Standardna oblika monoma. Monomski koncept

V tej lekciji bomo dali strogo definicijo monoma, upoštevali različne primere iz učbenika. Spomnimo se pravil za množenje stopinj z enakimi osnovami. Podamo definicijo standardne oblike monoma, koeficienta monoma in njegovega črkovnega dela. Razmislimo o dveh osnovnih tipičnih dejanjih na monome, in sicer redukcijo na standardno obliko in izračun določene številčne vrednosti monoma za dane vrednosti njegovih abecednih spremenljivk. Formulirajmo pravilo za redukcijo monoma na standardno obliko. Naučili se bomo reševati tipične probleme s poljubnimi monomi.

tema:Monomi. Aritmetične operacije nad monomi

Lekcija:Koncept monoma. Standardna vrsta monoma

Razmislite o nekaj primerih:

3. ;

Poiščimo skupne značilnosti za dane izraze. V vseh treh primerih je izraz zmnožek števil in spremenljivk, dvignjenih na stopnjo. Na podlagi tega dajemo monomska definicija : Monom je algebraični izraz, ki je sestavljen iz zmnožka stopinj in števil.

Zdaj bomo dali primere izrazov, ki niso monomi:

Poiščimo razliko med temi izrazi od prejšnjih. Sestoji iz tega, da so v primerih 4-7 operacije seštevanja, odštevanja ali deljenja, medtem ko v primerih 1-3, ki so enosmerni, te operacije niso.

Tukaj je še nekaj primerov:

Izraz 8 je monom, saj je produkt stopnje s številom, medtem ko primer 9 ni monom.

Zdaj pa ugotovimo dejanja na monome .

1. Poenostavitev. Razmislite o primeru #3. ; in primer # 2 /

V drugem primeru vidimo samo en koeficient -, vsaka spremenljivka se pojavi samo enkrat, to je spremenljivka " a"Je predstavljen v eni kopiji, kot" ", podobno se spremenljivki" "in" "pojavita samo enkrat.

V primeru # 3, nasprotno, obstajata dva različna koeficienta - in spremenljivko "" vidimo dvakrat - kot "" in kot "", podobno se spremenljivka "" pojavi dvakrat. To pomeni, da je treba ta izraz poenostaviti, tako da pridemo do tega prvo dejanje, izvedeno na monomih, je, da se monom spravi v standardno obliko ... Če želite to narediti, prenesite izraz iz primera 3 v standardno obliko, nato definirajte to operacijo in se naučite, kako prinesti kateri koli monom v standardno obliko.

Torej, razmislite o primeru:

Prvi korak pri operaciji pretvorbe v standardni obrazec je vedno pomnoženje vseh številskih faktorjev:

;

Rezultat tega dejanja bo poklican monomski koeficient .

Nato morate pomnožiti stopinje. Pomnožimo moči spremenljivke " NS"Po pravilu za množenje stopinj z enakimi osnovami, ki pravi, da se pri množenju eksponenti seštejejo:

zdaj pomnožimo moči" pri»:

;

Torej, tukaj je poenostavljen izraz:

;

Vsak monom je mogoče reducirati na standardno obliko. Formulirajmo standardizacijsko pravilo :

Pomnožite vse številčne faktorje;

Na prvo mesto postavite dobljeni koeficient;

Pomnožite vse stopinje, torej dobite del črke;

To pomeni, da je za vsak monom značilen koeficient in del črke. Če pogledamo naprej, ugotavljamo, da se monomi, ki imajo enak del črke, imenujejo podobni.

Zdaj morate telovaditi tehnika reduciranja monomov na standardno obliko ... Razmislite o primerih iz vadnice:

Naloga: prinesite monom v standardni obrazec, poimenujte koeficient in črkovni del.

Za dokončanje naloge bomo uporabili pravilo za redukcijo monoma na standardno obliko in lastnosti stopinj.

