (x) d x =? (서른)

물론 이것은 분수나 곱을 적분할 수 없다는 것을 의미하지는 않습니다. (30)과 같은 적분을 볼 때마다 이를 "처리"하는 방법을 발명해야 합니다. 어떤 경우에는 부분에 의한 통합이 도움이 될 것입니다. 어딘가에서 변수를 변경해야 하고 때로는 "학교" 대수학 또는 삼각법 공식도 도움이 될 수 있습니다.

무한 적분을 계산하는 간단한 예

예 1. 적분 구하기: ∫ (3 x 2 + 2 sin x - 7 e x + 12) d x

공식 (25)와 (26)을 사용합니다(함수의 합 또는 차의 적분은 해당 적분의 합 또는 차와 같습니다. 우리는 다음을 얻습니다. ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx - ∫ 7 exdx + ∫ 12dx

상수는 적분 기호 외부에서 취할 수 있음을 기억하십시오(공식 (27)). 표현식이 형식으로 변환됩니다.

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x

이제 기본 적분 표를 사용하겠습니다. 식 (3), (12), (8), (1)을 적용해야 합니다. 거듭제곱 함수, 사인, 지수 및 상수 1을 통합합시다. 끝에 임의의 상수 C를 추가하는 것을 잊지 마십시오.

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

기본 변환 후에 최종 답을 얻습니다.

X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

미분하여 자신을 테스트하십시오. 결과 함수의 도함수를 취하고 원래의 피적분 함수와 같은지 확인하십시오.

적분의 피벗 테이블

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | 엑스 | + C

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a> 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = ch x + C

∫ ch x d x = s h x + C

∫ sin x d x = - cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 죄 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a rc t g x + C = - a rc c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a rc t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C

∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a> 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C

∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | + C

∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a> 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a> 0)

∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a> 0)

이 링크에서 적분표(파트 II)를 다운로드하십시오.

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복소수 적분

이 기사는 무한 적분의 주제를 완료하고 내가 매우 어렵다고 생각하는 적분을 포함합니다. 더 어려운 예시도 현장에서 분석해 주셨으면 하는 바램을 거듭해 주신 방문자 여러분의 요청으로 강의가 만들어졌습니다.

이 텍스트의 독자는 준비가 잘 되어 있고 통합의 기본 기술을 적용하는 방법을 알고 있다고 가정합니다. 입문자와 적분에 대해 자신이 없는 사람은 첫 번째 수업을 참조해야 합니다. 무한 적분. 솔루션의 예, 처음부터 실질적으로 주제를 마스터할 수 있습니다. 경험이 많은 학생들은 내 기사에서 아직 만나지 못한 통합 기술과 방법에 익숙해질 수 있습니다.

어떤 적분을 고려할 것인가?

먼저, 우리가 연속적으로 사용하는 솔루션에 대해 근과의 적분을 고려할 것입니다. 변수 교체그리고 부품별 통합... 즉, 한 예에서 두 가지 기술이 한 번에 결합됩니다. 그리고 더.

그런 다음 우리는 흥미롭고 독창적 인 것을 알게 될 것입니다. 자신에 대한 적분을 줄이는 방법... 이 방법으로 해결되는 적분은 그리 많지 않습니다.

프로그램의 세 번째 숫자는 이전 기사에서 박스 오피스를 지나쳤던 복잡한 분수의 적분으로 이동합니다.

넷째, 삼각함수의 추가적인 적분을 분석한다. 특히 시간이 많이 걸리는 보편적인 삼각대입을 피하는 방법이 있습니다.

(2) 피적분에서 분자를 분모 항으로 나눕니다.

(3) 우리는 무한 적분의 선형성 속성을 사용합니다. 마지막 적분에서 즉시 우리는 미분 기호 아래에 함수를 가져옵니다.

(4) 나머지 적분을 취합니다. 괄호는 모듈러스가 아니라 로그에 사용할 수 있습니다.

(5) 직접 치환 "te"에서 표현하는 역 치환을 수행합니다.

