Integralet kryesore që duhet të dijë çdo nxënës

Integralet e renditura janë baza, baza e themeleve. Këto formula, natyrisht, duhet të mbahen mend. Kur llogaritni integrale më komplekse, do t'ju duhet t'i përdorni vazhdimisht.

Kushtojini vëmendje të veçantë formulave (5), (7), (9), (12), (13), (17) dhe (19). Mos harroni të shtoni një konstante arbitrare C në përgjigje kur integroni!

Integral i një konstante

Integrimi i funksionit të fuqisë

Në fakt, dikush mund të kufizohet në formulat (5) dhe (7), por pjesa tjetër e integraleve nga ky grup janë aq të zakonshme sa ia vlen t'u kushtohet pak vëmendje.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale të funksionit eksponencial dhe të funksioneve hiperbolike

Sigurisht, formula (8) (ndoshta më e përshtatshme për t'u mbajtur mend) mund të konsiderohet si një rast i veçantë i formulës (9). Formulat (10) dhe (11) për integralet e sinusit hiperbolik dhe kosinusit hiperbolik rrjedhin lehtësisht nga formula (8), por është më mirë të mbani mend këto marrëdhënie.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integralet bazë të funksioneve trigonometrike

Një gabim që nxënësit bëjnë shpesh: ngatërrojnë shenjat në formulat (12) dhe (13). Duke kujtuar se derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin, për disa arsye shumë njerëz besojnë se integrali i funksionit sinx është i barabartë me cosx. Kjo nuk eshte e vertete! Integrali i sinusit është "minus kosinus", por integrali i cosx është "vetëm sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integralet reduktuese në funksione trigonometrike të anasjellta

Formula (16), e cila çon në tangjenten e harkut, është natyrisht një rast i veçantë i formulës (17) për a=1. Në mënyrë të ngjashme, (18) është një rast i veçantë i (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = harku x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = harksin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrale më komplekse

Këto formula janë gjithashtu të dëshirueshme për t'u mbajtur mend. Ato përdoren gjithashtu mjaft shpesh, dhe prodhimi i tyre është mjaft i lodhshëm.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 hark x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Rregullat e përgjithshme të integrimit

1) Integrali i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e integraleve përkatëse: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrali i ndryshimit të dy funksioneve është i barabartë me diferencën e integraleve përkatëse: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Konstanta mund të hiqet nga shenja integrale: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Është e lehtë të shihet se vetia (26) është thjesht një kombinim i vetive (25) dhe (27).

4) Integrali i një funksioni kompleks nëse funksioni i brendshëm është linear: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Këtu F(x) është antiderivativ për funksionin f(x). Vini re se kjo formulë funksionon vetëm kur funksioni i brendshëm është Ax + B.

E rëndësishme: nuk ka asnjë formulë universale për integralin e produktit të dy funksioneve, si dhe për integralin e një fraksioni:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (tridhjetë)

Kjo nuk do të thotë, natyrisht, se një fraksion ose një produkt nuk mund të integrohet. Thjesht sa herë që shihni një integral si (30), duhet të shpikni një mënyrë për të "luftuar" me të. Në disa raste, integrimi sipas pjesëve do t'ju ndihmojë, diku do t'ju duhet të bëni një ndryshim të ndryshores dhe ndonjëherë mund të ndihmojnë edhe formula "shkollore" të algjebrës ose trigonometrisë.

Një shembull i thjeshtë për llogaritjen e integralit të pacaktuar

Ne përdorim formulat (25) dhe (26) (integrali i shumës ose ndryshimit të funksioneve është i barabartë me shumën ose ndryshimin e integraleve përkatëse. Marrim: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx − ∫ 7 exdx + ∫ 12 dx

Kujtojmë se konstanta mund të hiqet nga shenja integrale (formula (27)). Shprehja shndërrohet në formë

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​d x + 12 ∫ 1 d x

Tani le të përdorim vetëm tabelën e integraleve bazë. Do të na duhet të aplikojmë formulat (3), (12), (8) dhe (1). Le të integrojmë funksionin e fuqisë, sinusin, eksponentin dhe konstanten 1. Mos harroni të shtoni një konstante arbitrare C në fund:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Pas transformimeve elementare, marrim përgjigjen përfundimtare:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Provoni veten me diferencim: merrni derivatin e funksionit që rezulton dhe sigurohuni që ai të jetë i barabartë me integrandin origjinal.