1. ;

3. ;

Komentarji na prvi primer: Najprej bomo ugotovili, ali je ta izraz res monom, za to bomo preverili, ali vsebuje operacije množenja števil in potenk ter ali vsebuje operacije seštevanja, odštevanja ali deljenja. Lahko rečemo, da je ta izraz monom, saj je zgornji pogoj izpolnjen. Nadalje po pravilu za redukcijo monoma na standardno obliko pomnožimo številčne faktorje:

- našli smo koeficient danega monoma;

; ; ; to pomeni, da je dobesedni del izraza sprejet :;

zapiši odgovor:;

Komentarji na drugi primer: Po pravilu izvajamo:

1) pomnožimo številčne faktorje:

2) pomnožite moči:

Spremenljivke so predstavljene v enem izvodu, to pomeni, da jih ni mogoče pomnožiti z ničemer, prepišemo jih brez sprememb, stopnja se pomnoži:

Zapišimo odgovor:

;

V ta primer koeficient monoma je enak ena, abecedni del pa je.

Komentarji na tretji primer: a Taksno glede na prejšnje primere izvedemo dejanja:

1) pomnožite številčne faktorje:

;

2) pomnožite moči:

;

napiši odgovor:;

V tem primeru je koeficient monoma "", in črkovni del .

Zdaj razmislite druga standardna operacija na monome ... Ker je monom algebraični izraz, sestavljen iz literalnih spremenljivk, ki lahko sprejmejo določene številčne vrednosti, imamo aritmetični številčni izraz, ki ga je treba izračunati. To pomeni, da je naslednja operacija na polinomih izračun njihove specifične številčne vrednosti .

Poglejmo primer. Podan je monom:

ta monom je že reduciran na standardno obliko, njegov koeficient je enak eni in črkovni del

Prej smo rekli, da algebraičnega izraza ni mogoče vedno izračunati, to pomeni, da spremenljivke, ki so vanj vključene, ne morejo prevzeti nobene vrednosti. V primeru monoma so spremenljivke, vključene vanj, lahko poljubne, to je značilnost monoma.

Torej, v danem primeru je potrebno izračunati vrednost monoma pri,,,.

Začetne informacije o monomih vsebujejo pojasnilo, da je vsak monom mogoče reducirati na standardno obliko. V spodnjem gradivu bomo to vprašanje obravnavali podrobneje: orisali bomo pomen tega dejanja, opredelili korake, ki nam omogočajo, da nastavimo standardno obliko monoma, in tudi utrdili teorijo z reševanjem primerov.

Vrednost pretvorbe monoma v standardno obliko

Pisanje monoma v standardni obliki omogoča bolj priročno delo z njim. Monomi so pogosto podani v nestandardni obliki, nato pa je treba izvesti identične transformacije, da se dani monom spravi v standardno obliko.

Opredelitev 1

Redukcija monoma na standardno obliko Je izvedba ustreznih dejanj (identičnih transformacij) z monomom, da bi ga zabeležili v standardni obliki.

Metoda redukcije monoma na standardno obliko

Iz definicije izhaja, da je monom nestandardne oblike produkt številk, spremenljivk in njihovih stopenj, njihova ponovitev pa je možna. Po drugi strani monom standardne oblike vsebuje v svojem zapisu samo eno število in neponavljajoče se spremenljivke ali njihove stopnje.

Če želite nestandardni monom spraviti v standardno obliko, morate uporabiti naslednje pravilo za redukcijo monoma na standardno obliko:

• prvi korak je združevanje številčnih faktorjev, istih spremenljivk in njihovih stopenj;
• drugi korak je izračunati produkte števil in uporabiti lastnost stopinj z enakimi osnovami.

Primeri in rešitve

En monom je dan 3 x 2 x 2 . Treba ga je spraviti v standardni obrazec.

Rešitev

Združimo številčne faktorje in množitelje s spremenljivko x, tako da bo dani monom imel obliko: (3 2) (x x 2) .

Izdelek v oklepaju je 6. Če uporabimo pravilo množenja potenk z enakimi osnovami, predstavimo izraz v oklepaju kot: x 1 + 2 = x 3... Kot rezultat dobimo monom standardne oblike: 6 · x 3.

Povzetek rešitve je videti takole: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.

odgovor: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Primer 2

Podan je monom: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b. Treba ga je spraviti v standardno obliko in navesti njegov koeficient.

Rešitev

dani monom ima v zapisu en številčni faktor: - 1, prenesemo ga na začetek. Nato bomo združili faktorje s spremenljivko a in faktorje s spremenljivko b. Spremenljivke m ni s čim združiti, pustimo jo v izvirni obliki. Kot rezultat naštetih dejanj dobimo: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.

