Стандартна форма на едночлен. Мономиална концепция

В този урок ще дадем строго определение на монома, ще разгледаме различни примери от учебника. Нека припомним правилата за умножаване на степени със същите основи. Нека дадем дефиниция на стандартната форма на монома, коефициента на монома и неговата буквена част. Нека разгледаме две основни типични действия върху мономите, а именно редукция до стандартната форма и изчисляване на конкретна числова стойност на монома за дадени стойности на неговите азбучни променливи. Нека формулираме правило за свеждане на монома до стандартна форма. Ще се научим как да решаваме типични проблеми с всякакви мономи.

Тема:Мономиали. Аритметични операции върху мономи

Урок:Концепцията за мономиал. Стандартен тип мономиум

Помислете за някои примери:

3. ;

Нека да намерим общи характеристики за горните изрази. И в трите случая изразът е продукт на числа и променливи, повдигнати до степен. Въз основа на това даваме мономиално определение : Мономът е алгебричен израз, който се състои от произведението на степени и числа.

Сега ще дадем примери за изрази, които не са мономи:

Нека открием разликата между тези изрази от предишните. Той се състои в това, че в примери 4-7 има операции на събиране, изваждане или деление, докато в примери 1-3, които са мономи, тези операции не са.

Ето още няколко примера:

Израз 8 е едночлен, тъй като е продукт на степен от число, докато пример 9 не е моном.

Сега нека разберем действия върху мономи .

1. Опростяване. Помислете за пример №3. и пример # 2 /

Във втория пример виждаме само един коефициент -всяка променлива се среща само веднъж, тоест променливата „ а"Представя се в едно копие, като" ", подобно на променливите" "и" "се срещат само веднъж.

В пример # 3, напротив, има два различни коефициента - и виждаме променливата "" два пъти - като "" и като "", по същия начин променливата "" се среща два пъти. Тоест този израз трябва да бъде опростен, така че стигаме до първото действие, извършено върху мономите, е да се намали монома до стандартната форма ... За да направим това, нека пренесем израза от Пример 3 в стандартен формуляр, след това дефинираме тази операция и ще научим как да приведем всеки мономиал в стандартна форма.

Така че, помислете за пример:

Първата стъпка в операцията по преобразуване в стандартна форма винаги е да се умножат всички числови фактори:

;

Резултатът от това действие ще бъде извикан мономиален коефициент .

След това трябва да умножите градусите. Умножаваме силите на променливата " NS"Според правилото за умножаване на степени със същите основи, което казва, че при умножаване на показателите се добавят:

сега умножаваме силите " в»:

;

И така, ето опростен израз:

;

Всеки едночлен може да бъде редуциран до стандартна форма. Нека формулираме правило за стандартизация :

Умножете всички числови фактори;

Поставете получения коефициент на първо място;

Умножете всички степени, тоест вземете буквената част;

Тоест всеки мономиум се характеризира с коефициент и буква. Гледайки напред, отбелязваме, че мономите, които имат една и съща буква, се наричат ​​подобни.

Сега трябва да тренирате техниката за намаляване на мономите до стандартна форма ... Помислете за примери от урока:

Задача: донесе монома до стандартния формуляр, назови коефициента и буквената част.

За да изпълним задачата, ще използваме правилото за свеждане на монома до стандартната форма и свойствата на градусите.

1. ;

3. ;

Коментари за първия пример: Първо, ще определим дали този израз наистина е мономиум, за това ще проверим дали съдържа операции за умножение на числа и степени и дали съдържа операции за събиране, изваждане или деление. Можем да кажем, че този израз е мономиален, тъй като горното условие е изпълнено. Освен това, според правилото за редуциране на монома до стандартната форма, умножаваме числовите фактори:

- намерихме коефициента на даден моном;

; ; ; тоест буквалната част на израза се получава:;

запишете отговора :;

Коментари за втория пример: Следвайки правилото, ние изпълняваме:

1) умножете числовите фактори:

2) умножете правомощията:

Променливите са представени в едно копие, тоест не могат да се умножават с нищо, те се пренаписват без промени, степента се умножава:

Нека запишем отговора:

;

V този примеркоефициентът на монома е равен на единица, а азбучната част.

