Násobení matice číslem: příklady, vlastnosti, význam. Násobení matice číslem Najděte součin reálného čísla maticí online

Abychom matici A vynásobili libovolným číslem α, potřebujeme prvky matice A vynásobíme číslem α, tzn. součin matice a čísla bude následující:

Příklad 1 Najděte Matrix 3 A pro matici

Řešení. V souladu s definicí vynásobíme prvky matice A do 3 a dostat

Toto byl velmi jednoduchý příklad násobení matice číslem s celými čísly. Také dopředu jednoduché příklady, ale již takové, kde mezi faktory a prvky matic jsou zlomky, proměnné (písmenná označení), protože zákony násobení platí nejen pro celá čísla, proto není nikdy na škodu si je zopakovat.

Příklad 2 Ačíslem α pokud
, .

Aα, přičemž se nezapomíná, že při násobení zlomků se čitatel prvního zlomku vynásobí čitatelem prvního zlomku a součin se zapíše do čitatele a jmenovatel prvního zlomku se vynásobí jmenovatelem druhého zlomku. a součin se zapíše do jmenovatele. Po obdržení druhého prvku prvního řádku nové matice byl výsledný zlomek snížen o 2, to je nutné provést. Dostaneme

Příklad 3 Proveďte operaci násobení matice Ačíslem α pokud
, .

Řešení. Vynásobte prvky matice A na α, nenechat se zmást v označení písmen, nezapomenout před druhým prvkem druhého řádku nové matice nechat mínus a pamatovat si, že výsledkem násobení čísla jeho převrácenou hodnotou je jedna (první prvek třetí řady). Dostaneme

Příklad 4 Proveďte operaci násobení matice Ačíslem α pokud
, .

Řešení. Připomeňme, že při násobení čísla v mocnině číslem v mocnině se exponenty sčítají. Dostaneme

Tento příklad mimo jiné jasně demonstruje, že operace násobení matice číslem lze číst (a zapisovat) v opačném pořadí a nazývá se vkládání konstantního faktoru před matici.

Zkombinováno s sčítání a odčítání matic operace násobení matice číslem může tvořit různé maticové výrazy, například 5 A − 3B , 4A + 2B .

Vlastnosti násobení matice číslem

(zde A, B - matice, - čísla, 1 - jednička)

Vlastnosti (1) a (2) spojují násobení matice číslem se sčítáním matic. Mezi násobením matice číslem a násobením matic samotných existuje také velmi důležitá souvislost:

tj. pokud je v součinu matic jeden z faktorů vynásoben číslem, pak bude celý součin vynásoben číslem.

Toto téma pokryje operace jako sčítání a odčítání matic, násobení matice číslem, násobení matice maticí, transpozice matice. Všechny symboly použité na této stránce jsou převzaty z předchozího tématu.

Sčítání a odčítání matic.

Součet $A+B$ matic $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ je matice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, kde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pro všechny $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline( 1, n) $.

Podobná definice je zavedena pro rozdíl matic:

Rozdíl $AB$ matic $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ je matice $C_(m\krát n)=( c_(ij))$, kde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pro všechny $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1, n) $.

Vysvětlení položky $i=\overline(1,m)$: show\hide

Záznam "$i=\overline(1,m)$" znamená, že parametr $i$ se změní z 1 na m. Například záznam $i=\overline(1,5)$ říká, že parametr $i$ nabývá hodnot 1, 2, 3, 4, 5.

Za zmínku stojí, že operace sčítání a odčítání jsou definovány pouze pro matice stejné velikosti. Obecně platí, že sčítání a odčítání matic jsou operace, které jsou intuitivně jasné, protože znamenají ve skutečnosti jen sčítání nebo odečítání odpovídajících prvků.

Příklad #1

Jsou uvedeny tři matice:

$$ A=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \right)\;\; B=\left(\begin(pole) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right); \;\; F=\left(\begin(pole) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(pole) \right). $$

Je možné najít matici $A+F$? Najděte matice $C$ a $D$, pokud $C=A+B$ a $D=A-B$.

