Co je kmitočet kmitů? Oscilace. Harmonické vibrace

Harmonické kmity jsou kmity prováděné podle zákonů sinusových a kosinusových. Následující obrázek ukazuje graf změn souřadnic bodu v čase podle kosinusového zákona.

obrázek

Oscilační amplituda

Amplituda harmonického kmitání je největší hodnota vychýlení tělesa z jeho rovnovážné polohy. Amplituda může nabývat různých hodnot. Bude záležet na tom, jak moc těleso v počátečním okamžiku z rovnovážné polohy posuneme.

Amplituda je určena počátečními podmínkami, to znamená energií předanou tělu v počátečním časovém okamžiku. Protože sinus a kosinus mohou nabývat hodnot v rozsahu od -1 do 1, rovnice musí obsahovat faktor Xm, vyjadřující amplitudu oscilací. Pohybová rovnice pro harmonické vibrace:

x = Xm*cos(co0*t).

Doba oscilace

Perioda oscilace je doba potřebná k dokončení jedné kompletní oscilace. Perioda oscilace je označena písmenem T. Jednotky měření periody odpovídají jednotkám času. To znamená, že v SI jsou to sekundy.

Frekvence kmitů je počet kmitů provedených za jednotku času. Frekvence kmitání je označena písmenem ν. Frekvenci kmitání lze vyjádřit periodou kmitání.

v = 1/T.

Jednotky frekvence jsou v SI 1/sec. Tato jednotka měření se nazývá Hertz. Počet oscilací za čas 2*pi sekund bude roven:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Frekvence kmitání

Tato veličina se nazývá cyklická frekvence kmitů. V některé literatuře se objevuje název kruhová frekvence. Vlastní frekvence oscilačního systému je frekvence volných oscilací.

Frekvence vlastních kmitů se vypočítá podle vzorce:

Frekvence vlastních vibrací závisí na vlastnostech materiálu a hmotnosti břemene. Čím větší je tuhost pružiny, tím větší je frekvence jejích vlastních vibrací. Čím větší je hmotnost zátěže, tím nižší je frekvence vlastních kmitů.

Tyto dva závěry jsou zřejmé. Čím tužší pružina, tím větší zrychlení udělí tělu, když je systém vychýlen z rovnováhy. Čím větší je hmotnost tělesa, tím pomaleji se bude rychlost tohoto tělesa měnit.

Perioda volné oscilace:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Je pozoruhodné, že při malých úhlech vychýlení nebude perioda kmitání tělesa na pružině a perioda kmitání kyvadla záviset na amplitudě kmitů.

Zapišme si vzorce pro periodu a frekvenci volných kmitů pro matematické kyvadlo.

pak bude období stejné

T = 2*pi*√(l/g).

Tento vzorec bude platný pouze pro malé úhly vychýlení. Ze vzorce vidíme, že s rostoucí délkou závitu kyvadla se prodlužuje doba kmitu. Čím delší je délka, tím pomaleji bude tělo vibrovat.

Doba kmitání vůbec nezávisí na hmotnosti břemene. Záleží ale na zrychlení volného pádu. Jak se g snižuje, doba oscilace se prodlužuje. Tato vlastnost je v praxi hojně využívána. Například k měření přesné hodnoty volného zrychlení.

Při studiu této části mějte na paměti kolísání různé fyzikální povahy jsou popsány z běžných matematických pozic. Zde je nutné jasně chápat takové pojmy, jako je harmonické kmitání, fáze, fázový rozdíl, amplituda, frekvence, perioda kmitání.

Je třeba mít na paměti, že v každém skutečném oscilačním systému existuje odpor média, tzn. oscilace budou tlumeny. Pro charakterizaci tlumení kmitů je zaveden koeficient tlumení a logaritmický dekrement tlumení.

Pokud dochází k oscilacím pod vlivem vnější, periodicky se měnící síly, pak se takové oscilace nazývají vynucené. Budou netlumené. Amplituda vynucených kmitů závisí na frekvenci hnací síly. Když se frekvence vynucených kmitů blíží frekvenci vlastních kmitů, amplituda vynucených kmitů prudce roste. Tento jev se nazývá rezonance.

Když přejdete ke studiu elektromagnetických vln, musíte to jasně pochopitelektromagnetická vlnaje elektromagnetické pole šířící se vesmírem. Nejjednodušší systém vyzařující elektromagnetické vlny je elektrický dipól. Pokud dipól prochází harmonickými oscilacemi, pak vyzařuje monochromatickou vlnu.

