Množenje matrike s številom: primeri, lastnosti, pomen. Množenje matrike s številom Na spletu poiščite zmnožek realnega števila z matriko

Da bi matriko A pomnožili s poljubnim številom α, potrebujemo elemente matrike A pomnožimo s številom α, tj. produkt matrike in števila bo naslednji:

Primer 1 Poiščite matrico 3 A za matrico

Odločitev. V skladu z definicijo pomnožimo elemente matrike A do 3 in dobite

To je bil zelo preprost primer množenja matrike s številom s celimi števili. Tudi naprej preprosti primeri, ampak že tiste, kjer so med faktorji in elementi matrik ulomki, spremenljivke (črkovne oznake), ker zakoni množenja ne veljajo samo za cela števila, zato jih nikoli ni škodljivo ponavljati.

Primer 2 A s številom α, če
, .

A z α, ne pozabite, da se pri množenju ulomkov števec prvega ulomka pomnoži s števcem prvega ulomka in zmnožek se zapiše v števec, imenovalec prvega ulomka pa se pomnoži z imenovalcem drugega ulomka in zmnožek zapišemo v imenovalec. Po prejemu drugega elementa prve vrstice nove matrike se je nastali ulomek zmanjšal za 2, to je treba storiti. Dobimo

Primer 3 Izvedite operacijo množenja matrik A s številom α, če
, .

Odločitev. Pomnožite elemente matrike A na α, ne da bi se zmešali v označbah črk, ne pozabili pustiti minusa pred drugim elementom druge vrstice nove matrike in se spomniti, da je rezultat množenja števila z njegovo recipročno vrednost ena (prvi element tretje vrstice). Dobimo

Primer 4 Izvedite operacijo množenja matrik A s številom α, če
, .

Odločitev. Spomnimo se, da se pri množenju števila v potencu s številom v potencu eksponenti seštejejo. Dobimo

Ta primer med drugim jasno dokazuje, da je operacije množenja matrike s številom mogoče brati (in zapisovati) v obratnem vrstnem redu in se imenuje postavljanje konstantnega faktorja pred matriko.

V kombinaciji z seštevanje in odštevanje matrik operacija množenja matrike s številom lahko tvori različne matrične izraze, na primer 5 A − 3B , 4A + 2B .

Lastnosti množenja matrike s številom

(tukaj A, B - matrike, - številke, 1 - številka ena)

Lastnosti (1) in (2) povezujeta množenje matrike s številom z dodajanjem matrik. Obstaja tudi zelo pomembna povezava med množenjem matrik s številom in množenjem samih matrik:

če se v zmnožku matrik enega od faktorjev pomnoži s številom, potem se celoten produkt pomnoži s številom.

Ta tema bo zajemala operacije, kot so seštevanje in odštevanje matrik, množenje matrike s številom, množenje matrike z matriko, transpozicija matrike. Vsi simboli, uporabljeni na tej strani, so vzeti iz prejšnje teme.

Seštevanje in odštevanje matrik.

Vsota $A+B$ matrik $A_(m\krat n)=(a_(ij))$ in $B_(m\krat n)=(b_(ij))$ je matrika $C_(m \times n) =(c_(ij))$, kjer je $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ za vse $i=\overline(1,m)$ in $j=\overline( 1,n) $.

Podobna definicija je uvedena za razliko matrik:

Razlika $A-B$ matrik $A_(m\krat n)=(a_(ij))$ in $B_(m\krat n)=(b_(ij))$ je matrika $C_(m\krat) n)=( c_(ij))$, kjer je $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ za vse $i=\overline(1,m)$ in $j=\overline(1, n)$.

Razlaga za vnos $i=\overline(1,m)$: show\hide

Vnos "$i=\overline(1,m)$" pomeni, da se parameter $i$ spremeni iz 1 v m. Na primer, vnos $i=\overline(1,5)$ pravi, da parameter $i$ prevzame vrednosti 1, 2, 3, 4, 5.

Omeniti velja, da so operacije seštevanja in odštevanja definirane samo za matrike enake velikosti. Na splošno sta seštevanje in odštevanje matrik operaciji, ki sta intuitivno jasni, saj v resnici pomenita samo seštevanje ali odštevanje ustreznih elementov.