Matice $A$ obsahuje 2 řádky a 3 sloupce (jinými slovy, velikost matice $A$ je $2\krát 3$) a matice $F$ obsahuje 2 řádky a 2 sloupce. Rozměry matice $A$ a $F$ se neshodují, nemůžeme je tedy sečíst, tzn. operace $A+F$ pro tyto matice není definována.

Velikosti matic $A$ a $B$ jsou stejné, tzn. data matice obsahují stejný počet řádků a sloupců, takže operace sčítání se na ně vztahuje.

$$ C=A+B=\left(\začátek(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \vpravo)+ \left(\začátek(pole ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right)=\\= \left(\begin(pole) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(pole) \vpravo) $$

Najděte matici $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \right)- \left(\begin(pole) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right)=\\= \left(\begin(pole) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(pole) \vpravo) $$

Odpovědět: $C=\left(\begin(pole) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(pole) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(pole) \right)$.

Násobení matice číslem.

Součin matice $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a čísla $\alpha$ je matice $B_(m\krát n)=(b_(ij))$, kde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pro všechny $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1,n)$.

Jednoduše řečeno, vynásobit matici nějakým číslem znamená vynásobit každý prvek dané matice tímto číslem.

Příklad č. 2

Je dána matice: $ A=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right)$. Najděte matice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ a $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right) =\left(\begin( pole) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(pole) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right) =\left(\begin(pole) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(pole) \vpravo). $$

Zápis $-A$ je zkratkou pro $-1\cdot A$. To znamená, že k nalezení $-A$ musíte vynásobit všechny prvky matice $A$ číslem (-1). Ve skutečnosti to znamená, že znaménko všech prvků matice $A$ se změní na opak:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right)= \ left(\begin(pole) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Odpovědět: $3\cdot A=\left(\begin(pole) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(pole) \right);\; -5\cdot A=\left(\začátek(pole) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(pole) \vpravo);\; -A=\left(\begin(pole) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(pole) \right)$.

Součin dvou matic.

Definice této operace je těžkopádná a na první pohled nesrozumitelná. Nejprve tedy naznačím obecnou definici a poté podrobně rozebereme, co to znamená a jak s ní pracovat.

Součin matice $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a matice $B_(n\krát k)=(b_(ij))$ je matice $C_(m\krát k )=(c_( ij))$, pro které se každý prvek $c_(ij)$ rovná součtu součinů odpovídajícího i-té prvkyřádky matice $A$ prvky j-tého sloupce matice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Krok za krokem rozebereme násobení matic na příkladu. Měli byste však okamžitě věnovat pozornost tomu, že ne všechny matice lze násobit. Chceme-li matici $A$ vynásobit maticí $B$, pak se nejprve musíme ujistit, že počet sloupců matice $A$ je roven počtu řádků matice $B$ (takové matice se často nazývají souhlasil). Například matici $A_(5\krát 4)$ (matice obsahuje 5 řádků a 4 sloupce) nelze násobit maticí $F_(9\krát 8)$ (9 řádků a 8 sloupců), protože počet sloupců matice $A $ není rovna počtu řádků matice $F$, tzn. $4\neq 9$. Je však možné vynásobit matici $A_(5\krát 4)$ maticí $B_(4\krát 9)$, protože počet sloupců matice $A$ je roven počtu řádků matice $B$. V tomto případě bude výsledkem vynásobení matic $A_(5\krát 4)$ a $B_(4\krát 9)$ matice $C_(5\krát 9)$ obsahující 5 řádků a 9 sloupců:

Příklad č. 3

Dané matice: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (pole) \right)$ a $ B=\left(\begin(pole) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(pole) \right) $. Najděte matici $C=A\cdot B$.

Pro začátek rovnou určíme velikost matice $C$. Protože matice $A$ má velikost $3\krát 4$ a matice $B$ má velikost $4\krát 2$, velikost matice $C$ je $3\krát 2$:

Takže jako výsledek součinu matic $A$ a $B$ bychom měli dostat matici $C$, která se skládá ze tří řádků a dvou sloupců: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(pole) \vpravo)$. Pokud označení prvků vyvolává otázky, pak se můžete podívat na předchozí téma: "Matice. Typy matic. Základní pojmy", na jehož začátku je vysvětleno označení prvků matice. Naším cílem je najít hodnoty všech prvků matice $C$.

Začněme prvkem $c_(11)$. Chcete-li získat prvek $c_(11)$, musíte najít součet součinů prvků prvního řádku matice $A$ a prvního sloupce matice $B$:

Pro nalezení samotného prvku $c_(11)$ je potřeba vynásobit prvky prvního řádku matice $A$ odpovídajícími prvky prvního sloupce matice $B$, tzn. první prvek na první, druhý na druhý, třetí na třetí, čtvrtý na čtvrtý. Shrneme získané výsledky:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Pokračujme v řešení a najdeme $c_(12)$. Chcete-li to provést, musíte vynásobit prvky prvního řádku matice $A$ a druhého sloupce matice $B$:

Podobně jako u předchozího máme:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Jsou nalezeny všechny prvky prvního řádku matice $C$. Přejdeme na druhý řádek, který začíná prvkem $c_(21)$. Chcete-li to najít, musíte vynásobit prvky druhého řádku matice $A$ a prvního sloupce matice $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Další prvek $c_(22)$ se najde vynásobením prvků druhého řádku matice $A$ odpovídajícími prvky druhého sloupce matice $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Abychom našli $c_(31)$, vynásobíme prvky třetího řádku matice $A$ prvky prvního sloupce matice $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

A konečně, abyste našli prvek $c_(32)$, musíte vynásobit prvky třetího řádku matice $A$ odpovídajícími prvky druhého sloupce matice $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Všechny prvky matice $C$ jsou nalezeny, zbývá pouze zapsat, že $C=\left(\begin(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(pole ) \vpravo)$ . Nebo abych to napsal celý:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(pole) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(pole) \right)\cdot \left(\begin(pole) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(pole) \right) =\left(\begin(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(pole) \right). $$

Odpovědět: $C=\left(\begin(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(pole) \right)$.

Mimochodem, často není důvod podrobně popisovat umístění každého prvku výsledné matice. Pro matice, jejichž velikost je malá, můžete provést následující:

$$ \left(\begin(pole) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(pole)\right)\cdot \left(\begin(pole) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(pole) \vpravo) =\left(\začátek(pole) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\začátek(pole) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(pole) \vpravo) $$

Za zmínku také stojí, že maticové násobení je nekomutativní. To znamená, že obecně $A\cdot B\neq B\cdot A$. Pouze u některých typů matic, které jsou tzv permutační(nebo dojíždění), platí rovnost $A\cdot B=B\cdot A$. Vychází z nekomutativnosti násobení, že je třeba přesně uvést, jak výraz násobíme tou či onou maticí: vpravo nebo vlevo. Například fráze „vynásobte obě strany rovnosti $3EF=Y$ maticí $A$ vpravo“ znamená, že chcete získat následující rovnost: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transponovaná vzhledem k matici $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ je matice $A_(n\krát m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pro prvky, kde $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Jednoduše řečeno, abyste získali transponovanou matici $A^T$, musíte nahradit sloupce v původní matici $A$ odpovídajícími řádky podle tohoto principu: byl první řádek - první sloupec se stane; tam byl druhý řádek - druhý sloupec se stane; byl tam třetí řádek - bude tam třetí sloupec a tak dále. Například najdeme transponovanou matici na matici $A_(3\krát 5)$:

Pokud tedy původní matice měla velikost $3\krát 5$, pak transponovaná matice má velikost $5\krát 3$.

Některé vlastnosti operací s maticemi.

Zde se předpokládá, že $\alpha$, $\beta$ jsou nějaká čísla a $A$, $B$, $C$ jsou matice. U prvních čtyř vlastností jsem uvedl názvy, zbytek lze pojmenovat analogicky s prvními čtyřmi.

Přednáška č.1

MATICE

Definice a typy matic

Definice 1.1.Matice velikost T P se nazývá obdélníková tabulka čísel (nebo jiných objektů) obsahující m linky a n sloupců.