Коментари към третия пример: аОт данъчна гледна точка на предишните примери, ние извършваме действията:

1) умножете числовите фактори:

;

2) умножете правомощията:

;

напишете отговора :;

В този случай коефициентът на монома е "", а буквената част .

Сега помислете втората стандартна операция върху мономи ... Тъй като мономът е алгебричен израз, състоящ се от буквални променливи, които могат да приемат конкретни числови стойности, имаме аритметичен числов израз, който трябва да бъде изчислен. Тоест следващата операция върху полиноми е изчисляване на тяхната специфична числена стойност .

Нека разгледаме един пример. Дава се едночлен:

този моном вече е редуциран до стандартната форма, коефициентът му е равен на единица и азбучната част

По -рано казахме, че алгебричен израз не винаги може да бъде изчислен, тоест променливите, които са включени в него, не могат да приемат никаква стойност. В случай на мономиум, променливите, включени в него, могат да бъдат всякакви, това е характеристика на монома.

Така че в дадения пример е необходимо да се изчисли стойността на монома при ,,,.

Първоначалната информация за мономите съдържа пояснение, че всеки моном може да бъде редуциран до стандартна форма. В материала по -долу ще разгледаме този въпрос по -подробно: ще определим смисъла на това действие, ще определим стъпките, които ви позволяват да зададете стандартната форма на мономиума, а също и да консолидирате теорията чрез решаване на примери.

Стойността на преобразуване на монома в стандартна форма

Писането на монома в стандартна форма прави по -удобно да работите с него. Мономите често се дават в нестандартна форма и тогава се налага да се извършат идентични трансформации, за да се приведе даден моном в стандартна форма.

Определение 1

Редукция на монома до стандартна формаИзпълнението на подходящи действия (идентични трансформации) с мономиум, за да се запише в стандартна форма.

Метод за редуциране на едночлен до стандартна форма

От дефиницията следва, че нестандартният моном е произведение на числа, променливи и техните степени, докато тяхното повторение е възможно. На свой ред мономът на стандартната форма съдържа в своя запис само едно число и неповтарящи се променливи или техните степени.

За да въведете нестандартно монома в стандартна форма, трябва да използвате следното правило за свеждане на монома до стандартна форма:

• първата стъпка е да се групират числовите фактори, същите променливи и техните степени;
• втората стъпка е да се изчислят произведенията на числата и да се приложи свойството на степени със същите основи.

Примери и решения

Даден е моном 3 x 2 x 2 . Необходимо е да го приведете в стандартната форма.

Решение

Нека групираме числовите фактори и множители с променливата x, в резултат на което дадения моном ще приеме формата: (3 2) (x x 2) .

Продуктът в скоби е 6. Прилагайки правилото за умножаване на степени със същите бази, ние представяме израза в скоби като: x 1 + 2 = x 3... В резултат на това получаваме мономал от стандартната форма: 6 · x 3.

Обобщение на решението изглежда така: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.

Отговор: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Пример 2

Даден е моном: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b. Необходимо е да го доведете до стандартен формуляр и да посочите неговия коефициент.

Решение

даден моном има един числов фактор в нотацията си: - 1, ние го изпълняваме до началото. След това ще групираме факторите с променлива a и фактори с променлива b. Няма с какво да групирате променливата m, оставяме я в първоначалната й форма. В резултат на изброените действия получаваме: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.

Изпълняваме действия със степента в скоби, тогава монома ще приеме стандартния вид: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m. От този запис можем лесно да определим коефициента на монома: той е равен на - 1. Напълно възможно е да замените минус единицата със знак минус: ( - 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.

Обобщение на всички действия изглежда така:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

Отговор:

a 5 b 2 a m ( - 1) a 2 b = - a 8 b 3 m, коефициентът на дадения моном е - 1.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

В математиката има много различни математически изрази и някои от тях имат свои собствени фиксирани имена. Трябва да се запознаем с едно от тези понятия - то е мономиал.

Мономът е математически израз, който се състои от произведение от числа, променливи, всяка от които може да бъде включена в продукта до известна степен. За да разберете по -добре новата концепция, трябва да се запознаете с няколко примера.

Примери за мономи

Изрази 4, x ^ 2, -3 * a ^ 4, 0.7 * c, ¾ * y ^ 2 са мономи.Както можете да видите, само едно число или променлива (с мощност или без) също е мономиал. Но например изразите 2 + c, 3 * (y ^ 2) / x, a ^ 2 –x ^ 2 вече са не са мономитъй като те не отговарят на определението. В първия израз се използва „сума“, което е неприемливо, във втория - „разделяне“, в третия - разликата.

Обмисли още няколко примера.

Например изразът 2 * a ^ 3 * b / 3 също е мономиал, въпреки че има деление. Но в този случай разделянето се извършва с число и следователно съответният израз може да бъде преписан по следния начин: 2/3 * a ^ 3 * b. Още един пример:кое от изразите 2 / x и x / 2 е мономиално и кое не? верният отговор е, че първият израз не е мономиум, но вторият е моном.

Стандартен тип мономиум

Погледнете следните два мономиални израза: ¾ * a ^ 2 * b ^ 3 и 3 * a * 1/4 * b ^ 3 * a. Всъщност това са два еднакви монома. Не е ли вярно, че първият израз изглежда по -удобен от втория?

Причината за това е, че първият израз е написан в стандартна форма. Стандартната форма на полином е продукт, съставен от числов фактор и степени на различни променливи. Численият фактор се нарича коефициент на монома.

За да се приведе монома в стандартната му форма, е достатъчно да се умножат всички числени фактори, присъстващи в монома, и да се получи полученото число на първо място. След това умножете всички степени, които имат една и съща основна буква.

Редукция на монома до стандартната му форма

Ако в нашия пример, във втория израз, умножим всички числови множители 3 * 1/4 и след това умножим a * a, тогава получаваме първия моном. Това действие се нарича редуциране на монома до стандартната му форма.

Ако два монома се различават само по числов коефициент или са равни помежду си, тогава такива мономи се наричат ​​подобни в математиката.

Мономиалное израз, който е продукт на два или повече фактора, всеки от които е число, изразено с буква, цифри или степен (с неотрицателен цялостен показател):

2а, а 3 х, 4abc, -7х

Тъй като произведението на едни и същи фактори може да бъде записано под формата на степен, тогава отделно взетата степен (с неотрицателен целочислен показател) също е моном:

(-4) 3 , х 5 ,

Тъй като число (цяло или дробно), изразено с буква или цифри, може да бъде записано като произведение на това число от едно, тогава всяко отделно взето число може да се разглежда и като моном:

х, 16, -а,

Стандартен тип мономиум

Стандартен тип мономиуме едночлен само с един цифров фактор, който трябва да бъде записан на първо място. Всички променливи са в азбучен ред и се съдържат в монома само веднъж.

Числата, променливите и степента на променливите също се отнасят до мономи на стандартната форма:

7, б, х 3 , -5б 3 z 2 - мономи от стандартен тип.

Числовият фактор на монома от стандартната форма се нарича мономиален коефициент... Мономиалните коефициенти, равни на 1 и -1, обикновено не се записват.