Izvajajmo dejanja s potenci v oklepajih, potem bo monom dobil standardno obliko: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m . Iz tega vnosa zlahka določimo koeficient monoma: enak je - 1. Enoto minus je povsem mogoče zamenjati z znakom minus: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.

Povzetek vseh dejanj izgleda takole:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

odgovor:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = - a 8 b 3 m, koeficient danega monoma je - 1.

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

V matematiki obstaja veliko različnih matematičnih izrazov in nekateri od njih imajo svoja fiksna imena. Seznaniti se moramo z enim od takih pojmov - to je monom.

Monom je matematični izraz, ki je sestavljen iz produkta številk, spremenljivk, od katerih je vsaka lahko v določeni meri vključena v produkt. Da bi bolje razumeli nov koncept, se morate seznaniti z več primeri.

Primeri monomov

Izrazi 4, x ^ 2, -3 * a ^ 4, 0,7 * c, ¾ * y ^ 2 so monomi. Kot lahko vidite, je samo eno število ali spremenljivka (z močjo ali brez nje) tudi monom. Toda na primer izrazi 2 + c, 3 * (y ^ 2) / x, a ^ 2 –x ^ 2 so že niso monomi, saj ne ustrezajo definiciji. V prvem izrazu se uporablja "vsota", kar je nesprejemljivo, v drugem - "delitev", v tretjem - razlika.

Razmislite še nekaj primerov.

Na primer, izraz 2 * a ^ 3 * b / 3 je tudi monom, čeprav je tam prisotna tudi delitev. Toda v tem primeru se delitev zgodi s številom, zato lahko ustrezen izraz prepišemo na naslednji način: 2/3 * a ^ 3 * b. Še en primer: kateri od izrazov 2 / x in x / 2 je monom in kateri ne? pravilen odgovor je, da prvi izraz ni monom, drugi pa je monom.

Standardna vrsta monoma

Poglejte naslednja dva monomska izraza: ¾ * a ^ 2 * b ^ 3 in 3 * a * 1/4 * b ^ 3 * a. Pravzaprav sta to dva enaka monoma. Ali ni res, da je prvi izraz videti bolj priročen kot drugi?

Razlog za to je, da je prvi izraz napisan v standardni obliki. Standardna oblika polinoma je produkt, sestavljen iz številskega faktorja in potenk različnih spremenljivk. Številčni faktor se imenuje koeficient monoma.

Da bi monom spravil v njegovo standardno obliko, je dovolj, da pomnožimo vse številčne faktorje, ki so prisotni v monomu, in na prvo mesto postavimo dobljeno število. Nato pomnožite vse stopnje, ki imajo isto osnovno črko.

Redukcija monoma na njegovo standardno obliko

Če v našem primeru v drugem izrazu pomnožimo vse številčne faktorje 3 * 1/4 in nato pomnožimo a * a, dobimo prvi monom. To dejanje se imenuje redukcija monoma v njegovo standardno obliko.

Če se dva monoma razlikujeta le po številčnem koeficientu ali sta enaka drug drugemu, potem takšna monoma v matematiki imenujemo podobni.

Monomski je izraz, ki je produkt dveh ali več faktorjev, od katerih je vsak število, izraženo s črko, številkami ali potenco (z nenegativnim celim številom):

2a, a 3 x, 4abc, -7x

Ker lahko zmnožek istih faktorjev zapišemo v obliki stopnje, je tudi ločeno vzeta stopnja (z nenegativnim celim eksponentom) monom:

(-4) 3 , x 5 ,

Ker lahko število (celo ali ulomno), izraženo s črko ali številkami, zapišemo kot zmnožek tega števila z eno, potem lahko vsako ločeno vzeto število štejemo tudi za monom:

x, 16, -a,

Standardna vrsta monoma

Standardna vrsta monoma je monom samo z enim številčnim faktorjem, ki ga je treba najprej zapisati. Vse spremenljivke so v abecednem vrstnem redu in so v monomu le enkrat.

Številke, spremenljivke in stopnje spremenljivk se nanašajo tudi na monome standardne oblike:

7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - monomi standardnega tipa.

Številčni faktor monoma standardne oblike se imenuje monomski koeficient... Monomska koeficienta, enaka 1 in -1, običajno nista zapisana.