Matice se označují velkými (velkými) písmeny latinské abecedy, např. A, B, C... Volají se čísla (nebo jiné objekty), které tvoří matici Prvky matrice. Maticovými prvky mohou být funkce. K označení prvků matice se používají malá písmena latinské abecedy s dvojitým indexováním: aij, kde je první index i(číst - a) - číslo řádku, druhý index j(čteno - živě) – číslo sloupce.

Definice 1.2. Matice se nazývá čtverec p-řádu, je-li počet jeho řádků roven počtu sloupců a roven stejnému počtu P

Pro čtvercovou matici pojmy hlavní a bočníúhlopříčky.

Definice 1.3.Hlavní úhlopříčkačtvercová matice se skládá z prvků, které mají stejné indexy, tj. Jsou to tyto prvky: A 11,22,…

Definice 1.4. úhlopříčka pokud jsou všechny prvky kromě prvků hlavní diagonály rovny nule

Definice 1.5.Čtvercová matice se nazývá trojúhelníkový, pokud jsou všechny jeho prvky umístěné pod (nebo nad) hlavní diagonálou rovny nule.

Definice 1.6.čtvercová matice P-řád, ve kterém jsou všechny prvky hlavní úhlopříčky rovny jedné a zbytek je roven nule, se nazývá singl matice nřádu a je označen písmenem E.

Definice 1.7. Zavolá se matice libovolné velikosti nula, nebo nulová matice, pokud jsou všechny jeho prvky rovny nule.

Definice 1.8. Je volána jednořádková matice řádková matice.

Definice 1.9. Zavolá se matice s jedním sloupcem sloupcová matice.

A = (a 11 A 12 ...a 1n) - matice-řádek;

Definice 1.10. Dvě matrice A a PROTI stejné velikosti se nazývají rovnat se, pokud jsou všechny odpovídající prvky těchto matic stejné, tzn. aij = bij pro jakékoli i= 1, 2, ..., T; j = 1, 2,…, n.

Maticové operace

S maticemi, stejně jako s čísly, lze provádět řadu operací. Hlavní operace s maticemi jsou sčítání (odečítání) matic, násobení matice číslem a násobení matic. Tyto operace jsou podobné operacím s čísly. Specifickou operací je maticová transpozice.

Násobení matice číslem

Definice 1.11.Součin matice A číslemλ se nazývá matice B = A, jehož prvky se získají vynásobením prvků matice A k číslu λ .

Příklad 1.1. Najděte součin matice A= na číslo 5.

Řešení. .◄ 5A=

Pravidlo pro násobení matice číslem: pro vynásobení matice číslem musíte vynásobit všechny prvky matice tímto číslem.

Následek.

1. Společný činitel všech prvků matice lze vyjmout ze znaménka matice.

2. Matricový produkt Ačíslo 0 má nulovou matici: A· 0 = 0 .

Přidání matice

Definice 1.12.Součet dvou matic A a B stejné velikosti t n tzv. matice S= A+ PROTI, jehož prvky se získají přidáním odpovídajících prvků matice A a matrice PROTI, tj. cij = aij + bij pro i = 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n(tj. matice se přidávají prvek po prvku).

Následek. Maticový součet A s nulovou maticí se rovná původní matici: A + O = A.

1.2.3. Odčítání matice

Rozdíl dvou matic stejné velikosti se určí pomocí předchozích operací: A – B \u003d A + (- 1)PROTI.

Definice 1.13. Matice –A = (– 1)A volala naproti matice A.

Následek. Součet opačných matic je roven nulové matici : A + (-A) \u003d O.

Maticové násobení

Definice 1.14.Násobení matice A maticí B definováno, když se počet sloupců první matice rovná počtu řádků druhé matice. Pak matricový produkt taková matice se nazývá , z nichž každý prvek cij se rovná součtu součinů prvků i-tý řádek matice A na příslušných prvcích j-tý sloupec matice b.

Příklad 1.4. Vypočítejte součin matic A B kde

Příklad 1.5. Najděte produkty matic AB a VA, kde

Poznámky. Z příkladů 1.4–1.5 vyplývá, že operace násobení matic má určité odlišnosti od násobení čísel:

1) je-li součin matic AB existuje, pak po přeskupení faktorů součin matic VA nemusí existovat. V příkladu 1.4 skutečně existuje matricový produkt AB, ale produkt BA neexistuje;

2) i když prac AB a VA existovat, pak výsledkem součinu mohou být matice různých velikostí. V případě, že obojí funguje AB a VA existují a obě jsou matice stejné velikosti (toto je možné pouze při násobení čtvercových matic stejného řádu), pak komutativní (posunovací) zákon násobení stále neplatí, ty. A B V A, jako v příkladu 1.5;

3) pokud však vynásobíme čtvercovou matici A do matice identity E tedy stejné pořadí AE = EA = A.

Matice identity tedy hraje stejnou roli při násobení matic jako číslo 1 při násobení čísel;

4) součin dvou nenulových matic se může rovnat nulové matici, tedy z toho, že A B= 0, z toho nevyplývá A = 0 nebo B= 0.

1. ročník, vyšší matematika, studium matrice a základní akce na nich. Zde systematizujeme hlavní operace, které lze s maticemi provádět. Jak začít s matrikou? Samozřejmě od toho nejjednoduššího – definice, základní pojmy a nejjednodušší operace. Ujišťujeme vás, že matrikám bude rozumět každý, kdo se jim alespoň trochu věnuje!

Definice matice

Matice je obdélníková tabulka prvků. No, kdyby prostý jazyk- tabulka čísel.

Matice se obvykle označují velkými latinskými písmeny. Například matice A , matice B atd. Matice mohou být různé velikosti: obdélníkové, čtvercové, existují také řádkové matice a sloupcové matice zvané vektory. Velikost matice je určena počtem řádků a sloupců. Zapišme si například obdélníkovou matici velikosti m na n , kde m je počet řádků a n je počet sloupců.

Prvky pro které i=j (a11, a22, .. ) tvoří hlavní úhlopříčku matice a nazývají se diagonální.

Co lze s matricemi dělat? Přidat/Odečíst, vynásobit číslem, množit se mezi sebou, přemístit. Nyní o všech těchto základních operacích s maticemi v pořádku.

Operace sčítání a odčítání matic

Hned vás varujeme, že můžete přidat pouze matice stejné velikosti. Výsledkem je matice stejné velikosti. Sčítání (nebo odečítání) matic je snadné − stačí přidat jejich odpovídající prvky . Vezměme si příklad. Proveďme sečtení dvou matic A a B o velikosti dva po dvou.

Odečítání se provádí analogicky, pouze s opačným znaménkem.

Libovolnou matici lze vynásobit libovolným číslem. Udělat toto, musíte tímto číslem vynásobit každý jeho prvek. Vynásobme například matici A z prvního příkladu číslem 5:

Operace násobení matic

Ne všechny matice lze mezi sebou násobit. Například máme dvě matice - A a B. Lze je vzájemně násobit pouze tehdy, je-li počet sloupců matice A roven počtu řádků matice B. každý prvek výsledné matice v i-té řadě a j-tý sloupec, se bude rovnat součtu součinů odpovídajících prvků v i-tý řádek první faktor a j-tý sloupec druhého. Abychom porozuměli tomuto algoritmu, zapišme si, jak se násobí dvě čtvercové matice:

A příklad s reálnými čísly. Vynásobme matice:

Operace maticové transpozice

Maticová transpozice je operace, při které dochází k záměně odpovídajících řádků a sloupců. Například transponujeme matici A z prvního příkladu:

Maticový determinant

Determinant, ach ten determinant, je jedním ze základních pojmů lineární algebry. Kdysi lidé vymýšleli lineární rovnice a po nich museli vymyslet determinant. Nakonec je na vás, jak se s tím vším vypořádáte, takže poslední tlačení!

Determinant je numerická charakteristika čtvercové matice, která je potřebná k řešení mnoha problémů.
Pro výpočet determinantu nejjednodušší čtvercové matice je třeba vypočítat rozdíl mezi součiny prvků hlavní a vedlejší úhlopříčky.

Determinant matice prvního řádu, tj. skládající se z jednoho prvku, je roven tomuto prvku.

Co když je matice tři na tři? Je to náročnější, ale dá se to zvládnout.

U takové matice je hodnota determinantu rovna součtu součinů prvků hlavní úhlopříčky a součinů prvků ležících na trojúhelnících s plochou rovnoběžnou s hlavní úhlopříčkou, z nichž součin prvků vedlejší úhlopříčky a součin prvků ležících na trojúhelníkech s plochou rovnoběžnou s vedlejší úhlopříčkou se odečítají.

Naštěstí je v praxi málokdy nutné počítat determinanty velkých matic.

Zde jsme zvážili základní operace s maticemi. Samozřejmě v reálném životě nikdy nenarazíte ani na náznak maticového systému rovnic, nebo naopak, můžete se setkat s mnohem složitějšími případy, kdy si budete muset pořádně lámat hlavu. Právě pro takové případy je tu profesionální studentská služba. Požádejte o pomoc, získejte kvalitní a detailní řešení, užívejte si studijní úspěchy a volný čas.

Tato příručka vám pomůže naučit se, jak na to maticové operace: sčítání (odčítání) matic, transpozice matice, násobení matic, hledání inverze matice. Veškerý materiál je prezentován jednoduchou a přístupnou formou, jsou uvedeny relevantní příklady, takže i nepřipravený člověk se může naučit provádět akce s matricemi. Pro sebekontrolu a autotest si můžete zdarma stáhnout maticovou kalkulačku >>>.

Pokusím se minimalizovat teoretické výpočty, místy jsou možná vysvětlení „na prstech“ a použití nevědeckých termínů. Milovníci solidní teorie, prosím, nekritizujte, naším úkolem je naučit se pracovat s matricemi.

Pro SUPER-RYCHLOU přípravu na téma (kdo "hoří") je intenzivní pdf-kurz Matice, determinant a offset!

Matice je obdélníková tabulka některých Prvky. Tak jako Prvky budeme uvažovat čísla, tedy číselné matice. ŽIVEL je termín. Je žádoucí si termín zapamatovat, často se bude vyskytovat, není náhoda, že jsem ho zvýraznil tučně.

Označení: matrice se obvykle označují velkými latinskými písmeny

Příklad: Zvažte matici dva na tři:

Tato matice se skládá ze šesti Prvky:

Všechna čísla (prvky) uvnitř matice existují samy o sobě, to znamená, že o žádném odčítání nemůže být řeč:

Je to jen tabulka (množina) čísel!

Taky se dohodneme nepřestavujtečíslo, pokud není ve vysvětlení uvedeno jinak. Každé číslo má své vlastní umístění a nemůžete je zamíchat!

Dotyčná matice má dva řádky:

a tři sloupce:

STANDARD: když mluvíme o rozměrech matice, pak za prvé uveďte počet řádků a teprve potom - počet sloupců. Právě jsme rozebrali matici dva na tři.

Pokud je počet řádků a sloupců matice stejný, pak se matice zavolá náměstí, Například: je matice tři krát tři.

Pokud má matice jeden sloupec nebo jeden řádek, pak se takové matice také nazývají vektory.

Ve skutečnosti pojem matice známe již ze školy, uvažujme například bod se souřadnicemi "x" a "y": . Souřadnice bodu se v podstatě zapisují do matice jedna po dvou. Mimochodem, zde je pro vás příklad, proč na pořadí čísel záleží: a jsou to dva zcela odlišné body roviny.

Nyní přejděme ke studiu. maticové operace:

1) Akce jedna. Odstranění mínusu z matice (zavedení mínusu do matice).

Zpět k našemu matrixu . Jak jste si pravděpodobně všimli, v této matici je příliš mnoho záporných čísel. To je velmi nepohodlné z hlediska provádění různých akcí s maticí, je nepohodlné psát tolik mínusů a v designu to prostě vypadá ošklivě.

Posuňme mínus mimo matici změnou znaménka KAŽDÉHO prvku matice:

Při nule, jak chápete, se znaménko nemění, nula - v Africe je také nula.

Opačný příklad: . Vypadá ošklivě.

Změnou znaménka KAŽDÉHO prvku matice zavedeme do matice mínus:

No, je mnohem hezčí. A co je nejdůležitější, bude snazší provádět jakékoli akce s matricí. Protože existuje takové matematické lidové znamení: čím více mínusů - tím více zmatků a chyb.

2) Akce dvě. Násobení matice číslem.

Příklad:

Je to jednoduché, k vynásobení matice číslem potřebujete každý vynásobte prvek matice dané číslo. V tomto případě tři.

Další užitečný příklad:

– násobení matice zlomkem

Nejprve se podíváme na to, co dělat NENÍ TŘEBA:

NENÍ POTŘEBA zadávat do matice zlomek, za prvé to jen znesnadňuje Další kroky s maticí, za druhé, ztěžuje učiteli kontrolu řešení (zejména pokud - konečná odpověď na úkol).

a zvláště, NENÍ TŘEBA vydělte každý prvek matice mínus sedmi:

Z článku Matematika pro figuríny aneb kde začít pamatujeme, že desetinným zlomkům s čárkou se ve vyšší matematice snažíme všemi možnými způsoby vyhnout.

Jediná věc žádoucí udělat v tomto příkladu je vložit mínus do matice:

Ale pokud VŠECHNO maticové prvky byly rozděleny 7 beze stopy, pak by bylo možné (a nutné!) rozdělit.

Příklad:

V tomto případě můžete POTŘEBOVAT vynásobte všechny prvky matice číslem , protože všechna čísla v matici jsou dělitelná 2 beze stopy.

Poznámka: v teorii vyšší matematiky neexistuje žádný školský koncept "dělení". Místo fráze „toto se dělí tímto“ můžete vždy říci „toto se vynásobí zlomkem“. To znamená, že dělení je speciální případ násobení.

3) Akce tři. Maticová transpozice.

Chcete-li transponovat matici, musíte zapsat její řádky do sloupců transponované matice.

Příklad:

Transponovat matici

Zde je pouze jeden řádek a podle pravidla musí být zapsán ve sloupci:

je transponovaná matice.

Transponovaná matice je obvykle označena horním indexem nebo tahem vpravo nahoře.

Příklad krok za krokem:

Transponovat matici

Nejprve přepíšeme první řádek do prvního sloupce:

Poté přepíšeme druhý řádek do druhého sloupce:

A nakonec přepíšeme třetí řádek do třetího sloupce:

Připraveno. Zhruba řečeno, transponovat znamená otočit matrici na bok.

4) Akce čtyři. Součet (rozdíl) matic.

Součet matic je jednoduchá operace.
NE VŠECHNY MATICE LZE SLOŽIT. Pro sčítání (odčítání) matic je nutné, aby byly STEJNĚ VELKÉ.

Pokud je například uvedena matice dva na dva, pak může být přidána pouze k matici dva na dva a žádná jiná!

Příklad:

Přidejte matice a

Chcete-li přidat matice, musíte přidat jejich odpovídající prvky:

Pro rozdíl matic je pravidlo podobné, je nutné najít rozdíl odpovídajících prvků.

Příklad:

Najděte rozdíl matic ,

Jak se rozhodnout uvedený příklad snadněji se vyhnout zmatkům? Je vhodné zbavit se zbytečných minusů, proto do matice přidáme minus:

Poznámka: v teorii vyšší matematiky neexistuje žádný školní koncept „odčítání“. Místo fráze „odečtěte toto od tohoto“ můžete vždy říci „přičtěte k tomu záporné číslo“. To znamená, že odčítání je speciální případ sčítání.

5) Akce pět. Maticové násobení.

Jaké matice lze násobit?

Aby se matice vynásobila maticí, tak, aby se počet sloupců matice rovnal počtu řádků matice.

Příklad:
Je možné vynásobit matici maticí?