Was ist die Schwingungsfrequenz? Schwingungen. Harmonische Schwingungen

Harmonische Schwingungen sind Schwingungen, die nach den Gesetzen von Sinus und Cosinus erfolgen. Die folgende Abbildung zeigt ein Diagramm der Koordinatenänderungen eines Punktes im Zeitverlauf gemäß dem Kosinusgesetz.

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Schwingungsamplitude

Die Amplitude einer harmonischen Schwingung ist der größte Wert der Verschiebung eines Körpers aus seiner Gleichgewichtslage. Die Amplitude kann unterschiedliche Werte annehmen. Es hängt davon ab, wie stark wir den Körper im Anfangsmoment aus der Gleichgewichtsposition verschieben.

Die Amplitude wird durch die Anfangsbedingungen bestimmt, d. h. durch die Energie, die dem Körper zum Anfangszeitpunkt zugeführt wird. Da Sinus und Cosinus Werte im Bereich von -1 bis 1 annehmen können, muss die Gleichung einen Faktor Xm enthalten, der die Amplitude der Schwingungen ausdrückt. Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen:

x = Xm*cos(ω0*t).

Schwingungsperiode

Die Schwingungsdauer ist die Zeit, die benötigt wird, um eine vollständige Schwingung durchzuführen. Die Schwingungsperiode wird mit dem Buchstaben T bezeichnet. Die Maßeinheiten der Periode entsprechen den Zeiteinheiten. Das heißt, in SI sind dies Sekunden.

Die Schwingungsfrequenz ist die Anzahl der Schwingungen, die pro Zeiteinheit ausgeführt werden. Die Schwingungsfrequenz wird mit dem Buchstaben ν bezeichnet. Die Schwingungsfrequenz kann als Schwingungsperiode ausgedrückt werden.

ν = 1/T.

Frequenzeinheiten sind in SI 1/Sek. Diese Maßeinheit heißt Hertz. Die Anzahl der Schwingungen in einer Zeit von 2*pi Sekunden beträgt:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Schwingungsfrequenz

Diese Größe wird als zyklische Schwingungsfrequenz bezeichnet. In mancher Literatur taucht der Name Kreisfrequenz auf. Die Eigenfrequenz eines schwingungsfähigen Systems ist die Frequenz freier Schwingungen.

Die Frequenz der Eigenschwingungen wird nach folgender Formel berechnet:

Die Frequenz der Eigenschwingungen hängt von den Materialeigenschaften und der Masse der Ladung ab. Je größer die Federsteifigkeit ist, desto höher ist die Frequenz ihrer Eigenschwingungen. Je größer die Masse der Last ist, desto geringer ist die Frequenz der Eigenschwingungen.

Diese beiden Schlussfolgerungen liegen auf der Hand. Je steifer die Feder ist, desto größer ist die Beschleunigung, die sie auf den Körper ausübt, wenn das System aus dem Gleichgewicht gerät. Je größer die Masse eines Körpers ist, desto langsamer ändert sich die Geschwindigkeit dieses Körpers.

Freie Schwingungsperiode:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Es ist bemerkenswert, dass bei kleinen Auslenkungswinkeln die Schwingungsdauer des Körpers auf der Feder und die Schwingungsdauer des Pendels nicht von der Amplitude der Schwingungen abhängen.

Schreiben wir die Formeln für die Periode und Frequenz freier Schwingungen für ein mathematisches Pendel auf.

dann ist die Periode gleich

T = 2*pi*√(l/g).

Diese Formel gilt nur für kleine Ablenkwinkel. Aus der Formel sehen wir, dass die Schwingungsdauer mit zunehmender Länge des Pendelfadens zunimmt. Je länger die Länge, desto langsamer vibriert der Körper.

Die Schwingungsdauer hängt überhaupt nicht von der Masse der Last ab. Aber es kommt auf die Beschleunigung des freien Falls an. Mit abnehmendem g nimmt die Schwingungsdauer zu. Diese Eigenschaft wird in der Praxis häufig genutzt. Zum Beispiel um den genauen Wert der freien Beschleunigung zu messen.

Bedenken Sie dies bitte beim Studium dieses Abschnitts Schwankungen unterschiedlicher physikalischer Natur werden aus gängigen mathematischen Positionen beschrieben. Hier ist es notwendig, Konzepte wie harmonische Schwingung, Phase, Phasendifferenz, Amplitude, Frequenz, Schwingungsperiode klar zu verstehen.

Es muss berücksichtigt werden, dass es in jedem realen Schwingungssystem einen Widerstand des Mediums gibt, d.h. die Schwingungen werden gedämpft. Um die Dämpfung von Schwingungen zu charakterisieren, werden ein Dämpfungskoeffizient und ein logarithmisches Dämpfungsdekrement eingeführt.

Treten Schwingungen unter dem Einfluss einer äußeren, sich periodisch ändernden Kraft auf, spricht man von erzwungenen Schwingungen. Sie werden ungedämpft sein. Die Amplitude erzwungener Schwingungen hängt von der Frequenz der Antriebskraft ab. Wenn sich die Frequenz der erzwungenen Schwingungen der Frequenz der natürlichen Schwingungen nähert, nimmt die Amplitude der erzwungenen Schwingungen stark zu. Dieses Phänomen nennt man Resonanz.

Wenn Sie mit der Untersuchung elektromagnetischer Wellen fortfahren, müssen Sie dies klar verstehenElektromagnetische Welleist ein elektromagnetisches Feld, das sich im Raum ausbreitet. Das einfachste System, das elektromagnetische Wellen aussendet, ist ein elektrischer Dipol. Wenn ein Dipol harmonische Schwingungen erfährt, sendet er eine monochromatische Welle aus.

Formeltabelle: Schwingungen und Wellen

(lat. Amplitude- Betrag) ist die größte Abweichung eines schwingenden Körpers von seiner Gleichgewichtslage.

Bei einem Pendel ist dies die maximale Entfernung, um die sich die Kugel von ihrer Gleichgewichtsposition entfernt (Abbildung unten). Für Schwingungen mit kleinen Amplituden kann ein solcher Abstand als die Länge des Bogens 01 oder 02 und die Längen dieser Segmente angenommen werden.

Die Amplitude von Schwingungen wird in Längeneinheiten gemessen – Meter, Zentimeter usw. Im Schwingungsdiagramm ist die Amplitude als maximale (Modulo-)Ordinate der Sinuskurve definiert (siehe Abbildung unten).

Schwingungsperiode.

Schwingungsperiode- Dies ist die kürzeste Zeitspanne, in der ein oszillierendes System wieder in denselben Zustand zurückkehrt, in dem es sich im zufällig gewählten Anfangszeitpunkt befand.

Mit anderen Worten, die Schwingungsperiode ( T) ist die Zeit, in der eine vollständige Schwingung auftritt. In der Abbildung unten ist dies beispielsweise die Zeit, die das Pendel benötigt, um sich vom äußersten rechten Punkt durch den Gleichgewichtspunkt zu bewegen UM zum Punkt ganz links und zurück durch den Punkt UM wieder ganz rechts.

Über eine volle Schwingungsperiode legt der Körper also eine Strecke zurück, die vier Amplituden entspricht. Die Schwingungsdauer wird in Zeiteinheiten gemessen – Sekunden, Minuten usw. Die Schwingungsdauer kann aus einem bekannten Schwingungsdiagramm bestimmt werden (siehe Abbildung unten).

Der Begriff „Schwingungsperiode“ ist streng genommen nur dann gültig, wenn sich die Werte der Schwingungsgröße nach einer bestimmten Zeitspanne genau wiederholen, also bei harmonischen Schwingungen. Dieses Konzept gilt jedoch auch für Fälle annähernd wiederkehrender Mengen, z gedämpfte Schwingungen.

Schwingungsfrequenz.

Schwingungsfrequenz- Dies ist die Anzahl der Schwingungen, die pro Zeiteinheit ausgeführt werden, beispielsweise in 1 s.

Die SI-Einheit der Frequenz wird benannt Hertz(Hz) zu Ehren des deutschen Physikers G. Hertz (1857-1894). Wenn die Schwingungsfrequenz ( v) ist gleich 1 Hz Das bedeutet, dass es jede Sekunde eine Schwingung gibt. Die Frequenz und die Periode der Schwingungen hängen durch die folgenden Beziehungen zusammen:

Auch in der Schwingungstheorie wird der Begriff verwendet zyklisch, oder Kreisfrequenz ω . Sie hängt mit der Normalfrequenz zusammen v und Schwingungsdauer T Verhältnisse:

.

Zyklische Häufigkeit ist die Anzahl der durchgeführten Schwingungen pro 2π Sekunden

Somit ist die Gesamtenergie der harmonischen Schwingung konstant und proportional zum Quadrat der Verschiebungsamplitude . Dies ist eine der charakteristischen Eigenschaften harmonischer Schwingungen. Dabei bedeutet der konstante Koeffizient k bei einem Federpendel die Steifigkeit der Feder und bei einem mathematischen Pendel k=mgH. In beiden Fällen wird der Koeffizient k durch die Parameter des Schwingsystems übertragen.

Die Gesamtenergie eines mechanischen Schwingsystems besteht aus kinetischer und potentieller Energie und entspricht dem Maximalwert einer dieser beiden Komponenten:

Daher ist die gesamte Schwingungsenergie direkt proportional zum Quadrat der Verschiebungsamplitude bzw. dem Quadrat der Geschwindigkeitsamplitude.

Aus der Formel:

Es ist möglich, die Amplitude x m von Verschiebungsschwingungen zu bestimmen:

Die Verschiebungsamplitude während freier Schwingungen ist direkt proportional zur Quadratwurzel der Energie, die dem schwingenden System im ersten Moment, als das System aus dem Gleichgewicht gebracht wurde, verliehen wurde.

Kinematik mechanischer freier Schwingungen

1 Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung. Um die kinematischen Eigenschaften (Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung) freier Schwingungen zu ermitteln, verwenden wir das Gesetz der Energieerhaltung und -umwandlung, das für ein ideales mechanisches Schwingsystem wie folgt geschrieben wird:

Da die Zeitableitung φ " konstant ist, hängt der Winkel φ linear von der Zeit ab:

Unter Berücksichtigung dessen können wir schreiben:

x = x m sin ω 0 t, υ = x m ω 0 cos ω 0 t

Hier der Wert

ist die Amplitude der Geschwindigkeitsänderung:

υ = υ m cos ω 0 t

Abhängigkeit vom momentanen Beschleunigungswert A Ab der Zeit t finden wir als Ableitung der Geschwindigkeit υ nach der Zeit:

a = υ " = - ω 0 υ m sin ω 0 t,

a = -am sin ω 0 t

Das „-“-Zeichen in der resultierenden Formel gibt an, dass das Vorzeichen der Projektion des Beschleunigungsvektors auf die Achse, entlang derer die Schwingungen auftreten, entgegengesetzt zum Vorzeichen der Verschiebung x ist.

Wir sehen also, dass sich bei harmonischen Schwingungen nicht nur die Verschiebung, sondern auch die Geschwindigkeit und Beschleunigung sinusförmig ändern .

2 Zyklische Schwingungsfrequenz. Die Größe ω 0 wird als zyklische Schwingungsfrequenz bezeichnet. Da die Funktion sin α in ihrem Argument α eine Periode von 2π hat und harmonische Schwingungen zeitlich eine Periode von T haben, dann

In der Welt um uns herum gibt es viele Phänomene und Prozesse, die im Großen und Ganzen unsichtbar sind, nicht weil sie nicht existieren, sondern weil wir sie einfach nicht bemerken. Sie sind immer präsent und stellen die gleiche unmerkliche und obligatorische Essenz der Dinge dar, ohne die wir uns unser Leben kaum vorstellen können. Jeder weiß zum Beispiel, was eine Schwingung ist: In ihrer allgemeinsten Form ist sie eine Abweichung von einem Gleichgewichtszustand. Na gut, die Spitze des Ostankino-Turms ist um 5 m abgewichen, aber wie geht es weiter? Wird es so einfrieren? Nichts dergleichen wird beginnen, zurückzukehren, aus dem Gleichgewichtszustand herauszurutschen und in die andere Richtung abzuweichen, und so weiter für immer, solange es existiert. Sagen Sie mir, wie viele Menschen haben tatsächlich diese ziemlich ernsten Vibrationen eines so riesigen Bauwerks gesehen? Jeder weiß, es schwankt, hier und da, hier und da, Tag und Nacht, Winter und Sommer, aber irgendwie... fällt es nicht auf. Die Gründe für den Oszillationsprozess sind eine andere Frage, aber seine Anwesenheit ist ein untrennbares Merkmal aller Dinge.

Alles um ihn herum schwingt: Gebäude, Bauwerke, Uhrenpendel, Blätter an Bäumen, Geigensaiten, die Meeresoberfläche, die Beine einer Stimmgabel... Unter den Schwingungen gibt es chaotische Schwingungen, die keine strenge Wiederholbarkeit haben, und zyklische, bei denen der oszillierende Körper während der Zeitspanne T eine ganze Reihe seiner Veränderungen durchläuft und sich dieser Zyklus dann genau, im Allgemeinen, auf unbestimmte Zeit wiederholt. Normalerweise implizieren diese Änderungen eine sequentielle Suche nach Raumkoordinaten, wie am Beispiel der Schwingungen eines Pendels oder desselben Turms beobachtet werden kann.

Die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit nennt man Frequenz F = 1/T. Frequenzeinheit - Hz = 1/Sek. Es ist klar, dass die zyklische Frequenz ein Parameter gleichnamiger Schwingungen jeglicher Art ist. In der Praxis ist es jedoch üblich, diesen Begriff mit einigen Ergänzungen vor allem auf Schwingungen rotatorischer Natur zu beziehen. In der Technik ist es einfach so, dass sie die Grundlage der meisten Maschinen, Mechanismen und Geräte bildet. Für solche Schwingungen ist ein Zyklus eine Umdrehung, und dann ist es bequemer, die Winkelparameter der Bewegung zu verwenden. Auf dieser Grundlage wird die Rotationsbewegung in Winkeleinheiten gemessen, d. h. Eine Umdrehung entspricht 2π im Bogenmaß und die zyklische Frequenz ῳ = 2π / T. Aus diesem Ausdruck ist der Zusammenhang mit der Frequenz F leicht ersichtlich: ῳ = 2πF. Dies erlaubt uns zu sagen, dass die zyklische Frequenz die Anzahl der Schwingungen (volle Umdrehungen) in 2π Sekunden ist.

Es scheint, nicht in der Stirn, also... Nicht ganz so. Die Faktoren 2π und 2πF werden in vielen Gleichungen der Elektronik, Mathematik und theoretischen Physik in Abschnitten verwendet, in denen oszillierende Prozesse unter Verwendung des Konzepts der zyklischen Frequenz untersucht werden. Beispielsweise wird die Formel für die Resonanzfrequenz um zwei Faktoren reduziert. Wenn in Berechnungen die Einheit „Umdrehung/Sek.“ verwendet wird, stimmt die Winkelfrequenz, die zyklische Frequenz ῳ numerisch mit dem Wert der Frequenz F überein.

Schwingungen als Wesen und Existenzform der Materie und ihre materielle Verkörperung – die Objekte unserer Existenz – sind im menschlichen Leben von großer Bedeutung. Die Kenntnis der Schwingungsgesetze hat die Entwicklung moderner Elektronik, Elektrotechnik und vieler moderner Maschinen ermöglicht. Leider haben Schwankungen nicht immer einen positiven Effekt; manchmal bringen sie Trauer und Zerstörung mit sich. Unerklärliche Schwingungen, die Ursache vieler Unfälle, verursachen Materialien und die zyklische Frequenz resonanter Schwingungen von Brücken, Dämmen und Maschinenteilen führen zu deren vorzeitigem Ausfall. Die Untersuchung oszillatorischer Prozesse, die Fähigkeit, das Verhalten natürlicher und technischer Objekte vorherzusagen, um deren Zerstörung oder Funktionsausfall zu verhindern, ist die Hauptaufgabe vieler technischer Anwendungen, und die Überprüfung von Industrieanlagen und -mechanismen auf Vibrationsfestigkeit ist obligatorisch Bestandteil der betrieblichen Instandhaltung.