Masochistic 학생들은 답을 미분하고 내가 방금 한 것처럼 원래의 피적분수를 얻을 수 있습니다. 아니오, 아니오, 정확한 의미로 확인했습니다 =)

보시다시피, 솔루션 과정에서 두 가지 이상의 솔루션 방법을 사용해야 했기 때문에 이러한 적분을 처리하려면 작은 경험이 아니라 자신 있는 통합 기술이 필요합니다.

물론 실제로는 제곱근이 더 일반적입니다. 다음은 독립 솔루션에 대한 세 가지 예입니다.

실시예 2

무한 적분 찾기

실시예 3

무한 적분 찾기

실시예 4

무한 적분 찾기

이러한 예는 동일한 유형이므로 기사 끝에 있는 완전한 솔루션은 예 3-4의 예 2에 대해서만 - 하나의 답변이 될 것입니다. 솔루션의 시작 부분에 사용할 대체 항목은 분명하다고 생각합니다. 같은 유형의 예를 선택한 이유는 무엇입니까? 그들은 종종 그들의 역할에서 만납니다. 더 자주, 아마도 다음과 같은 것입니다. .

그러나 항상 그런 것은 아니지만 선형 함수의 근이 아크탄젠트, 사인, 코사인, 지수 및 기타 함수 아래에서 발견되면 여러 방법을 한 번에 적용해야 합니다. 많은 경우에 "쉽게 하차"할 수 있습니다. 즉, 교체 직후에 간단한 적분을 얻을 수 있으며 이는 기본적으로 취할 수 있습니다. 위에서 제안한 작업 중 가장 쉬운 작업은 교체 후 비교적 간단한 적분을 얻는 예제 4입니다.

자신에 대한 적분을 줄임으로써

독창적이고 아름다운 방법. 장르의 고전을 즉시 살펴 보겠습니다.

실시예 5

무한 적분 찾기

루트 아래에 제곱 이항이 있으며 이 예제를 통합하려고 할 때 주전자는 몇 시간 동안 문제가 발생할 수 있습니다. 이러한 적분은 조각으로 취해져서 스스로 감소합니다. 원칙적으로 어렵지 않습니다. 당신이 방법을 알고 있다면.

고려 중인 적분을 라틴 문자로 표시하고 솔루션을 시작하겠습니다.

우리는 조각을 통합합니다:

(1) 항 나눗셈을 위한 적분 함수를 준비합니다.

(2) 피적분을 항으로 나눕니다. 아마도 모든 사람이 이해하는 것은 아니지만 더 자세히 쓸 것입니다.

(3) 우리는 무한 적분의 선형성 속성을 사용합니다.

(4) 마지막 적분("긴" 로그)을 취합니다.

이제 솔루션의 맨 처음을 살펴봅니다.

그리고 마지막에:

무슨 일이에요? 우리의 조작의 결과로 적분은 그 자체로 줄어들었습니다!

시작과 끝을 동일시하자.

기호 변경과 함께 왼쪽으로 이동:

그리고 우리는 듀스를 오른쪽으로 가져갑니다. 결과적으로:

엄밀히 말하면 상수는 더 일찍 추가했어야 했지만 마지막에 추가했습니다. 여기에서 엄격한 내용을 읽을 것을 강력히 권장합니다.

메모: 보다 엄격하게 말하면 솔루션의 최종 단계는 다음과 같습니다.

이런 식으로:

상수는 다음과 같이 다시 지정할 수 있습니다. 재지정할 수 있는 이유는 무엇입니까? 아직 받아 들이기 때문에 어느값이며 이러한 의미에서 상수와 사이에는 차이가 없습니다.
결과적으로:

유사한 지속적인 재지정 트릭이 다음에서 널리 사용됩니다. 미분 방정식... 그리고 거기에서 나는 엄격할 것입니다. 그리고 여기에서 그러한 자유는 불필요한 것들과 혼동하지 않고 통합 방법에 집중하기 위해서만 허용됩니다.

실시예 6

무한 적분 찾기

독립 솔루션을 위한 또 다른 일반적인 적분입니다. 튜토리얼 끝 부분에 완전한 솔루션과 답변이 있습니다. 이전 예제의 답변과의 차이점은 다음과 같습니다!