Tabela përmbledhëse e integraleve

Shkarkoni tabelën e integraleve (pjesa II) nga ky link

Nëse studioni në një universitet, nëse keni ndonjë vështirësi me matematikën e lartë (analizë matematikore, algjebër lineare, teoria e probabilitetit, statistika), nëse keni nevojë për shërbimet e një mësuesi të kualifikuar, shkoni në faqen e një tutori në matematikën e lartë. Le t'i zgjidhim problemet tuaja së bashku!

Ju gjithashtu mund të jeni të interesuar

Integrale komplekse

Ky artikull plotëson temën e integraleve të pacaktuara dhe përfshin integrale që unë i konsideroj mjaft të vështira. Mësimi u krijua me kërkesë të përsëritur të vizitorëve të cilët shprehën dëshirën e tyre që shembuj më të vështirë të analizohen në faqe.

Supozohet se lexuesi i këtij teksti është i përgatitur mirë dhe di të zbatojë teknikat bazë të integrimit. Dummies dhe njerëzit që nuk janë shumë të sigurt në integrale duhet t'i referohen mësimit të parë - Integrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh ku mund ta mësoni temën pothuajse nga e para. Studentët më me përvojë mund të njihen me teknikat dhe metodat e integrimit, të cilat nuk janë hasur ende në artikujt e mi.

Cilat integrale do të merren parasysh?

Së pari, konsiderojmë integrale me rrënjë, për zgjidhjen e të cilave përdorim me radhë zëvendësimi i ndryshueshëm dhe integrimi sipas pjesëve. Kjo do të thotë, në një shembull, dy metoda kombinohen menjëherë. Dhe akoma më shumë.

Pastaj do të njihemi me një interesante dhe origjinale metoda e reduktimit të integralit në vetvete. Jo aq pak integrale zgjidhen në këtë mënyrë.

Numri i tretë i programit do të jetë integrale të fraksioneve komplekse, të cilat kaluan para arkës në artikujt e mëparshëm.

Së katërti, do të analizohen integrale shtesë nga funksionet trigonometrike. Në veçanti, ka metoda që shmangin zëvendësimin universal trigonometrik që kërkon shumë kohë.

(2) Në integrand, ne e ndajmë numëruesin me emëruesin term me term.

(3) Ne përdorim vetinë e linearitetit të integralit të pacaktuar. Në integralin e fundit, menjëherë sillni funksionin nën shenjën e diferencialit.

(4) Marrim integralet e mbetura. Vini re se mund të përdorni kllapa në logaritëm dhe jo modulin, sepse .

(5) Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt, duke u shprehur nga zëvendësimi i drejtpërdrejtë "te":

Studentët mazokistë mund të dallojnë përgjigjen dhe të marrin integrandin origjinal, siç bëra unë. Jo, jo, e bëra kontrollin në kuptimin e duhur =)

Siç mund ta shihni, gjatë zgjidhjes, duheshin përdorur edhe më shumë se dy metoda zgjidhjeje, kështu që për t'u marrë me integrale të tilla, ju nevojiten aftësi të sigurta integruese dhe jo më pak përvojë.

Në praktikë, natyrisht, rrënja katrore është më e zakonshme, këtu janë tre shembuj për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar

Këta shembuj janë të të njëjtit lloj, kështu që zgjidhja e plotë në fund të artikullit do të jetë vetëm për Shembullin 2, në Shembujt 3-4 - një përgjigje. Cili zëvendësim të përdoret në fillim të vendimeve, mendoj se është i qartë. Pse zgjodha të njëjtin lloj shembujsh? Gjendet shpesh në rolet e tyre. Më shpesh, ndoshta, diçka e tillë .