Če v monomu standardne oblike ni številčnega faktorja, se predpostavlja, da je koeficient monoma 1:

x 3 = 1 x 3

Če v monomu standardne oblike ni številčnega faktorja in je pred njim znak minus, se predpostavlja, da je koeficient monoma -1:

-x 3 = -1 x 3

Redukcija monoma na standardno obliko

Če želite monom spraviti v standardno obliko, potrebujete:

1. Pomnožite številčne faktorje, če jih je več. Dvignite številčni faktor na stopnjo, če ima eksponent. Najprej postavite številčni faktor.
2. Pomnožite vse iste spremenljivke, tako da se vsaka spremenljivka v monomeu pojavi samo enkrat.
3. Razporedite spremenljivke za številskim faktorjem po abecednem vrstnem redu.

Primer. Predstavite monom v njegovi standardni obliki:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 pr 0.5 ab 3

rešitev:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x= 3 (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
b) 6 pr 0.5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

Monomska stopnja

Monomska stopnja je vsota eksponentov vseh črk, ki so vključene v to.

Če je monom število, torej ne vsebuje spremenljivk, se šteje, da je njegova stopnja enaka nič. Na primer:

5, -7, 21 - monomi nič stopinj.

Zato, da bi našli stopnjo monoma, morate določiti eksponent vsake od črk, vključenih v to, in dodati te kazalnike. Če eksponent črke ni določen, je enak eni.

Primeri:

Kako si torej x eksponent ni določen, zato je enak 1. Monom ne vsebuje drugih spremenljivk, zato je njegova stopnja 1.

Monom vsebuje samo eno spremenljivko v drugi stopnji, kar pomeni, da je stopnja tega monoma 2.

3) ab 3 c 2 d

Indeks a je enako 1, eksponent b- 3, indikator c- 2, indikator d- 1. Stopnja danega monoma je enaka vsoti teh kazalnikov.

Monomi so produkti števil, spremenljivk in njihovih moči. Števila, spremenljivke in njihove stopnje veljajo tudi za monome. Na primer: 12ac, -33, a ^ 2b, a, c ^ 9. Monom 5aa2b2b lahko reduciramo na obliko 20a ^ 2b ^ 2. Ta oblika se imenuje standardna oblika monoma. To pomeni, da je standardna oblika monoma produkt koeficienta (na prvem mestu) in stopinj spremenljivk. Koeficienta 1 in -1 nista zapisana, ohranjata pa minus od -1. Monom in njegova standardna oblika

Izrazi 5a2x, 2a3 (-3) x2, b2x so produkti števil, spremenljivk in njihovih potenk. Takšni izrazi se imenujejo monomi. Števila, spremenljivke in njihove stopnje veljajo tudi za monome.

Na primer, izrazi - 8, 35, y in y2 - so monomi.

Standardna oblika monoma je monom v obliki zmnožka številčnega faktorja na prvem mestu in stopenj različnih spremenljivk. Vsak monom je mogoče zmanjšati na standardno obliko z množenjem vseh spremenljivk in številk, ki so v njem vključene. Tukaj je primer redukcije monoma na standardno obliko:

4x2y4 (-5) yx3 = 4 (-5) x2x3y4y = -20x5y5

Številčni faktor monoma, zapisan v standardni obliki, se imenuje koeficient monoma. Na primer, koeficient monoma -7x2y2 je -7. Koeficienta monomov x3 in -xy veljata za enaka 1 in -1, saj je x3 = 1x3 in -xy = -1xy

Stopnja monoma je vsota eksponentov vseh spremenljivk, ki so vključene v to. Če monom ne vsebuje spremenljivk, torej je število, se šteje, da je njegova stopnja enaka nič.

Na primer, stopnja monoma 8x3yz2 je 6, monoma 6x je 1, monom -10 je 0.

Množenje monomov. Eksponentiranje monomov

Pri množenju monomov in dvigovanju monomov na potenco se uporabljata pravilo množenja potenc z isto osnovo in pravilo za dvig potenca na potenc. V tem primeru dobimo monom, ki je običajno predstavljen v standardni obliki.

Na primer

4x3y2 (-3) x2y = 4 (-3) x3x2y2y = -12x5y3

((-5) x3y2) 3 = (-5) 3x3 * 3y2 * 3 = -125x9y6