숫자로 행렬의 곱셈: 예, 속성, 의미. 숫자로 행렬의 곱하기 온라인에서 행렬로 실수의 곱 찾기

행렬 A에 임의의 수 α를 곱하려면 행렬의 요소가 필요합니다. ㅏ숫자 α, 즉 행렬과 숫자의 곱은 다음과 같습니다.

실시예 1행렬 3 찾기 ㅏ매트릭스용

해결책. 정의에 따라 행렬의 요소를 곱합니다. ㅏ 3으로 얻고

이것은 행렬에 정수가 있는 숫자를 곱하는 매우 간단한 예입니다. 앞서도 간단한 예, 그러나 이미 행렬의 요소와 요소 중 분수, 변수(문자 지정)가 있는 경우 곱셈의 법칙은 정수에만 적용되는 것이 아니라 반복하는 것이 결코 해롭지 않습니다.

실시예 2 ㅏ숫자 α에 의해
, .

ㅏα로 분수를 곱할 때 첫 번째 분수의 분자에 첫 번째 분수의 분자를 곱하고 곱을 분자에 쓰고 첫 번째 분수의 분모에 두 번째 분수의 분모를 곱한다는 것을 잊지 마십시오. 제품은 분모에 기록됩니다. 새 행렬의 첫 번째 행에 있는 두 번째 요소를 받으면 결과 분수가 2로 줄어들었습니다. 이 작업을 수행해야 합니다. 우리는 얻는다

실시예 3행렬 곱셈 연산 수행 ㅏ숫자 α에 의해
, .

해결책. 행렬의 요소 곱하기 ㅏα에서 문자 지정에서 혼동되지 않고 새 행렬의 두 번째 행의 두 번째 요소 앞에 빼기를 남기는 것을 잊지 않고 숫자에 역수를 곱한 결과가 1이라는 것을 기억합니다(첫 번째 요소 세 번째 행). 우리는 얻는다

실시예 4행렬 곱셈 연산 수행 ㅏ숫자 α에 의해
, .

해결책. 거듭제곱의 숫자에 거듭제곱의 숫자를 곱하면 지수가 더해진다는 것을 기억하십시오. 우리는 얻는다

무엇보다도 이 예는 행렬에 숫자를 곱하는 연산을 역순으로 읽고 쓸 수 있음을 분명히 보여줍니다. 행렬 앞에 상수 인수를 놓는다고 합니다.

와 결합 행렬의 덧셈과 뺄셈행렬에 숫자를 곱하는 작업은 다양한 행렬 식을 형성할 수 있습니다(예: 5 ㅏ − 3비 , 4ㅏ + 2비 .

행렬에 숫자를 곱하는 속성

(여기서 A, B - 행렬, - 숫자, 1 - 숫자 1)

속성 (1)과 (2)는 행렬의 추가와 함께 행렬의 곱셈과 관련이 있습니다. 또한 행렬에 숫자를 곱하는 것과 행렬 자체를 곱하는 것 사이에는 매우 중요한 연결이 있습니다.

즉, 행렬의 곱에서 요인 중 하나에 숫자를 곱하면 전체 곱에 숫자가 곱해집니다.

이 주제는 행렬의 덧셈과 뺄셈, 행렬의 숫자 곱셈, 행렬과 행렬의 곱셈, 행렬 전치와 같은 연산을 다룹니다. 이 페이지에 사용된 모든 기호는 이전 항목에서 가져왔습니다.

행렬의 덧셈과 뺄셈.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ 및 $B_(m\times n)=(b_(ij))$ 행렬의 합 $A+B$는 $C_(m \times n) =(c_(ij))$, 여기서 $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ $i=\overline(1,m)$ 및 $j=\overline( 1,n) $.

행렬의 차이에 대해 유사한 정의가 도입되었습니다.

행렬 $A_(m\times n)=(a_(ij))$ 및 $B_(m\times n)=(b_(ij))$의 차 $A-B$는 행렬 $C_(m\times n)=( c_(ij))$, 여기서 $i=\overline(1,m)$ 및 $j=\overline(1, n)$.