Por jo gjithmonë, kur rrënja e një funksioni linear është nën tangjentën e harkut, sinusin, kosinusin, eksponentin dhe funksione të tjera, duhet të zbatohen disa metoda njëherësh. Në një numër rastesh, është e mundur të "zbrisni lehtë", domethënë, menjëherë pas zëvendësimit, merret një integral i thjeshtë, i cili merret në mënyrë elementare. Më e lehtë nga detyrat e propozuara më sipër është Shembulli 4, në të cilin, pas zëvendësimit, fitohet një integral relativisht i thjeshtë.

Metoda e reduktimit të integralit në vetvete

Metoda e zgjuar dhe e bukur. Le të hedhim një vështrim në klasikët e zhanrit:

Shembulli 5

Gjeni integralin e pacaktuar

Ka një binom katror nën rrënjë, dhe kur përpiqeni të integroni këtë shembull, çaji mund të vuajë për orë të tëra. Një integral i tillë merret nga pjesët dhe zvogëlohet në vetvete. Në parim, nuk është e vështirë. Nëse e dini se si.

Le të shënojmë integralin e konsideruar me një shkronjë latine dhe të fillojmë zgjidhjen:

Integrimi sipas pjesëve:

(1) Ne përgatisim integranin për ndarje term pas termi.

(2) E ndajmë termin e integrandit me term. Ndoshta jo të gjithë e kuptojnë, unë do të shkruaj më në detaje:

(3) Ne përdorim vetinë e linearitetit të integralit të pacaktuar.

(4) Marrim integralin e fundit (logaritmi "i gjatë").

Tani le të shohim fillimin e zgjidhjes:

Dhe për fundin:

Cfare ndodhi? Si rezultat i manipulimeve tona, integrali është reduktuar në vetvete!

Barazoni fillimin dhe fundin:

Ne transferojmë në anën e majtë me një ndryshim të shenjës:

Dhe ne e shkatërrojmë deuce në anën e djathtë. Si rezultat:

Konstantja, në mënyrë rigoroze, duhej të ishte shtuar më herët, por e shtova në fund. Unë rekomandoj fuqimisht të lexoni se cila është ashpërsia këtu:

Shënim: Më rreptësisht, faza përfundimtare e zgjidhjes duket si kjo:

Në këtë mënyrë:

Konstanta mund të riemërtohet me . Pse mund të riemërtoni? Sepse duhet ende ndonjë vlerat, dhe në këtë kuptim nuk ka dallim ndërmjet konstanteve dhe.
Si rezultat:

Një truk i ngjashëm me riemërtim të vazhdueshëm përdoret gjerësisht në ekuacionet diferenciale. Dhe atje do të jem i rreptë. Dhe këtu liri të tilla lejohen nga unë vetëm për të mos ju ngatërruar me gjëra të panevojshme dhe për t'u fokusuar në vetë metodën e integrimit.

Shembulli 6

Gjeni integralin e pacaktuar

Një tjetër integral tipik për zgjidhje të pavarur. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Dallimi me përgjigjen e shembullit të mëparshëm do të jetë!

Nëse ka një trinom katror nën rrënjën katrore, atëherë zgjidhja në çdo rast reduktohet në dy shembujt e analizuar.

Për shembull, merrni parasysh integralin . E tëra çfarë ju duhet të bëni është paraprakisht zgjidhni një katror të plotë:
.
Më pas, kryhet një zëvendësim linear, i cili menaxhon "pa asnjë pasojë":
, duke rezultuar në një integrale . Diçka e njohur, apo jo?

Ose ky shembull, me një binom katror:
Zgjedhja e një katrori të plotë:
Dhe, pas një zëvendësimi linear, marrim integralin, i cili gjithashtu zgjidhet nga algoritmi tashmë i konsideruar.

Konsideroni dy shembuj më tipikë se si të reduktoni një integral në vetvete:
është integrali i eksponentit i shumëzuar me sinusin;
është integrali i eksponentit i shumëzuar me kosinusin.

Në integralet e listuara sipas pjesëve, do t'ju duhet të integroni dy herë tashmë:

Shembulli 7

Gjeni integralin e pacaktuar

Integrandi është eksponenti i shumëzuar me sinusin.