Tabulka vzorců: oscilace a vlny

(lat. amplituda- velikost) je největší odchylka kmitajícího tělesa od jeho rovnovážné polohy.

Pro kyvadlo je to maximální vzdálenost, o kterou se kulička vzdálí od své rovnovážné polohy (obrázek níže). Pro kmity s malými amplitudami může být taková vzdálenost brána jako délka oblouku 01 nebo 02 a délky těchto segmentů.

Amplituda kmitů se měří v délkových jednotkách - metrech, centimetrech atd. Na grafu kmitání je amplituda definována jako maximální (modulo) pořadnice sinusové křivky (viz obrázek níže).

Doba oscilace.

Doba oscilace- je to nejkratší časový úsek, během kterého se oscilující systém vrátí do stejného stavu, ve kterém byl v počátečním časovém okamžiku, libovolně zvoleném.

Jinými slovy, perioda oscilace ( T) je doba, během níž dojde k jedné úplné oscilaci. Například na obrázku níže je to čas, který trvá, než se kyvadlo pohybuje z bodu nejvíce vpravo přes rovnovážný bod. O do bodu zcela vlevo a zpět bodem O opět úplně vpravo.

Během celé periody kmitání tak tělo urazí dráhu rovnající se čtyřem amplitudám. Perioda kmitání se měří v jednotkách času - sekundy, minuty atd. Periodu kmitání lze určit ze známého grafu kmitů (viz obrázek níže).

Koncepce „období kmitů“ platí přesně jen tehdy, když se hodnoty kmitající veličiny po určité době přesně opakují, tedy pro harmonické kmity. Tento koncept však platí i pro případy přibližně opakujících se veličin, například pro tlumené oscilace.

Frekvence kmitání.

Frekvence kmitání- to je počet kmitů provedených za jednotku času, např. za 1s.

Jednotka frekvence SI je pojmenována hertz(Hz) na počest německého fyzika G. Hertze (1857-1894). Pokud kmitočet oscilací ( proti) je rovný 1 Hz, to znamená, že každou sekundu dojde k jednomu kmitu. Frekvence a perioda oscilací souvisí se vztahy:

V teorii kmitů také používají pojem cyklický nebo kruhová frekvence ω . Souvisí to s normální frekvencí proti a periodu oscilace T poměry:

.

Cyklická frekvence je počet provedených kmitů za 2π sekundy

Celková energie harmonického kmitání je tedy konstantní a úměrná druhé mocnině amplitudy posuvu . To je jedna z charakteristických vlastností harmonických kmitů. Konstantní součinitel k v případě kyvadla pružiny znamená tuhost pružiny a pro matematické kyvadlo k=mgH. V obou případech je koeficient k přenášen parametry oscilačního systému.

Celková energie mechanického oscilačního systému se skládá z kinetické a potenciální energie a je rovna maximální hodnotě kterékoli z těchto dvou složek:

Celková energie vibrací je tedy přímo úměrná druhé mocnině amplitudy posunutí nebo druhé mocnině amplitudy rychlosti.

Ze vzorce:

je možné určit amplitudu x m posuvných kmitů:

Amplituda posunutí během volných oscilací je přímo úměrná druhé odmocnině energie předané oscilačnímu systému v počátečním okamžiku, kdy byl systém vyveden z rovnováhy.

Kinematika mechanických volných vibrací

1 Výtlak, rychlost, zrychlení. Pro zjištění kinematických charakteristik (posun, rychlost a zrychlení) volných kmitů použijeme zákon zachování a přeměny energie, který je pro ideální mechanický kmitavý systém zapsán následovně:

Protože derivace času φ " je konstantní, úhel φ závisí lineárně na čase:

Když to vezmeme v úvahu, můžeme napsat:

x = x m sin ω 0 t, υ = x m ω 0 cos ω 0 t

Tady je hodnota

je amplituda změny rychlosti:

υ = υ m cos ω 0 t

Závislost okamžité hodnoty zrychlení A od času t najdeme jako derivaci rychlosti υ vzhledem k času:

a = υ " = - ω 0 υ m sin ω 0 t,

a = -a m sin ω 0 t

znaménko „-“ ve výsledném vzorci udává, že znaménko průmětu vektoru zrychlení na osu, podél které dochází ke kmitání, je opačné než znaménko posunutí x.

Vidíme tedy, že s harmonickými oscilacemi se sinusově mění nejen výchylka, ale i rychlost a zrychlení. .

2 Frekvence cyklických oscilací. Veličina ω 0 se nazývá cyklická frekvence kmitů. Protože funkce sin α má ve svém argumentu α periodu 2π a harmonické kmity mají periodu T v čase, pak

Ve světě kolem nás existuje mnoho jevů a procesů, které jsou z velké části neviditelné ne proto, že neexistují, ale proto, že si jich jednoduše nevšimneme. Jsou vždy přítomné a jsou stejnou nepostřehnutelnou a obligátní podstatou věcí, bez které si jen těžko dokážeme představit náš život. Každý například ví, co je oscilace: ve své nejobecnější podobě je to odchylka od rovnovážného stavu. Dobře, vrchol věže Ostankino se odchýlil o 5 m, ale co dál? Bude to tak mrznout? Nic takového, začne se vracet zpět, proklouzne za stav rovnováhy a bude se odchylovat jiným směrem a tak dále navždy, dokud bude existovat. Řekněte mi, kolik lidí skutečně vidělo tyto docela vážné vibrace tak obrovské struktury? Každý ví, kolísá, sem a tam, sem a tam, ve dne v noci, v zimě a v létě, ale nějak... to není patrné. Důvody oscilačního procesu jsou další otázkou, ale jeho přítomnost je neoddělitelnou vlastností všech věcí.

Vše kolem kmitá: budovy, stavby, kyvadla hodin, listy na stromech, struny houslí, hladina oceánu, nohy ladičky... Mezi oscilacemi jsou chaotické, které nemají striktní opakovatelnost a cyklické, ve kterých během doby T projde kmitající těleso celou sadu svých změn a pak se tento cyklus přesně opakuje, obecně řečeno, donekonečna. Obvykle tyto změny znamenají postupné hledání prostorových souřadnic, jak lze pozorovat na příkladu oscilací kyvadla nebo stejné věže.

Počet kmitů za jednotku času se nazývá frekvence F = 1/T. Jednotka frekvence - Hz = 1/sec. Je zřejmé, že cyklická frekvence je parametrem stejnojmenných kmitů libovolného typu. V praxi je však zvykem označovat tento pojem s některými dodatky především vibracemi rotační povahy. V technologii se tak stává, že je základem většiny strojů, mechanismů a zařízení. Pro takové oscilace je jeden cyklus jedna otáčka a pak je výhodnější použít úhlové parametry pohybu. Na základě toho se rotační pohyb měří v úhlových jednotkách, tzn. jedna otáčka se rovná 2π radiánům a cyklická frekvence ῳ = 2π / T. Z tohoto výrazu je souvislost s frekvencí F snadno viditelná: ῳ = 2πF. To nám umožňuje říci, že cyklická frekvence je počet kmitů (plných otáček) za 2π sekundy.

Zdálo by se, že ne v čele, takže... Ne tak docela. Faktory 2π a 2πF se používají v mnoha rovnicích elektroniky, matematické a teoretické fyziky v úsecích, kde jsou oscilační procesy studovány pomocí konceptu cyklické frekvence. Vzorec pro rezonanční frekvenci je například redukován dvěma faktory. Pokud se ve výpočtech použije jednotka „ot/s“, úhlová, cyklická, frekvence ῳ se číselně shoduje s hodnotou frekvence F.

Vibrace jako podstata a forma existence hmoty a jejího hmotného ztělesnění – předmětů naší existence, mají v životě člověka velký význam. Znalost zákonů kmitání umožnila vytvořit moderní elektroniku, elektrotechniku ​​a mnoho moderních strojů. Kolísání bohužel ne vždy přináší pozitivní efekt, někdy přináší smutek a zkázu. Bez ohledu na vibrace, které jsou příčinou mnoha nehod, způsobují materiály a cyklická frekvence rezonančních vibrací mostů, přehrad a částí strojů vede k jejich předčasnému selhání. Studium oscilačních procesů, schopnost předvídat chování přírodních a technických objektů s cílem zabránit jejich zničení nebo selhání provozu je hlavním úkolem mnoha inženýrských aplikací a kontrola průmyslových zařízení a mechanismů na odolnost proti vibracím je povinná. prvek provozní údržby.