$i=\overline(1,m)$ 항목에 대한 설명: show\hide

"$i=\overline(1,m)$" 항목은 $i$ 매개변수가 1에서 m으로 변경됨을 의미합니다. 예를 들어, $i=\overline(1,5)$ 항목은 $i$ 매개변수가 1, 2, 3, 4, 5 값을 취한다고 말합니다.

덧셈과 뺄셈 연산은 같은 크기의 행렬에 대해서만 정의된다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 일반적으로 행렬의 덧셈과 뺄셈은 실제로 해당 요소의 합산 또는 빼기를 의미하기 때문에 직관적으로 명확한 연산입니다.

예 #1

세 가지 행렬이 제공됩니다.

$$ A=\left(\begin(배열) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(배열) \right)\;\; B=\left(\begin(배열) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(배열) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

$A+F$ 행렬을 찾을 수 있습니까? $C=A+B$ 및 $D=A-B$인 경우 $C$ 및 $D$ 행렬을 찾습니다.

행렬 $A$는 2행 3열을 포함하고(즉, 행렬 $A$의 크기는 $2\times 3$임) 행렬 $F$는 2행 2열을 포함합니다. $A$와 $F$ 행렬의 차원이 일치하지 않으므로 더할 수 없습니다. 이 행렬에 대한 $A+F$ 연산이 정의되지 않았습니다.

$A$와 $B$ 행렬의 크기는 같습니다. 행렬 데이터는 동일한 수의 행과 열을 포함하므로 더하기 연산을 적용할 수 있습니다.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (cc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(배열) \right)=\\= \left(\begin(배열) (cc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(배열) \right) $$

$D=A-B$ 행렬 찾기:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(배열) \right)=\\= \left(\begin(배열) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(배열) \right) $$

대답: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

행렬에 숫자를 곱합니다.

행렬 $A_(m\times n)=(a_(ij))$와 숫자 $\alpha$의 곱은 행렬 $B_(m\times n)=(b_(ij))$입니다. 여기서 $ 모든 $i=\overline(1,m)$ 및 $j=\overline(1,n)$에 대한 b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$.

간단히 말해, 행렬에 어떤 숫자를 곱한다는 것은 주어진 행렬의 각 요소에 해당 숫자를 곱하는 것을 의미합니다.

예 #2

주어진 행렬: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. $3\cdot A$, $-5\cdot A$ 및 $-A$ 행렬을 찾습니다.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( 배열) (cc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(배열) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (배열) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(배열) \right). $$

$-A$ 표기법은 $-1\cdot A$의 약어입니다. 즉, $-A$를 찾으려면 $A$ 행렬의 모든 요소에 (-1)을 곱해야 합니다. 사실, 이것은 $A$ 행렬의 모든 요소의 부호가 반대 방향으로 변경됨을 의미합니다.

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ 왼쪽(\begin(배열) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(배열) \right) $$

대답: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(배열) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(배열) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

두 행렬의 곱.

이 작업의 정의는 복잡하고 언뜻 이해하기 어렵습니다. 따라서 먼저 일반적인 정의를 제시한 다음 그 의미와 작업 방법을 자세히 분석하겠습니다.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ 행렬과 $B_(n\times k)=(b_(ij))$ 행렬의 곱은 $C_(m\times k )=(c_(ij))$ 여기서 각 요소 $c_(ij)$는 해당 요소의 곱의 합과 같습니다. i번째 요소행렬 $B$의 j번째 열 요소에 의한 행렬 $A$의 행: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

단계별로 예제를 사용하여 행렬의 곱셈을 분석합니다. 그러나 모든 행렬을 곱할 수 있는 것은 아니라는 점에 즉시 주의해야 합니다. 행렬 $A$에 행렬 $B$를 곱하려면 먼저 행렬 $A$의 열 수가 행렬 $B$의 행 개수와 같은지 확인해야 합니다(이러한 행렬은 종종 동의). 예를 들어 행렬 $A_(5\times 4)$(행렬 5개와 열 4개 포함)는 $F_(9\times 8)$ 행렬(9행 8열)로 곱할 수 없습니다. 행렬 $A $는 행렬 $F$의 행 수와 같지 않습니다. $4\neq 9$. 그러나 행렬 $A_(5\times 4)$에 행렬 $B_(4\times 9)$를 곱하는 것은 가능합니다. 행렬 $A$의 열 개수는 행렬의 행 개수와 같기 때문입니다. 매트릭스 $B$. 이 경우 $A_(5\times 4)$ 및 $B_(4\times 9)$ 행렬을 곱한 결과는 $C_(5\times 9)$ 행렬로 5행 9열을 포함합니다.

예 #3

주어진 행렬: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (배열) \right)$ 및 $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. 행렬 $C=A\cdot B$를 찾습니다.

먼저 $C$ 행렬의 크기를 즉시 결정합니다. 행렬 $A$의 크기는 $3\times 4$이고 행렬 $B$의 크기는 $4\times 2$이므로 $C$ 행렬의 크기는 $3\times 2$입니다.

따라서 $A$와 $B$ 행렬의 곱의 결과로 3개의 행과 2개의 열로 구성된 $C$ 행렬을 얻어야 합니다. $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(배열) \right)$. 요소의 지정이 질문을 제기하는 경우 이전 주제인 "행렬. 행렬의 유형. 기본 용어"에서 행렬 요소의 지정이 설명되는 시작 부분을 볼 수 있습니다. 우리의 목표는 $C$ 행렬의 모든 요소 값을 찾는 것입니다.

$c_(11)$ 요소부터 시작하겠습니다. $c_(11)$ 요소를 얻으려면 $A$ 행렬의 첫 번째 행과 $B$ 행렬의 첫 번째 열 요소의 곱의 합을 찾아야 합니다.

$c_(11)$ 요소 자체를 찾으려면 $A$ 행렬의 첫 번째 행의 요소에 $B$ 행렬의 첫 번째 열의 해당 요소를 곱해야 합니다. 첫 번째 요소는 첫 번째 요소, 두 번째 요소는 두 번째 요소, 세 번째 요소는 세 번째 요소, 네 번째 요소는 네 번째 요소입니다. 얻은 결과를 요약합니다.

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

솔루션을 계속해서 $c_(12)$를 찾아봅시다. 이렇게 하려면 $A$ 행렬의 첫 번째 행과 $B$ 행렬의 두 번째 열에 있는 요소를 곱해야 합니다.

이전 것과 유사하게 다음이 있습니다.

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

$C$ 행렬의 첫 번째 행의 모든 요소를 찾습니다. $c_(21)$ 요소로 시작하는 두 번째 줄로 전달합니다. 그것을 찾으려면 행렬 $A$의 두 번째 행과 $B$ 행렬의 첫 번째 열의 요소를 곱해야 합니다.

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

다음 요소 $c_(22)$는 $A$ 행렬의 두 번째 행에 있는 요소에 $B$ 행렬의 두 번째 열에 해당하는 요소를 곱하여 찾습니다.

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

$c_(31)$를 찾기 위해 행렬 $A$의 세 번째 행 요소와 $B$ 행렬의 첫 번째 열 요소를 곱합니다.

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

그리고 마지막으로 $c_(32)$ 요소를 찾으려면 $A$ 행렬의 세 번째 행에 있는 요소에 $B$ 행렬의 두 번째 열에 해당하는 요소를 곱해야 합니다.

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

$C$ 행렬의 모든 요소를 찾았습니다. $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \오른쪽)$ . 또는 전체를 작성하려면 다음을 수행합니다.

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(배열) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(배열) \right)\cdot \left(\begin(배열) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(배열) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

대답: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

그런데 결과 행렬의 각 요소의 위치를 자세히 설명할 이유가 없는 경우가 많습니다. 크기가 작은 행렬의 경우 다음을 수행할 수 있습니다.