Ne integrojmë me pjesë dy herë dhe e zvogëlojmë integralin në vetvete:

Si rezultat i integrimit të dyfishtë nga pjesët, integrali reduktohet në vetvete. Barazoni fillimin dhe fundin e zgjidhjes:

Ne kalojmë në anën e majtë me një ndryshim të shenjës dhe shprehim integralin tonë:

Gati. Gjatë rrugës, është e dëshirueshme të krehni anën e djathtë, d.m.th. hiqni eksponentin nga kllapat dhe vendosni sinusin dhe kosinusin në kllapa në një rend "të bukur".

Tani le të kthehemi në fillim të shembullit, ose më mirë, te integrimi sipas pjesëve:

Sepse ne kemi caktuar ekspozuesin. Shtrohet pyetja, është eksponenti që duhet të shënohet gjithmonë me ? Jo e nevojshme. Në fakt, në integralin e konsideruar në thelb pa dallim, çfarë të shënoni, mund të shkoni në anën tjetër:

Pse është e mundur kjo? Për shkak se eksponenti kthehet në vetvete (kur diferencohet dhe integrohet), sinusi dhe kosinusi kthehen reciprokisht në njëri-tjetrin (përsëri, si kur diferencohen ashtu edhe kur integrohen).

Domethënë, funksioni trigonometrik mund të shënohet gjithashtu. Por, në shembullin e konsideruar, kjo është më pak racionale, pasi do të shfaqen fraksione. Nëse dëshironi, mund të përpiqeni ta zgjidhni këtë shembull në mënyrën e dytë, përgjigjet duhet të jenë të njëjta.

Shembulli 8

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull bëjeni vetë. Para se të vendosni, mendoni se çfarë është më fitimprurëse në këtë rast për të përcaktuar, funksioni eksponencial apo trigonometrik? Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Dhe, sigurisht, mos harroni se shumica e përgjigjeve në këtë mësim janë mjaft të lehta për t'u kontrolluar me diferencim!

Shembujt u konsideruan jo më të vështirat. Në praktikë, integralet janë më të zakonshëm, ku konstanta është edhe në eksponent edhe në argumentin e funksionit trigonometrik, për shembull: . Shumë njerëz do të duhet të ngatërrohen në një integral të tillë, dhe unë vetë shpesh ngatërrohem. Fakti është se në zgjidhje ekziston një probabilitet i lartë i shfaqjes së fraksioneve, dhe është shumë e lehtë të humbasësh diçka për shkak të pavëmendjes. Përveç kësaj, ekziston një probabilitet i lartë i gabimit në shenja, vini re se ka një shenjë minus në eksponent, dhe kjo sjell vështirësi shtesë.

Në fazën përfundimtare, shpesh rezulton diçka e tillë:

Edhe në fund të zgjidhjes, duhet të jeni jashtëzakonisht të kujdesshëm dhe të merreni saktë me fraksionet:

Integrimi i thyesave komplekse

Dalëngadalë po i afrohemi ekuatorit të mësimit dhe fillojmë të shqyrtojmë integrale të thyesave. Përsëri, jo të gjitha janë super komplekse, vetëm për një arsye ose një tjetër, shembujt ishin pak "jashtë temës" në artikuj të tjerë.

Vazhdimi i temës së rrënjëve

Shembulli 9

Gjeni integralin e pacaktuar

Në emëruesin nën rrënjë ka një trinom katror plus jashtë rrënjës "shtojcë" në formën e "x". Një integral i kësaj forme zgjidhet duke përdorur një zëvendësim standard.

Ne vendosim:

Zëvendësimi këtu është i thjeshtë:

Shikimi i jetës pas zëvendësimit:

(1) Pas zëvendësimit, ne i reduktojmë termat nën rrënjë në një emërues të përbashkët.
(2) E nxjerrim nga poshtë rrënjës.
(3) Ne e zvogëlojmë numëruesin dhe emëruesin me . Në të njëjtën kohë, nën rrënjë, unë i riorganizova termat në një mënyrë të përshtatshme. Me pak përvojë, hapat (1), (2) mund të anashkalohen duke kryer veprimet e komentuara me gojë.
(4) Integrali që rezulton, siç e mbani mend nga mësimi Integrimi i disa thyesave, është zgjidhur metoda e përzgjedhjes së katrorit të plotë. Zgjidhni një katror të plotë.
(5) Me integrim, marrim një logaritëm të zakonshëm "të gjatë".
(6) Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt. Nëse fillimisht , atëherë kthehuni: .
(7) Veprimi përfundimtar ka për qëllim rregullimin e rezultatit: nën rrënjë, ne përsëri i sjellim termat në një emërues të përbashkët dhe i nxjerrim nga poshtë rrënjës.