제곱근 아래에 제곱 삼항식이 있으면 어떤 경우에도 솔루션은 두 개의 분석된 예제로 축소됩니다.

예를 들어 적분을 고려하십시오. ... 당신이해야 할 모든 사전 완전한 정사각형을 선택하십시오:
.
또한 "결과 없이" 생략되는 선형 교체가 수행됩니다.
, 결과 적분. 뭔가 낯익죠?

또는 제곱 이항과 같은 예:
완전한 정사각형 선택:
그리고 선형 교체 후 이미 고려된 알고리즘에 따라 해결되는 적분을 얻습니다.

적분을 자체적으로 줄이는 방법에 대한 두 가지 더 일반적인 예를 고려하십시오.
- 지수에 사인을 곱한 적분
지수의 적분에 코사인을 곱한 값입니다.

나열된 부품별 적분에서 이미 두 번 적분해야 합니다.

실시예 7

무한 적분 찾기

피적분은 지수 곱하기 사인입니다.

우리는 부분으로 두 번 통합하고 적분을 자체로 줄입니다.

부품에 의한 이중 적분의 결과로 적분은 자체로 축소되었습니다. 솔루션의 시작과 끝을 동일시합시다.

부호 변경과 함께 왼쪽으로 이동하고 적분을 표현합니다.

준비가 된. 길을 따라 오른쪽을 빗질하는 것이 좋습니다. 지수를 대괄호 밖에 놓고 대괄호 안에 사인과 코사인을 "아름다운" 순서로 정렬합니다.

이제 예제의 시작 부분으로 돌아가거나 부품별 통합으로 돌아가 보겠습니다.

우리는 전시자를 지정했습니다. 질문이 발생합니다. 정확히 지수는 항상 다음으로 표시되어야 합니까? 필요하지 않습니다. 사실, 고려된 적분에서 근본적으로 차이 없음, 무엇을 나타내는지, 다른 방향으로 갈 수 있었습니다:

이것이 가능한 이유는 무엇입니까? 지수가 자기 자신으로 변하기 때문에(미분 및 적분 시 모두) 사인과 코사인은 서로 상호 변환됩니다(다시, 미분 및 적분 시 모두).

즉, 삼각함수도 지정할 수 있습니다. 그러나 고려 된 예에서는 분수가 나타나기 때문에 덜 합리적입니다. 원하는 경우 두 번째 방법으로 이 예제를 해결할 수 있습니다. 답은 동일해야 합니다.

실시예 8

무한 적분 찾기

이것은 DIY 솔루션의 예입니다. 결정하기 전에 이 경우 지수 또는 삼각 함수로 지정하는 것이 더 수익성이 있는 것이 무엇인지 생각해 보십시오. 튜토리얼 끝 부분에 완전한 솔루션과 답변이 있습니다.

그리고 물론, 이 강의에 나오는 대부분의 답은 구별할 수 있을 만큼 쉽습니다!

예제는 가장 어렵지 않은 것으로 간주되었습니다. 실제로, 상수가 지수와 삼각 함수의 인수 모두에 있는 적분은 더 일반적입니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 많은 사람들이 그러한 적분에서 길을 잃어야 할 것이고, 나 자신도 종종 혼란스러워합니다. 사실 용액에 분수가 나타날 확률이 높으며 부주의로 무언가를 잃는 것은 매우 쉽습니다. 또한 부호에 오류가 발생할 가능성이 높으므로 지수에는 빼기 부호가 있으며 이로 인해 추가 어려움이 발생합니다.

최종 단계에서 종종 다음과 같은 결과가 나타납니다.

솔루션이 끝날 때조차도 매우 신중하고 분수를 유능하게 다루어야합니다.

화합물 분획의 통합

우리는 천천히 수업의 적도에 가까워지고 분수의 적분을 고려하기 시작합니다. 다시 말하지만, 그들 모두가 매우 복잡한 것은 아닙니다. 단지 한 가지 이유 또는 다른 이유로 예제가 다른 기사에서 약간 "토픽에서 벗어났습니다".