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(배열) \right) =\left(\begin(배열) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(배열) \right) =\left (\begin(배열) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(배열) \right) $$

행렬 곱셈은 비가환적이라는 점도 주목할 가치가 있습니다. 이것은 일반적으로 $A\cdot B\neq B\cdot A$를 의미합니다. 라고 하는 일부 유형의 행렬에 대해서만 순열(또는 통근) $A\cdot B=B\cdot A$는 참입니다. 오른쪽 또는 왼쪽에 하나 또는 다른 행렬로 표현식을 곱하는 방법을 정확히 나타내야 하는 것은 곱셈의 비가환성에 기반합니다. 예를 들어, "$3E-F=Y$ 평등의 양쪽에 오른쪽에 있는 $A$ 행렬 곱하기"라는 문구는 $(3E-F)\cdot A=Y\cdot와 같은 평등을 얻으려는 것을 의미합니다. A$.

행렬 $A_(m\times n)=(a_(ij))$에 대해 전치하면 행렬 $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, $a_(ij)^(T)=a_(ji)$인 요소의 경우.

간단히 말해서, 전치 행렬 $A^T$를 얻으려면 다음 원칙에 따라 원래 행렬 $A$의 열을 해당 행으로 교체해야 합니다. 첫 번째 행이 있었습니다. 첫 번째 열은 다음이 됩니다. 두 번째 행이 있습니다. 두 번째 열은 다음과 같습니다. 세 번째 행이 있었습니다 - 세 번째 열 등이 있을 것입니다. 예를 들어, $A_(3\times 5)$ 행렬에 대해 전치된 행렬을 찾습니다.

따라서 원래 행렬의 크기가 $3\x 5$인 경우 전치된 행렬의 크기는 $5\x 3$입니다.

행렬에 대한 연산의 일부 속성입니다.

여기서 $\alpha$, $\beta$는 일부 숫자이고 $A$, $B$, $C$는 행렬이라고 가정합니다. 처음 4개의 속성에 대해 이름을 표시하고 나머지는 처음 4개와 유추하여 이름을 지정할 수 있습니다.

강의 №1

행렬

행렬의 정의 및 유형

정의 1.1.행렬크기 티 피다음을 포함하는 숫자(또는 기타 개체)의 직사각형 테이블이라고 합니다. 중선과 N열.

행렬은 라틴 알파벳의 대문자(대문자)로 표시됩니다. 예를 들면, A, B, C...행렬을 구성하는 숫자(또는 다른 개체)는 집단행렬. 행렬 요소는 함수일 수 있습니다. 행렬의 요소를 지정하기 위해 이중 인덱싱이 포함된 라틴 알파벳의 소문자가 사용됩니다. 아이고,첫 번째 인덱스는 어디에 나(읽기 - 및) - 줄 번호, 두 번째 색인 제이(읽기 - 라이브) – 열 번호.

정의 1.2.매트릭스는 정사각형 p-행의 수가 열의 수와 같고 같은 수이면 순서 피

정방 행렬의 경우 개념 메인과 사이드대각선.

정의 1.3.메인 대각선정방 행렬은 인덱스가 동일한 요소, 즉 . 요소는 다음과 같습니다. ㅏ 11,22,…

정의 1.4. 대각선주대각선의 요소를 제외한 모든 요소가 0인 경우

정의 1.5.정방 행렬은 삼각형, 주 대각선 아래(또는 위)에 있는 모든 요소가 0인 경우.

정의 1.6.정방행렬 피-주 대각선의 모든 요소가 1이고 나머지가 0인 차수를 이라고 합니다. 하나의행렬 N th 순서이며 문자로 표시됩니다. 이자형.

정의 1.7.모든 크기의 행렬을 호출합니다. 없는,또는 널 행렬,모든 요소가 0인 경우.

정의 1.8.단일 행 행렬을 호출합니다. 행 행렬.

정의 1.9.열이 하나인 행렬을 호출합니다. 열 행렬.

A = (아 11 ㅏ 12 ... ㅏ 1N) -행렬 행;

정의 1.10.두 개의 행렬 하지만그리고 에같은 크기라고 합니다 동일한,이 행렬의 모든 해당 요소가 동일한 경우, 즉 아이즈 = 비즈어떠한 것도 나= 1, 2, ..., 티; j = 1, 2,…, N.

행렬 연산

행렬과 숫자에 대해 여러 연산을 수행할 수 있습니다. 행렬에 대한 주요 연산은 행렬의 덧셈(뺄셈), 행렬에 숫자의 곱셈, 행렬의 곱셈입니다. 이러한 연산은 숫자 연산과 유사합니다. 특정 작업은 행렬 전치입니다.

행렬에 숫자 곱하기

정의 1.11.행렬 A를 숫자로 곱한 것λ는 행렬이라고 합니다. B = 에이,행렬의 요소를 곱하여 요소를 얻습니다. 하지만숫자 λ .

예 1.1.행렬의 곱 찾기 답= 5번으로.

해결책. .◄ 5A=

행렬에 숫자를 곱하는 규칙: 행렬에 숫자를 곱하려면 행렬의 모든 요소에 해당 숫자를 곱해야 합니다.

결과.

1. 행렬의 모든 요소의 공통 요소는 행렬의 부호에서 빼낼 수 있습니다.

2. 매트릭스 제품 하지만숫자 0에는 0 행렬이 있습니다. 하지만· 0 = 0 .

행렬 덧셈

정의 1.12.두 행렬 A와 B의 합같은 크기 엔매트릭스라고 불리는 에서= 하지만+ 에, 행렬의 해당 요소를 더하여 요소를 얻습니다. 하지만및 행렬 에, 즉. cij = aij + bij~을 위한 나는 = 1, 2, ..., 중; 제이= 1, 2, ..., N(즉, 행렬이 요소별로 추가됨).

결과.행렬 합 하지만 0 행렬은 원래 행렬과 같습니다. 에이 + 오 = 에이.

1.2.3. 행렬 빼기

두 행렬의 차이이전 작업을 통해 동일한 크기가 결정됩니다. A - B \u003d A + (- 1)에.

정의 1.13.행렬 -A = (- 1)하지만~라고 불리는 반대행렬 하지만.

결과.반대 행렬의 합은 0행렬과 같습니다. : A + (-A) \u003d O.

행렬 곱셈

정의 1.14.행렬 A와 행렬 B의 곱첫 번째 행렬의 열 수가 두 번째 행렬의 행 개수와 같을 때 정의됩니다. 그 다음에 매트릭스 제품그러한 행렬은 , 각 요소의 시지요소의 곱의 합과 같습니다. 나-행렬의 행 하지만관련 요소에 제이-행렬의 열 비.

예 1.4.행렬의 곱 계산 에이비어디

답=

예 1.5.행렬의 곱 찾기 AB그리고 버지니아,어디

비고.예제 1.4–1.5에서 행렬 곱셈의 연산은 숫자의 곱셈과 몇 가지 차이점이 있음을 알 수 있습니다.

1) 행렬의 곱인 경우 AB존재하고 요인을 재배열한 후 행렬의 곱 버지니아존재하지 않을 수 있습니다. 실제로 예제 1.4에서 매트릭스 제품 AB는 존재하지만 제품 BA는 존재하지 않습니다.

2) 작동하더라도 AB그리고 버지니아존재하는 경우 제품의 결과는 다양한 크기의 행렬이 될 수 있습니다. 둘 다 작동하는 경우 AB그리고 버지니아존재하고 둘 다 같은 크기의 행렬인 경우(이는 같은 차수의 정방 행렬을 곱할 때만 가능함), 곱셈의 가환(변위) 법칙은 여전히 성립하지 않으며,저것들. 에이비 예 1.5에서와 같이 A에서;

3) 그러나 정방행렬을 곱하면 하지만항등 행렬에 이자형같은 순서, 그럼 AE = EA = 에이.

따라서 단위 행렬은 행렬 곱셈에서 숫자 1이 숫자 곱셈에서 수행하는 것과 동일한 역할을 합니다.

4) 0이 아닌 두 행렬의 곱은 0 행렬과 같을 수 있습니다. 에이비= 0, 다음을 따르지 않음 A = 0 또는 나= 0.

1학년, 고등수학, 공부 행렬그리고 그들에 대한 기본 조치. 여기서 우리는 행렬로 수행할 수 있는 주요 작업을 체계화합니다. 행렬을 시작하는 방법? 물론 가장 단순한 것부터 - 정의, 기본 개념 및 가장 간단한 작업. 우리는 행렬에 최소한의 시간을 할애하는 모든 사람이 행렬을 이해할 것이라고 확신합니다!

행렬 정의

행렬요소의 직사각형 테이블입니다. 글쎄, 만약 평범한 언어- 숫자 테이블.

행렬은 일반적으로 대문자 라틴 문자로 표시됩니다. 예를 들어, 매트릭스 ㅏ , 행렬 비 등등. 행렬은 크기가 다양할 수 있습니다. 직사각형, 정사각형, 벡터라고 하는 행 행렬과 열 행렬도 있습니다. 행렬의 크기는 행과 열의 수에 의해 결정됩니다. 예를 들어, 다음 크기의 직사각형 행렬을 작성해 보겠습니다. 중 에 N , 어디 중 는 줄의 수이고 N 열의 수입니다.

요소 나는=제 (에이11, 에22, .. )는 행렬의 주대각선을 형성하며 대각선이라고 합니다.

행렬로 무엇을 할 수 있습니까? 더하기/빼기, 숫자를 곱하다, 서로 번식하다, 바꾸어 놓다. 이제 행렬에 대한 이러한 모든 기본 연산에 대해 순서대로 설명합니다.

행렬 더하기 및 빼기 연산

같은 크기의 행렬만 추가할 수 있음을 즉시 경고합니다. 결과는 동일한 크기의 행렬입니다. 행렬을 더하기(또는 빼기)는 쉽습니다 − 해당 요소를 추가하기만 하면 됩니다. . 예를 들어 보겠습니다. 크기가 2인 두 행렬 A와 B의 덧셈을 2x2로 수행해 보겠습니다.

빼기는 반대 부호로만 유추하여 수행됩니다.

모든 행렬에 임의의 숫자를 곱할 수 있습니다. 이것을하기 위해, 각 요소에 이 수를 곱해야 합니다. 예를 들어, 첫 번째 예의 행렬 A에 숫자 5를 곱해 보겠습니다.

행렬 곱셈 연산

모든 행렬이 서로 곱해질 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어, A와 B라는 두 개의 행렬이 있습니다. 행렬 A의 열 수가 행렬 B의 행 수와 같은 경우에만 서로 곱할 수 있습니다. 또한 i번째 행에 있는 결과 행렬의 각 요소 및 j번째 열, 는 해당 요소의 곱의 합과 같습니다. i번째 라인첫 번째 요소와 두 번째 요소의 j번째 열. 이 알고리즘을 이해하기 위해 두 개의 정사각형 행렬을 곱하는 방법을 적어 보겠습니다.

그리고 실수가 있는 예입니다. 행렬을 곱해 보겠습니다.

행렬 전치 연산

행렬 전치는 해당 행과 열을 교환하는 작업입니다. 예를 들어, 첫 번째 예에서 행렬 A를 전치합니다.

행렬 행렬식

행렬식, 오 행렬식은 선형 대수의 기본 개념 중 하나입니다. 옛날 옛적에 사람들은 선형 방정식을 생각해 냈고 그 후에 행렬식을 발명해야 했습니다. 결국, 이 모든 것을 처리하는 것은 당신에게 달려 있으므로 마지막 푸시!

행렬식은 정방행렬의 수치적 특성으로 많은 문제를 푸는 데 필요합니다.
가장 단순한 정사각형 행렬의 행렬식을 계산하려면 주대각선과 보조대각선 요소의 곱 간의 차이를 계산해야 합니다.

1차 행렬, 즉 하나의 요소로 구성된 행렬의 행렬식은 이 요소와 같습니다.

행렬이 3x3이면? 이것은 더 어렵지만 할 수 있습니다.

이러한 행렬의 경우 행렬식의 값은 주 대각선 요소의 곱과 주 대각선에 평행한 면을 가진 삼각형에 있는 요소의 곱의 합과 같습니다. 2차 대각선의 제곱과 2차 대각선에 평행한 면을 가진 삼각형에 있는 요소의 곱을 뺍니다.

다행히 큰 행렬의 행렬식을 실제로 계산할 필요는 거의 없습니다.

여기에서 우리는 행렬에 대한 기본 연산을 고려했습니다. 물론 실생활에서는 방정식의 행렬 시스템에 대한 힌트조차 발견할 수 없으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 정말 정신을 가다듬어야 할 때 훨씬 더 복잡한 경우가 발생할 수 있습니다. 전문 학생 서비스가있는 경우입니다. 도움을 요청하고, 고품질의 상세한 솔루션을 얻고, 학업 성취와 자유 시간을 즐기십시오.

이 가이드는 행렬 연산: 행렬의 덧셈(뺄셈), 행렬의 전치, 행렬의 곱셈, 행렬의 역행렬 찾기. 모든 자료는 간단하고 접근 가능한 형식으로 제공되며 관련 예제가 제공되므로 준비가 되지 않은 사람도 행렬을 사용하여 작업을 수행하는 방법을 배울 수 있습니다. 자기 통제 및 자체 테스트를 위해 행렬 계산기를 무료로 다운로드할 수 있습니다 >>>.

나는 이론적 계산을 최소화하려고 노력할 것이며, 어떤 곳에서는 "손가락에 대한"설명과 비과학적인 용어의 사용이 가능합니다. 견실한 이론을 사랑하는 분들은 비판하지 말아주세요. 우리의 과제는 행렬로 작업하는 방법 배우기.

주제에 대한 SUPER-FAST 준비를 위해(누가 "굽는") 집중 pdf 과정이 있습니다. 행렬, 행렬식 및 오프셋!

행렬은 일부의 직사각형 테이블입니다. 집단. 처럼 집단우리는 숫자, 즉 숫자 행렬을 고려할 것입니다. 요소는 용어입니다. 용어를 기억하는 것이 바람직합니다. 자주 발생합니다. 강조 표시하기 위해 굵게 사용한 것은 우연이 아닙니다.

지정:행렬은 일반적으로 대문자 라틴 문자로 표시됩니다.

예시: 2x3 행렬을 고려하십시오.

이 매트릭스는 6개의 집단:

행렬 내부의 모든 숫자(요소)는 자체적으로 존재합니다. 즉, 뺄셈에 대한 문제가 없습니다.

그것은 숫자의 테이블(세트)일 뿐입니다!

우리도 동의할 것이다 재정렬하지 마십시오설명에 달리 명시되지 않는 한 번호. 각 번호에는 고유한 위치가 있으며 섞을 수 없습니다!

문제의 행렬에는 두 개의 행이 있습니다.

세 개의 열:

기준: 행렬의 차원에 대해 말할 때 첫 번째행 수를 표시한 다음에만 열 수를 나타냅니다. 우리는 2x3 행렬을 분해했습니다.

행렬의 행과 열의 수가 같으면 행렬을 호출합니다 정사각형, 예를 들어: 는 3x3 행렬입니다.

행렬에 하나의 열 또는 하나의 행이 있는 경우 이러한 행렬은 벡터.

사실, 우리는 학교 때부터 행렬의 개념을 알고 있습니다. 예를 들어 좌표가 "x"와 "y"인 점을 고려하십시오. 기본적으로 점의 좌표는 1x2 행렬에 기록됩니다. 그건 그렇고, 여기에 숫자의 순서가 중요한 이유에 대한 예가 있습니다. 및 는 평면의 완전히 다른 두 점입니다.

이제 연구로 넘어갑시다. 행렬 연산:

1) 액션 1. 행렬에서 빼기(행렬에 빼기 도입).

매트릭스로 돌아가기 . 눈치채셨겠지만 이 행렬에는 음수가 너무 많습니다. 이것은 매트릭스로 다양한 동작을 수행한다는 점에서 매우 불편하고, 너무 많은 마이너스를 작성하는 것이 불편하고, 디자인에서 보기 흉할 뿐입니다.