Primer #1

Podane so tri matrike:

$$ A=\left(\begin(matrika) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(matrika) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(matrika) \right); \;\; F=\left(\begin(matrika) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(matrika) \desno). $$

Ali je mogoče najti matriko $A+F$? Poiščite matriki $C$ in $D$, če je $C=A+B$ in $D=A-B$.

Matrica $A$ vsebuje 2 vrstici in 3 stolpce (z drugimi besedami, velikost matrike $A$ je $2\krat 3$), matrika $F$ pa vsebuje 2 vrstici in 2 stolpca. Dimenzije matrik $A$ in $F$ se ne ujemata, zato ju ne moremo sešteti, t.j. operacija $A+F$ za te matrike ni definirana.

Velikosti matrik $A$ in $B$ sta enaki, t.j. matrični podatki vsebujejo enako število vrstic in stolpcev, zato je operacija seštevanja uporabna zanje.

$$ C=A+B=\left(\begin(matrika) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(matrika) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(matrika) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(matrika) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(matrika) \desno) $$

Poiščite matriko $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(matrika) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(matrika) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(matrika) \desno) $$

Odgovori: $C=\left(\begin(matrika) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Množenje matrike s številom.

Zmnožek matrike $A_(m\times n)=(a_(ij))$ in števila $\alpha$ je matrika $B_(m\times n)=(b_(ij))$, kjer je $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ za vse $i=\overline(1,m)$ in $j=\overline(1,n)$.

Preprosto povedano, pomnožiti matriko z določenim številom pomeni pomnožiti vsak element dane matrike s tem številom.

Primer #2

Podane matrike: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Poiščite matrike $3\cdot A$, $-5\cdot A$ in $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(matrika) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(matrika) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(matrika) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(matrika) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matrika) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(matrika) \desno) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(matrika) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(matrika) \desno). $$

Oznaka $-A$ je okrajšava za $-1\cdot A$. Če želite najti $-A$, morate vse elemente matrike $A$ pomnožiti z (-1). Pravzaprav to pomeni, da se bo predznak vseh elementov matrike $A$ spremenil v nasprotno:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(matrika) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(matrika) \right)= \ levo(\begin(matrika) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(matrika) \desno) $$

Odgovori: $3\cdot A=\left(\begin(matrika) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(matrika) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(matrika) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Produkt dveh matrik.

Opredelitev te operacije je okorna in na prvi pogled nerazumljiva. Zato bom najprej navedel splošno definicijo, nato pa bomo podrobno analizirali, kaj pomeni in kako z njo delati.

Zmnožek matrike $A_(m\krat n)=(a_(ij))$ in matrike $B_(n\krat k)=(b_(ij))$ je matrika $C_(m\krat k )=(c_( ij))$, pri katerem je vsak element $c_(ij)$ enak vsoti produktov ustreznih i-ti elementi vrstice matrike $A$ po elementih j-tega stolpca matrike $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Korak za korakom bomo analizirali množenje matrik na primeru. Vendar morate takoj paziti, da vseh matrik ni mogoče pomnožiti. Če želimo matriko $A$ pomnožiti z matriko $B$, se moramo najprej prepričati, da je število stolpcev matrike $A$ enako številu vrstic matrike $B$ (takšne matrike pogosto imenujemo strinjal). Na primer, matrike $A_(5\times 4)$ (matrika vsebuje 5 vrstic in 4 stolpce) ni mogoče pomnožiti z matriko $F_(9\times 8)$ (9 vrstic in 8 stolpcev), saj je število stolpcev matrika $A $ ni enaka številu vrstic matrike $F$, tj. $4\neq 9$. Vendar je mogoče matriko $A_(5\krat 4)$ pomnožiti z matriko $B_(4\krat 9)$, saj je število stolpcev matrike $A$ enako številu vrstic matrika $B$. V tem primeru bo rezultat množenja matrik $A_(5\times 4)$ in $B_(4\times 9)$ matrika $C_(5\times 9)$, ki vsebuje 5 vrstic in 9 stolpcev:

Primer #3

Dane matrike: $ A=\left(\begin(matrika) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matrika) \desno)$ in $ B=\left(\begin(matrika) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(matrika) \right) $. Poiščite matriko $C=A\cdot B$.

Za začetek takoj določimo velikost matrike $C$. Ker ima matrika $A$ velikost $3\krat 4$ in matrika $B$ velikost $4\krat 2$, je velikost matrike $C$ $3\krat 2$:

Torej, kot rezultat produkta matrik $A$ in $B$, bi morali dobiti matriko $C$, sestavljeno iz treh vrstic in dveh stolpcev: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(matrika) \right)$. Če označbe elementov sprožajo vprašanja, si lahko ogledate prejšnjo temo: "Matrike. Vrste matrik. Osnovni izrazi", na začetku katere je razloženo poimenovanje matričnih elementov. Naš cilj je najti vrednosti vseh elementov matrike $C$.

Začnimo z elementom $c_(11)$. Če želite dobiti element $c_(11)$, morate najti vsoto produktov elementov prve vrstice matrike $A$ in prvega stolpca matrike $B$:

Da bi našli sam element $c_(11)$, morate elemente prve vrstice matrike $A$ pomnožiti z ustreznimi elementi prvega stolpca matrike $B$, t.j. prvi element prvemu, drugi drugi, tretji tretji, četrti četrti. Povzemamo dobljene rezultate:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Nadaljujmo z rešitvijo in poiščimo $c_(12)$. Če želite to narediti, morate pomnožiti elemente prve vrstice matrike $A$ in drugega stolpca matrike $B$:

Podobno kot prejšnja imamo:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Najdemo vse elemente prve vrstice matrike $C$. Preidemo na drugo vrstico, ki se začne z elementom $c_(21)$. Če ga želite najti, morate pomnožiti elemente druge vrstice matrike $A$ in prvega stolpca matrike $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Naslednji element $c_(22)$ najdemo tako, da elemente druge vrstice matrike $A$ pomnožimo z ustreznimi elementi drugega stolpca matrike $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Za iskanje $c_(31)$ pomnožimo elemente tretje vrstice matrike $A$ z elementi prvega stolpca matrike $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

In končno, da bi našli element $c_(32)$, morate elemente tretje vrstice matrike $A$ pomnožiti z ustreznimi elementi drugega stolpca matrike $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Vsi elementi matrike $C$ so najdeni, ostalo je le, da zapišemo, da je $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \desno)$ . Ali, če napišem v celoti:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(matrika) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(matrika) \desno)\cdot \left(\begin(matrika) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(matrika) \right) =\left(\begin(matrika) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(matrika) \desno). $$

Odgovori: $C=\left(\begin(matrika) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Mimogrede, pogosto ni razloga, da bi podrobno opisali lokacijo vsakega elementa matrike rezultatov. Za matrike, katerih velikost je majhna, lahko storite naslednje:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(matrika) \desno) =\left(\begin(matrika) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(matrika) \desno) =\left (\begin(matrika) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(array) \right) $$

Omeniti velja tudi, da množenje matrik ni komutativno. To pomeni, da na splošno $A\cdot B\neq B\cdot A$. Samo za nekatere vrste matrik, ki se imenujejo permutacijski(ali prevoz na delo), je enakost $A\cdot B=B\cdot A$ resnična. Na podlagi nekomutativnosti množenja je treba natančno navesti, kako pomnožimo izraz z eno ali drugo matriko: na desni ali na levi. Na primer, stavek "pomnožite obe strani enakosti $3E-F=Y$ z matriko $A$ na desni" pomeni, da želite dobiti naslednjo enakost: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transponirana glede na matriko $A_(m\krat n)=(a_(ij))$ je matrika $A_(n\krat m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, za elemente, kjer je $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Preprosto povedano, da bi dobili transponirano matriko $A^T$, morate zamenjati stolpce v izvirni matriki $A$ z ustreznimi vrsticami po tem principu: obstajala je prva vrstica - prvi stolpec bo postal; bila je druga vrstica - drugi stolpec bo postal; bila je tretja vrstica - bo tretji stolpec in tako naprej. Na primer, poiščimo transponirano matriko v matriko $A_(3\times 5)$:

Če je imela prvotna matrika velikost $3\krat 5$, potem ima transponirana matrika velikost $5\krat 3$.

Nekatere lastnosti operacij nad matrikami.

Tukaj se predpostavlja, da so $\alpha$, $\beta$ nekatera števila, $A$, $B$, $C$ pa matrike. Za prve štiri lastnosti sem navedel imena, ostale lahko poimenujemo po analogiji s prvimi štirimi.

Predavanje №1

MATRICA

Definicija in vrste matrik

Opredelitev 1.1.Matrika velikost t P se imenuje pravokotna tabela številk (ali drugih predmetov), ki vsebuje mčrte in n stolpci.

Matrice so označene z velikimi (velikimi) črkami latinske abecede, npr. A, B, C... Klicane so številke (ali drugi predmeti), ki sestavljajo matriko elementov matrice. Elementi matrike so lahko funkcije. Za označevanje elementov matrike se uporabljajo male črke latinske abecede z dvojnim indeksiranjem: aij, kje je prvi indeks jaz(beri - in) - številka vrstice, drugi indeks j(beri - v živo) – številko stolpca.

Opredelitev 1.2. Matrica se imenuje kvadratni p- vrstni red, če je število njegovih vrstic enako številu stolpcev in enako številu P

Za kvadratno matriko so koncepti glavni in stranski diagonale.

Opredelitev 1.3.Glavna diagonala kvadratna matrika je sestavljena iz elementov, ki imajo enake indekse, tj. To so elementi: a 11, 22,…

Opredelitev 1.4. diagonalače so vsi elementi razen elementov glavne diagonale enaki nič

Opredelitev 1.5. Kvadratna matrika se imenuje trikotni, če so vsi njegovi elementi, ki se nahajajo pod (ali nad) glavno diagonalo, enaki nič.

Opredelitev 1.6. kvadratna matrika P- vrstni red, v katerem so vsi elementi glavne diagonale enaki eni, ostali pa enaki nič, se imenuje samski matriko n th reda in je označena s črko E.

Opredelitev 1.7. Imenuje se matrika katere koli velikosti nič, oz ničelna matrika,če so vsi njeni elementi enaki nič.

Opredelitev 1.8. Imenuje se enovrstična matrika matrika vrstic.

Opredelitev 1.9. Imenuje se matrika z enim stolpcem matrika stolpcev.

A = (a 11 a 12 ... a 1n) - matrična vrstica;

Opredelitev 1.10. Dve matrici AMPAK in AT enake velikosti se imenujejo enako,če so vsi ustrezni elementi teh matrik enaki, t.j. aij = bij za katero koli jaz= 1, 2, ..., t; j = 1, 2,…, n.

Matrične operacije

Na matrikah, pa tudi na številkah, je mogoče izvesti številne operacije. Glavne operacije na matrikah so seštevanje (odštevanje) matrik, množenje matrike s številom in množenje matrik. Te operacije so podobne operacijam s številkami. Posebna operacija je matrična transpozicija.

Množenje matrike s številom

Opredelitev 1.11.Zmnožek matrike A s številomλ se imenuje matrika B = A, katere elemente dobimo z množenjem elementov matrike AMPAK na številko λ .

Primer 1.1. Poiščite produkt matrike A= do številke 5.

Odločitev. .◄ 5A=

Pravilo za množenje matrike s številom: če želite matriko pomnožiti s številom, morate s tem številom pomnožiti vse elemente matrike.

Posledica.

1. Skupni faktor vseh elementov matrike lahko vzamemo iz predznaka matrike.

2. Matrični izdelek AMPAKštevilo 0 ima ničelno matriko: AMPAK· 0 = 0 .

Matrično seštevanje

Opredelitev 1.12.Vsota dveh matrik A in B enake velikosti t n imenujemo matrika Z= AMPAK+ AT, katerega elemente dobimo z dodajanjem ustreznih elementov matrike AMPAK in matrice AT, tj. cij = aij + bij za i = 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n(tj. matrike se dodajajo element za elementom).

Posledica. Matrična vsota AMPAK z ničelno matriko je enako izvirni matriki: A + O = A.

1.2.3. Matrično odštevanje

Razlika dveh matrik enake velikosti se določi s prejšnjimi operacijami: A - B \u003d A + (- 1)AT.

Opredelitev 1.13. Matrika –A = (– 1) AMPAK poklical nasprotno matriko AMPAK.

Posledica. Vsota nasprotnih matrik je enaka ničelni matriki : A + (-A) \u003d O.

Matrično množenje

Opredelitev 1.14.Množenje matrike A z matriko B definirano, ko je število stolpcev prve matrike enako številu vrstic druge matrike. Potem matrični izdelek taka matrika se imenuje , katerega vsak element cij je enak vsoti produktov elementov jaz-. vrstica matrike AMPAK na ustreznih elementih j-ti stolpec matrike b.

Primer 1.4. Izračunaj produkt matrik A B kje

Primer 1.5. Poiščite produkte matrik AB in VA, kje

Opombe. Iz primerov 1.4–1.5 sledi, da ima operacija množenja matrik nekaj razlik od množenja števil:

1) če je produkt matrik AB obstaja, potem po prerazporeditvi faktorjev produkt matrik VA morda ne obstaja. Dejansko v primeru 1.4 matrični produkt AB obstaja, produkt BA pa ne obstaja;

2) tudi če deluje AB in VA obstajajo, potem so lahko rezultat izdelka matrice različnih velikosti. V primeru, ko oboje deluje AB in VA obstajata in sta obe matriki enake velikosti (to je možno samo pri množenju kvadratnih matrik istega reda), potem komutativni (premični) zakon množenja še vedno ne velja, tiste. A B V A, kot v primeru 1.5;

3) če pa pomnožimo kvadratno matriko AMPAK na matriko identitete E torej isti vrstni red AE = EA = A.

Tako ima matrika identitete pri množenju matrik enako vlogo kot številka 1 pri množenju števil;

4) produkt dveh neničelnih matrik je lahko enak ničelni matriki, tj. A B= 0, temu ne sledi A = 0 oz B= 0.

1. letnik, višja matematika, študij matrice in osnovna dejanja na njih. Tukaj sistematiziramo glavne operacije, ki jih je mogoče izvesti z matrikami. Kako začeti z matricami? Seveda od najpreprostejših - definicij, osnovnih konceptov in najpreprostejših operacij. Zagotavljamo vam, da bodo matrice razumeli vsi, ki jim posvetite vsaj malo časa!

Definicija matrike

Matrika je pravokotna tabela elementov. No, če preprost jezik- tabela številk.

Matrice so običajno označene z velikimi latiničnimi črkami. Na primer, matrika A , matrika B itd. Matrice so lahko različnih velikosti: pravokotne, kvadratne, obstajajo tudi matrike vrstic in matrike stolpcev, imenovane vektorji. Velikost matrike je določena s številom vrstic in stolpcev. Na primer, napišimo pravokotno matriko velikosti m na n , kje m je število vrstic in n je število stolpcev.

Elementi, za katere i=j (a11, a22, .. ) tvorijo glavno diagonalo matrike in se imenujejo diagonala.

Kaj je mogoče narediti z matricami? Dodaj/odštej, pomnožite s številom, množijo med seboj, transponirati. Zdaj o vseh teh osnovnih operacijah na matrikah po vrstnem redu.

Operacije seštevanja in odštevanja matrik

Takoj vas opozarjamo, da lahko dodate samo matrike enake velikosti. Rezultat je matrica enake velikosti. Dodajanje (ali odštevanje) matrik je enostavno − samo dodajte njihove ustrezne elemente . Vzemimo primer. Izvedite seštevanje dveh matrik A in B velikosti dva po dva.

Odštevanje se izvaja po analogiji, le z nasprotnim predznakom.

Vsako matriko lahko pomnožimo s poljubnim številom. Storiti to, s tem številom morate pomnožiti vsak njegov element. Na primer, pomnožimo matriko A iz prvega primera s številko 5:

Operacija množenja matrik

Vseh matrik ni mogoče pomnožiti med seboj. Na primer, imamo dve matriki - A in B. Med seboj ju lahko pomnožimo le, če je število stolpcev matrike A enako številu vrstic matrike B. Poleg tega vsak element nastale matrike v i-ti vrstici in j-ti stolpec, bo enak vsoti produktov ustreznih elementov v i-ta vrstica prvi faktor in j-ti stolpec drugega. Da bi razumeli ta algoritem, zapišimo, kako se pomnožita dve kvadratni matriki:

In primer z realnimi številkami. Pomnožimo matrike:

Operacija transpozicije matrike

Matrična transpozicija je operacija, pri kateri se zamenjajo ustrezne vrstice in stolpci. Na primer, transponiramo matriko A iz prvega primera:

Matrična determinanta

Določnik, oh determinanta, je eden od osnovnih konceptov linearne algebre. Nekoč so si ljudje izmislili linearne enačbe, po njih pa so morali izumiti determinanto. Na koncu je odvisno od vas, da se z vsem tem spopadete, torej zadnji pritisk!

Določnik je numerična značilnost kvadratne matrike, ki je potrebna za reševanje številnih problemov.
Če želite izračunati determinanto najpreprostejše kvadratne matrike, morate izračunati razliko med produkti elementov glavne in sekundarne diagonale.

Temu elementu je determinanta matrike prvega reda, ki je sestavljena iz enega elementa.

Kaj pa, če je matrica trikrat tri? To je težje, vendar se da narediti.

Za takšno matriko je vrednost determinante enaka vsoti produktov elementov glavne diagonale in produktov elementov, ki ležijo na trikotnikih s ploskvijo, vzporedno z glavno diagonalo, iz katere je produkt elementov sekundarne diagonale in produkt elementov, ki ležijo na trikotnikih s ploskvijo, vzporedno s sekundarno diagonalo, se odšteje.

Na srečo je v praksi le redko potrebno izračunati determinante velikih matrik.

Tu smo obravnavali osnovne operacije na matrikah. Seveda v resničnem življenju nikoli ne morete naleteti niti na namig na matrični sistem enačb, ali obratno, lahko naletite na veliko bolj zapletene primere, ko se boste res morali namučiti. Prav za takšne primere obstaja strokovni študentski servis. Prosite za pomoč, pridobite kakovostno in podrobno rešitev, uživajte v akademskem uspehu in prostem času.

Ta priročnik vam bo pomagal naučiti, kako matrične operacije: seštevanje (odštevanje) matrik, transpozicija matrike, množenje matrik, iskanje inverzne matrike. Vse gradivo je predstavljeno v preprosti in dostopni obliki, podani so ustrezni primeri, tako da se lahko tudi nepripravljena oseba nauči izvajanja dejanj z matricami. Za samokontrolo in samotestiranje lahko brezplačno prenesete matrični kalkulator >>>.

Poskušal bom minimizirati teoretične izračune, ponekod so možne razlage "na prste" in uporaba neznanstvenih izrazov. Ljubitelji trdne teorije, prosim, ne kritizirajte, naša naloga je naučite se delati z matrikami.

Za SUPER-HITRO pripravo na temo (kdo "gori") je na voljo intenzivni pdf-tečaj Matrica, determinanta in odmik!

Matrica je pravokotna tabela nekaterih elementov. Kot elementov obravnavali bomo številke, torej numerične matrike. ELEMENT je izraz. Zaželeno si je zapomniti izraz, pogosto se bo pojavil, ni naključje, da sem ga krepko označil.

Oznaka: matrike so običajno označene z velikimi latiničnimi črkami

Primer: Razmislite o matriki dvakrat tri:

Ta matrika je sestavljena iz šestih elementov:

Vsa števila (elementi) znotraj matrike obstajajo sama po sebi, torej ni govora o kakršnem koli odštevanju:

To je samo tabela (skupina) številk!

Se bomo tudi strinjali ne preurejajštevilko, razen če je v pojasnilu navedeno drugače. Vsaka številka ima svojo lokacijo in jih ne morete premešati!

Zadevna matrika ima dve vrstici:

in tri stolpce:

STANDARD: ko govorimo o dimenzijah matrice, potem najprej navedite število vrstic in šele nato - število stolpcev. Pravkar smo razčlenili matriko dva po tri.

Če je število vrstic in stolpcev matrike enako, se matrika imenuje kvadratni, Na primer: je matrika trikrat tri.

Če ima matrika en stolpec ali eno vrstico, se takšne matrike tudi imenujejo vektorji.

Pravzaprav poznamo koncept matrike že od šole, upoštevajte na primer točko s koordinatama "x" in "y": . V bistvu so koordinate točke zapisane v matriko ena za dvema. Mimogrede, tukaj je primer za vas, zakaj je vrstni red številk pomemben: in sta dve popolnoma različni točki ravnine.

Zdaj pa pojdimo na študij. matrične operacije:

1) Prva akcija. Odstranitev minusa iz matrike (Uvedba minusa v matriko).

Nazaj k naši matrici . Kot ste verjetno opazili, je v tej matriki preveč negativnih številk. To je zelo neprijetno v smislu izvajanja različnih dejanj z matriko, neprijetno je pisati toliko minusov in v oblikovanju je videti samo grdo.

Minus premaknemo izven matrike tako, da spremenimo predznak VSAKEGA elementa matrike:

Pri nič, kot razumete, se znak ne spremeni, nič - tudi v Afriki je nič.

Obratni primer: . Zgleda grdo.

V matriko vnesemo minus tako, da spremenimo predznak VSAKEGA elementa matrike:

No, veliko lepši je. In kar je najpomembneje, LAŽJE bo izvesti kakršna koli dejanja z matriko. Ker obstaja tak matematični ljudski znak: več minusov - več je zmede in napak.

2) Druga akcija. Množenje matrike s številom.

Primer:

Preprosto je, če želite matriko pomnožiti s številko, potrebujete vsi pomnožite matrični element z dano številko. V tem primeru tri.

Še en uporaben primer:

– množenje matrike z ulomkom

Najprej poglejmo, kaj storiti NI POTREBNO:

NI TREBA vnesti ulomka v matriko, prvič, to samo otežuje nadaljnja dejanja z matriko, drugič, učitelju otežuje preverjanje rešitve (še posebej, če - končni odgovor naloge).

in še posebej, NI POTREBNO vsak element matrike delimo z minus sedem:

Iz članka Matematika za lutke ali kje začeti, spomnimo se, da se decimalnim ulomkom z vejico v višji matematiki skušajo na vse možne načine izogniti.

Edina stvar zaželeno v tem primeru je treba v matriko vstaviti minus:

Ampak če VSE matrični elementi so bili razdeljeni s 7 brez sledu, potem bi bilo mogoče (in nujno!) razdeliti.

Primer:

V tem primeru lahko POTREBA vse elemente matrike pomnožimo z , saj so vsa števila v matriki deljiva z 2 brez sledu.

Opomba: v teoriji višje matematike ni šolskega pojma "delitev". Namesto fraze "to je deljeno s tem" lahko vedno rečete "to se pomnoži z ulomkom." To pomeni, da je deljenje poseben primer množenja.

3) Tretja akcija. Matrična transpozicija.

Če želite transponirati matriko, morate njene vrstice zapisati v stolpce transponirane matrike.

Primer:

Transponirana matrika

Tukaj je samo ena vrstica in po pravilu mora biti zapisana v stolpcu:

je transponirana matrika.

Transponirana matrika je običajno označena z nadpisom ali črto v zgornjem desnem kotu.

Primer korak za korakom:

Transponirana matrika

Najprej prepišemo prvo vrstico v prvi stolpec:

Nato drugo vrstico prepišemo v drugi stolpec:

In končno, tretjo vrstico prepišemo v tretji stolpec:

Pripravljen. Grobo rečeno, transponirati pomeni obrniti matriko na stran.

4) Četrto dejanje. Vsota (razlika) matrik.

Vsota matrik je preprosta operacija.
VSEH MATRIC NI MOGOČE ZGGATI. Za izvedbo seštevanja (odštevanja) matrik je potrebno, da so ENAKE VELIKOSTI.

Na primer, če je podana matrika dva po dva, jo je mogoče dodati samo matriki dva po dva in nič drugega!

Primer:

Dodajte matrike in

Če želite dodati matrike, morate dodati njihove ustrezne elemente:

Za razliko matrik je pravilo podobno, treba je najti razliko ustreznih elementov.

Primer:

Poiščite razliko matrik ,

Kako se odločiti naveden primer lažje se izogniti zmedi? Priporočljivo je, da se znebite nepotrebnih minusov, za to bomo matriki dodali minus:

Opomba: v teoriji višje matematike ni šolskega koncepta "odštevanja". Namesto fraze "odštej to od tega" lahko vedno rečeš "temu dodaj negativno število". To pomeni, da je odštevanje poseben primer seštevanja.

5) Ukrep pet. Matrično množenje.

Katere matrike je mogoče pomnožiti?

Da se matrika pomnoži z matriko, tako da je število stolpcev matrike enako številu vrstic matrike.

Primer:
Ali je mogoče matriko pomnožiti z matriko?