계속되는 뿌리 테마

실시예 9

무한 적분 찾기

루트 아래의 분모에는 "x" 형태의 루트 "부속기" 외부에 제곱 삼항 플러스가 있습니다. 이러한 종류의 적분은 표준 대체를 사용하여 풉니다.

우리는 다음을 결정합니다.

교체는 간단합니다.

우리는 교체 후의 삶을 봅니다.

(1) 대입 후, 우리는 루트 아래의 용어를 공통 분모로 가져옵니다.
(2) 우리는 뿌리 아래에서 꺼냅니다.
(3) 분자와 분모를 다음과 같이 줄입니다. 동시에 루트 아래에서 편리한 순서로 용어를 재배열했습니다. 약간의 경험이 있으면 구두로 주석 처리를 수행하여 (1), (2) 단계를 건너뛸 수 있습니다.
(4) 수업에서 기억하는 결과 적분 일부 분수의 적분, 해결 전체 사각형을 선택하는 방법으로... 완전한 정사각형을 선택하십시오.
(5) 적분 우리는 보통의 "긴" 로그를 얻습니다.
(6) 우리는 역 교체를 수행합니다. 처음이면 뒤로:.
(7) 최종 작업은 결과의 헤어스타일을 목표로 합니다. 루트 아래에서 용어를 다시 공통 분모로 가져와 루트 아래에서 제거합니다.

실시예 10

무한 적분 찾기

이것은 DIY 솔루션의 예입니다. 여기서 외로운 X에 상수가 추가되었으며 대체는 거의 동일합니다.

추가로 수행해야 하는 유일한 것은 대체에서 "x"를 표현하는 것입니다.

튜토리얼 끝 부분에 완전한 솔루션과 답변이 있습니다.

때로는 그러한 적분에서 루트 아래에 제곱 이항이있을 수 있습니다. 이것은 솔루션을 변경하지 않으며 훨씬 간단합니다. 차이를 느껴봐:

실시예 11

무한 적분 찾기

실시예 12

무한 적분 찾기

공과 끝에 간단한 솔루션과 답변이 있습니다. 예 11은 정확히 이항 적분, 수업에서 고려한 솔루션 방법 무리수 함수의 적분.

차수가 2인 분해 불가능한 다항식의 적분

(분모의 다항식)

더 드물지만 그럼에도 불구하고 실제 예에서 적분의 형태가 발생합니다.

실시예 13

무한 적분 찾기

그러나 행운의 숫자 13이 있는 예를 다시 살펴보겠습니다. 이 적분은 또한 해결 방법을 모르는 경우 자신을 상당히 괴롭힐 수 있는 범주에 속합니다.

솔루션은 인공 변형으로 시작됩니다.

분자를 분모로 나누는 방법은 모두가 이미 이해하고 있다고 생각합니다.

결과 적분은 조각별로 취해집니다.

형식(자연수)의 적분에 대해, 재발정도 감소 공식:
, 어디 - 차수의 적분.

풀린 적분에 대한 이 공식의 유효성을 확인합시다.
이 경우:, 다음 공식을 사용합니다.

보시다시피 답은 동일합니다.

실시예 14

무한 적분 찾기

이것은 DIY 솔루션의 예입니다. 샘플 솔루션은 위의 공식을 연속으로 두 번 사용합니다.

학위 미만인 경우 분해할 수 없는다음과 같이 완전한 제곱을 선택하여 해를 이항식으로 축소합니다.

분자에 추가 다항식이 있으면 어떻게 됩니까? 이 경우 정의되지 않은 계수 방법을 사용하고, 적분을 분수의 합으로 확장합니다. 그러나 그러한 예의 나의 연습에서 만난 적이 없다, 그래서 기사에서 이 경우를 건너뛰었습니다. 분수 유리 함수의 적분, 지금은 생략하겠습니다. 그러한 적분이 여전히 발생하면 교과서를 참조하십시오. 모든 것이 간단합니다. 나는 물질(심지어 단순한 것들도 포함)을 포함하는 것이 적절하지 않다고 생각합니다. 만날 확률은 0에 가깝습니다.