Shembulli 10

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull bëjeni vetë. Këtu, një konstante i shtohet vetëm x, dhe zëvendësimi është pothuajse i njëjtë:

E vetmja gjë që duhet bërë shtesë është të shprehni "x" nga zëvendësimi:

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Ndonjëherë në një integral të tillë mund të ketë një binom katror nën rrënjë, kjo nuk e ndryshon mënyrën e zgjidhjes së zgjidhjes, madje do të jetë edhe më e thjeshtë. Ndjeje ndryshimin:

Shembulli 11

Gjeni integralin e pacaktuar

Shembulli 12

Gjeni integralin e pacaktuar

Zgjidhje dhe përgjigje të shkurtra në fund të orës së mësimit. Duhet të theksohet se Shembulli 11 është saktësisht integrali binom, metoda e zgjidhjes së së cilës u shqyrtua në mësim Integrale të funksioneve irracionale.

Integral i një polinomi të pazbërthyeshëm të shkallës së 2-të në shkallë

(polinom në emërues)

Një formë më e rrallë, por, megjithatë, e ndodhur në shembuj praktikë të integralit.

Shembulli 13

Gjeni integralin e pacaktuar

Por le të kthehemi te shembulli me numrin me fat 13 (sinqerisht, nuk e mora me mend). Ky integral është gjithashtu nga kategoria e atyre me të cilët mund të vuash goxha nëse nuk di të zgjidhësh.

Zgjidhja fillon me një transformim artificial:

Unë mendoj se të gjithë tashmë e kuptojnë se si ta ndajnë numëruesin me emëruesin term pas termi.

Integrali që rezulton merret në pjesë:

Për një integral të formës ( është një numër natyror), kemi nxjerrë të përsëritura formula e uljes:
, ku është një integral i një shkalle më të ulët.

Le të verifikojmë vlefshmërinë e kësaj formule për integralin e zgjidhur.
Në këtë rast: , , ne përdorim formulën:

Siç mund ta shihni, përgjigjet janë të njëjta.

Shembulli 14

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull bëjeni vetë. Zgjidhja e mostrës përdor formulën e mësipërme dy herë radhazi.

Nëse nën diplomën është i pazbërthyeshëm trinomi katror, ​​atëherë zgjidhja reduktohet në një binom duke nxjerrë katrorin e plotë, për shembull:

Po sikur të ketë një polinom shtesë në numërues? Në këtë rast, përdoret metoda e koeficientëve të papërcaktuar, dhe integrandi zgjerohet në një shumë fraksionesh. Por në praktikën time një shembull të tillë nuk u takuan kurrë, kështu që e anashkala këtë rast në artikull Integrale të një funksioni thyesor-racional, do ta kaloj tani. Nëse një integral i tillë ende ndodh, shihni tekstin shkollor - gjithçka është e thjeshtë atje. Nuk e konsideroj të arsyeshme përfshirjen e materialit (qoftë të thjeshtë), probabiliteti i takimit me të cilin priret në zero.

Integrimi i funksioneve komplekse trigonometrike

Mbiemri "i vështirë" për shumicën e shembujve është përsëri kryesisht i kushtëzuar. Le të fillojmë me tangjentet dhe kotangjentet në fuqi të larta. Nga pikëpamja e metodave të përdorura për zgjidhjen e tangjentës dhe kotangjentës janë pothuajse të njëjta, kështu që unë do të flas më shumë për tangjenten, që do të thotë se metoda e demonstruar e zgjidhjes së integralit vlen edhe për kotangjenten.

Në mësimin e mësipërm, ne shikuam zëvendësimi universal trigonometrik për zgjidhjen e një lloji të caktuar integralesh të funksioneve trigonometrike. Disavantazhi i zëvendësimit universal trigonometrik është se aplikimi i tij shpesh çon në integrale të rënda me llogaritje të vështira. Dhe në disa raste, zëvendësimi universal trigonometrik mund të shmanget!