Ако няма числов фактор в монома на стандартната форма, тогава се приема, че коефициентът на монома е 1:

х 3 = 1 х 3

Ако в моном със стандартна форма няма числов коефициент и пред него има знак минус, тогава се приема, че коефициентът на монома е -1:

-х 3 = -1 х 3

Редукция на монома до стандартна форма

За да въведете монома в стандартна форма, трябва:

1. Множествени числени фактори, ако има няколко. Повишете числов коефициент до степен, ако има степен. Първо поставете числов коефициент.
2. Умножете всички едни и същи променливи, така че всяка променлива да се появи в мономиума само веднъж.
3. Подредете променливите след числов фактор в азбучен ред.

Пример.Представете монома в стандартната му форма:

а) 3 yx 2 (-2) y 5 х; б) 6 пр.н.е. 0,5 ab 3

Решение:

а) 3 yx 2 (-2) y 5 х= 3 (-2) х 2 хyy 5 = -6х 3 y 6
б) 6 пр.н.е. 0,5 ab 3 = 6 0,5 abб 3 ° С = 3ab 4 ° С

Мономиална степен

Мономиална степене сумата от показателите на всички букви, включени в него.

Ако едночленът е число, тоест не съдържа променливи, тогава неговата степен се счита за равна на нула. Например:

5, -7, 21 - мономи с нулева степен.

Следователно, за да се намери степента на монома, е необходимо да се определи степента на всяка от буквите, включени в него, и да се добавят тези показатели. Ако степенният показател не е посочен, той е равен на единица.

Примери:

Е, как си хпоказателят не е посочен, така че е равен на 1. Мономът не съдържа други променливи, така че степента му е 1.

Мономът съдържа само една променлива във втората степен, така че степента на този моном е 2.

3) ab 3 ° С 2 д

Индекс ае равно на 1, степен б- 3, индикатор ° С- 2, индикатор д- 1. Степента на даден моном е равна на сумата от тези показатели.

Мономите са произведения на числа, променливи и техните степени. Числата, променливите и техните степени също се считат за мономи. Например: 12ac, -33, a ^ 2b, a, c ^ 9. Мономът 5aa2b2b може да бъде редуциран до формата 20a ^ 2b ^ 2. Тази форма се нарича стандартна форма на монома.Тоест стандартната форма на монома е произведение на коефициента (на първо място) и градусите на променливите. Коефициентите 1 и -1 не се записват, но запазват минус от -1. Monomial и неговата стандартна форма

Изразите 5a2x, 2a3 (-3) x2, b2x са произведения на числа, променливи и техните степени. Такива изрази се наричат ​​мономиали. Мономите също се считат за числа, променливи и техните степени.

Например изрази - 8, 35, y и y2 - са мономи.

Стандартната форма на монома е моном под формата на произведението на числов фактор на първо място и степени на различни променливи. Всеки едночлен може да бъде редуциран до стандартна форма чрез умножаване на всички променливи и числа, включени в него. Ето един пример за намаляване на монома до стандартна форма:

4x2y4 (-5) yx3 = 4 (-5) x2x3y4y = -20x5y5

Численият фактор на монома, записан в стандартна форма, се нарича коефициент на монома. Например коефициентът на монома -7x2y2 е -7. Коефициентите на мономите x3 и -xy се считат за равни на 1 и -1, тъй като x3 = 1x3 и -xy = -1xy

Степента на монома е сумата от показателите на всички променливи, включени в него. Ако едночленът не съдържа променливи, тоест той е число, тогава неговата степен се счита за равна на нула.

Например степента на монома 8x3yz2 е 6, монома 6x е 1, монома -10 е 0.

Умножение на мономите. Експоненциране на мономи

При умножаване на мономи и повишаване на мономи до степен се използват правилото за умножаване на степени със същата основа и правилото за повишаване на степента към степен. В този случай се получава едночлен, който обикновено се представя в стандартна форма.

Например

4x3y2 (-3) x2y = 4 (-3) x3x2y2y = -12x5y3

((-5) x3y2) 3 = (-5) 3x3 * 3y2 * 3 = -125x9y6