복잡한 삼각 함수의 통합

대부분의 예에서 "어려운" 형용사는 다시 대부분 조건부입니다. 높은 각도에서 접선과 코탄젠트부터 시작하겠습니다. 접선과 코탄젠트를 푸는 데 사용되는 방법의 관점에서 볼 때 접선과 코탄젠트가 거의 동일하므로 접선에 대해 더 자세히 설명하겠습니다. 적분을 푸는 방법이 코탄젠트에도 유효함을 의미합니다.

위의 강의에서 우리는 범용 삼각 치환삼각 함수의 특정 종류의 적분을 풀기 위해. 보편적인 삼각대입의 단점은 그것을 사용할 때 어려운 계산을 하는 번거로운 적분이 종종 발생한다는 것입니다. 그리고 어떤 경우에는 보편적인 삼각 대입을 피할 수 있습니다!

1의 적분을 사인으로 나눈 또 다른 정식 예를 고려하십시오.

실시예 17

무한 적분 찾기

여기에서 일반 삼각대입을 사용하여 답을 얻을 수 있지만 더 합리적인 방법이 있습니다. 각 단계에 대한 설명과 함께 완전한 솔루션을 제공하겠습니다.

(1) 이중각 사인 삼각 공식을 사용합니다.
(2) 인공 변환을 수행합니다. 분모에서 를 나누고 곱합니다.
(3) 잘 알려진 분모 공식에 따라 분수를 접선으로 변환합니다.
(4) 미분 부호 아래에 함수를 가져옵니다.
(5) 적분을 취합니다.

독립 솔루션에 대한 몇 가지 간단한 예:

실시예 18

무한 적분 찾기

참고: 첫 번째 단계는 캐스트 공식을 사용하는 것입니다. 이전 예와 유사한 단계를 주의 깊게 수행합니다.

실시예 19

무한 적분 찾기

이것은 아주 간단한 예입니다.

수업이 끝나면 솔루션과 답변을 완료하십시오.

이제 아무도 적분에 문제가 없을 것이라고 생각합니다.
등.

이 방법 뒤에 숨겨진 아이디어는 무엇입니까? 아이디어는 변환, 삼각 공식을 사용하여 피적분 함수에서 접선과 접선의 도함수만 구성하는 것입니다. 즉, 우리는 교체에 대해 이야기하고 있습니다. ... 예제 17-19에서 우리는 실제로 이 대체를 적용했지만 적분은 너무 단순해서 문제가 동등한 동작으로 처리되었습니다. 함수를 미분 기호 아래에 가져옵니다.

이미 언급했듯이 유사한 추론이 코탄젠트에 대해 수행될 수 있습니다.

위의 대체를 적용하기 위한 공식 전제 조건도 있습니다.

코사인과 사인의 거듭제곱의 합은 음의 정수 짝수입니다., 예를 들어:

정수의 경우 - 음의 정수 짝수.

! 메모 : 피적분에 사인만 포함하거나 코사인만 포함하는 경우 음의 홀수 차수에 대해서도 적분을 취합니다(가장 간단한 경우는 예 17, 18에 있음).

이 규칙에 대한 몇 가지 더 의미 있는 작업을 고려하십시오.

실시예 20

무한 적분 찾기

사인과 코사인의 거듭제곱 합: 2 - 6 = -4는 음의 정수 EVEN 숫자이며, 이는 적분이 탄젠트와 그 미분으로 축소될 수 있음을 의미합니다.

(1) 분모를 변환합니다.
(2) 잘 알려진 공식에 따라 우리는 얻는다.
(3) 분모를 변환합니다.
(4) 우리는 공식을 사용합니다 .
(5) 미분 부호 아래에 함수를 가져옵니다.
(6) 우리는 교체를 수행합니다. 경험이 많은 학생은 교체를 수행하지 않을 수 있지만 접선을 한 문자로 교체하는 것이 여전히 낫습니다. 혼란의 위험이 적습니다.