Shqyrtoni një shembull tjetër kanonik, integralin e unitetit të ndarë me sinusin:

Shembulli 17

Gjeni integralin e pacaktuar

Këtu mund të përdorni zëvendësimin universal trigonometrik dhe të merrni përgjigjen, por ekziston një mënyrë më racionale. Unë do të jap një zgjidhje të plotë me komente për çdo hap:

(1) Ne përdorim formulën trigonometrike për sinusin e një këndi të dyfishtë.
(2) Kryejmë një transformim artificial: Në emërues pjesëtojmë dhe shumëzojmë me .
(3) Sipas formulës së njohur në emërues, thyesën e kthejmë në tangjente.
(4) E sjellim funksionin nën shenjën e diferencialit.
(5) Marrim integralin.

Disa shembuj të thjeshtë për t'i zgjidhur vetë:

Shembulli 18

Gjeni integralin e pacaktuar

Këshillë: Hapi i parë është përdorimi i formulës së reduktimit dhe kryeni me kujdes veprime të ngjashme me shembullin e mëparshëm.

Shembulli 19

Gjeni integralin e pacaktuar

Epo, ky është një shembull shumë i thjeshtë.

Plotësoni zgjidhjet dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit.

Unë mendoj se tani askush nuk do të ketë probleme me integralet:
etj.

Cila është ideja pas metodës? Ideja është që të përdoren transformimet, formulat trigonometrike për të organizuar vetëm tangjentet dhe derivatin e tangjentes në integrand. Kjo do të thotë, ne po flasim për zëvendësimin: . Në Shembujt 17-19, ne në fakt përdorëm këtë zëvendësim, por integralet ishin aq të thjeshta sa u bë me një veprim ekuivalent - duke e sjellë funksionin nën shenjën diferenciale.

Arsyetim i ngjashëm, siç e kam përmendur tashmë, mund të kryhet për kotangjentën.

Ekziston gjithashtu një parakusht formal për aplikimin e zëvendësimit të mësipërm:

Shuma e fuqive të kosinusit dhe sinusit është një numër i plotë negativ BES, Për shembull:

për një numër integral, një numër i plotë negativ EVEN.

! shënim : nëse integrandi përmban VETËM një sinus ose VETËM një kosinus, atëherë integrali merret çift me një shkallë negative tek (rastet më të thjeshta janë në shembujt nr. 17, 18).

Merrni parasysh disa detyra më domethënëse për këtë rregull:

Shembulli 20

Gjeni integralin e pacaktuar

Shuma e shkallëve të sinusit dhe kosinusit: 2 - 6 \u003d -4 - një numër i plotë negativ EVEN, që do të thotë se integrali mund të reduktohet në tangjente dhe derivatin e tij:

(1) Le të transformojmë emëruesin.
(2) Sipas formulës së njohur, marrim .
(3) Le të transformojmë emëruesin.
(4) Ne përdorim formulën .
(5) Funksionin e sjellim nën shenjën diferenciale.
(6) Ne kryejmë zëvendësimin. Studentët më me përvojë mund të mos e kryejnë zëvendësimin, por prapëseprapë është më mirë të zëvendësohet tangjentja me një shkronjë - ka më pak rrezik për konfuzion.

Shembulli 21

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull bëjeni vetë.

Prisni, raundet e kampionatit fillojnë =)

Shpesh në integrand ekziston një "hodgepodge":

Shembulli 22

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky integral fillimisht përmban një tangjente, e cila sugjeron menjëherë një mendim tashmë të njohur:

Transformimin artificial do ta lë në fillim dhe pjesën tjetër të hapave pa koment, pasi gjithçka është thënë tashmë më lart.

Disa shembuj krijues për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 23

Gjeni integralin e pacaktuar

Shembulli 24

Gjeni integralin e pacaktuar

Po, në to, natyrisht, ju mund të ulni shkallët e sinusit, kosinusit, të përdorni zëvendësimin universal trigonometrik, por zgjidhja do të jetë shumë më efikase dhe më e shkurtër nëse tërhiqet përmes tangjenteve. Zgjidhja e plotë dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit