मैट्रिक्स की समानता, समकक्ष मैट्रिक्स। समतुल्य मैट्रिसेस सिस्टम के प्राथमिक परिवर्तन

हमारा तात्कालिक लक्ष्य यह साबित करना है कि प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके किसी भी मैट्रिक्स को कुछ मानक रूपों में घटाया जा सकता है। इस पथ में तुल्य आव्यूह की भाषा उपयोगी है।

रहने दो। हम कहेंगे कि मैट्रिक्स l_equivalent (n_equivalent या समकक्ष) मैट्रिक्स के लिए और निरूपित (या) यदि मैट्रिक्स को एक सीमित संख्या में पंक्ति (क्रमशः, स्तंभ या पंक्ति और स्तंभ) प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स से प्राप्त किया जा सकता है। यह स्पष्ट है कि n_equivalent और n_equivalent मैट्रिसेस समतुल्य हैं।

सबसे पहले, हम दिखाएंगे कि किसी भी मैट्रिक्स को केवल पंक्ति परिवर्तन द्वारा एक विशेष रूप में कम किया जा सकता है जिसे कम किया जाता है।

रहने दो। वे कहते हैं कि इस मैट्रिक्स की एक गैर-शून्य पंक्ति का एक छोटा रूप होता है यदि इसमें 1 के बराबर ऐसा तत्व होता है कि स्तंभ के सभी तत्व, इसके अलावा, शून्य के बराबर होते हैं। चिह्नित सिंगल लाइन एलिमेंट को इस लाइन का लीडिंग एलिमेंट कहा जाएगा और इसे एक सर्कल में बंद कर दिया जाएगा। दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स की एक पंक्ति में एक छोटा रूप होता है यदि इस मैट्रिक्स में फॉर्म का एक कॉलम होता है

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स में

रेखा का छोटा रूप है, क्योंकि। ध्यान दें कि इस उदाहरण में, तत्व भी पंक्ति की धुरी होने का दावा करता है। इस प्रकार, यदि दिए गए प्रकार की पंक्ति में कई तत्व हैं जिनमें अग्रणी के गुण हैं, तो हम उनमें से केवल एक को मनमाने तरीके से चुनेंगे।

एक मैट्रिक्स को एक छोटा रूप कहा जाता है यदि इसकी प्रत्येक गैर-शून्य पंक्तियों में एक छोटा रूप होता है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स

छोटा रूप है।

प्रस्ताव 1.3 किसी भी मैट्रिक्स के लिए, कम रूप का एक l_equivalent मैट्रिक्स मौजूद है।

दरअसल, यदि मैट्रिक्स का रूप (1.1) है और, इसमें प्राथमिक परिवर्तन करने के बाद

हमें मैट्रिक्स मिलता है

जिसमें रेखा का छोटा रूप होता है।

दूसरे, यदि मैट्रिक्स में पंक्ति कम हो जाती है, तो प्राथमिक परिवर्तन (1.20) करने के बाद मैट्रिक्स पंक्ति कम हो जाएगी। दरअसल, दिए गए कॉलम के बाद से एक कॉलम ऐसा है कि

लेकिन तब और, परिणामस्वरूप, परिवर्तन (1.20) करने के बाद, कॉलम नहीं बदलता है, अर्थात। ... इसलिए, रेखा का छोटा रूप है।

अब यह स्पष्ट है कि उपरोक्त तरीके से मैट्रिक्स की प्रत्येक गैर-शून्य पंक्ति को बारी-बारी से बदलने से, चरणों की एक सीमित संख्या के बाद, हमें कम रूप का एक मैट्रिक्स मिलता है। चूंकि मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए केवल पंक्ति प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग किया गया था, यह मैट्रिक्स के लिए l_equivalent है। >

उदाहरण 7. एक छोटा रूप मैट्रिक्स बनाएं, जो मैट्रिक्स के बराबर है

समतुल्य मैट्रिक्स

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, ऑर्डर s के मैट्रिक्स का नाबालिग किसी भी चयनित s पंक्तियों और s कॉलम के चौराहे पर स्थित मूल मैट्रिक्स के तत्वों से बने मैट्रिक्स का निर्धारक है।

परिभाषा। ऑर्डर एमएन के एक मैट्रिक्स में, ऑर्डर आर के नाबालिग को मूल कहा जाता है यदि यह शून्य के बराबर नहीं है, और ऑर्डर आर + 1 और उच्चतर के सभी नाबालिग शून्य के बराबर हैं, या बिल्कुल मौजूद नहीं हैं, यानी। r m या n के छोटे से मेल खाता है।

मैट्रिक्स के कॉलम और रो जिस पर बेसिक माइनर स्थित होता है, उसे बेसिक भी कहा जाता है।

मैट्रिक्स में एक ही क्रम के साथ कई अलग-अलग बुनियादी नाबालिग हो सकते हैं।

परिभाषा। मैट्रिक्स के बेसिक माइनर के क्रम को मैट्रिक्स का रैंक कहा जाता है और इसे Rg A द्वारा दर्शाया जाता है।

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों की एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि वे मैट्रिक्स के रैंक को नहीं बदलते हैं।

परिभाषा। प्रारंभिक परिवर्तन के परिणामस्वरूप प्राप्त मैट्रिक्स को समतुल्य कहा जाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समान मैट्रिक्स और समकक्ष मैट्रिक्स पूरी तरह से अलग अवधारणाएं हैं।

प्रमेय। मैट्रिक्स में रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभों की सबसे बड़ी संख्या रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या के बराबर है।

चूंकि प्राथमिक परिवर्तन मैट्रिक्स के रैंक को नहीं बदलते हैं, फिर मैट्रिक्स के रैंक को खोजने की प्रक्रिया को काफी सरल बनाया जा सकता है।

उदाहरण। मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करें।

2. उदाहरण: मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करें।

यदि, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, मूल एक के बराबर एक मैट्रिक्स खोजना संभव नहीं है, लेकिन एक छोटे आकार का है, तो मैट्रिक्स के रैंक को खोजने के लिए उच्चतम संभव क्रम के नाबालिगों की गणना के साथ शुरू होना चाहिए। उपरोक्त उदाहरण में, ये क्रम 3 के अवयस्क हैं। यदि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है, तो मैट्रिक्स का पद इस नाबालिग के क्रम के बराबर है।

मूल लघु प्रमेय।

प्रमेय। एक मनमाना मैट्रिक्स ए में, प्रत्येक कॉलम (पंक्ति) कॉलम (पंक्तियों) का एक रैखिक संयोजन होता है जिसमें बेस माइनर स्थित होता है।

इस प्रकार, एक मनमाना मैट्रिक्स A की रैंक मैट्रिक्स में रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों (स्तंभों) की अधिकतम संख्या के बराबर है।

यदि A एक वर्ग आव्यूह है और det A = 0 है, तो कम से कम एक स्तंभ अन्य स्तंभों का एक रैखिक संयोजन है। स्ट्रिंग्स के लिए भी यही सच है। यह कथन शून्य के बराबर सारणिक के साथ रैखिक निर्भरता के गुण का अनुसरण करता है।

रैखिक समीकरणों की मनमानी प्रणालियों को हल करना

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, मैट्रिक्स विधि और क्रैमर की विधि केवल रैखिक समीकरणों की उन प्रणालियों पर लागू होती है जिनमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है। इसके बाद, रैखिक समीकरणों की मनमानी प्रणालियों पर विचार करें।

परिभाषा। n अज्ञात के साथ m समीकरणों की प्रणाली को आम तौर पर निम्नानुसार लिखा जाता है:

जहां aij गुणांक हैं और bi स्थिरांक हैं। सिस्टम के समाधान n संख्याएं हैं, जिन्हें सिस्टम में प्रतिस्थापित करने पर, इसके प्रत्येक समीकरण को एक पहचान में बदल दिया जाता है।

परिभाषा। यदि किसी प्रणाली में कम से कम एक समाधान होता है, तो इसे संयुक्त कहा जाता है। यदि सिस्टम में एक भी समाधान नहीं है, तो इसे असंगत कहा जाता है।

परिभाषा। एक प्रणाली को निश्चित कहा जाता है यदि इसका केवल एक ही समाधान होता है और एक से अधिक होने पर अनिश्चित होता है।

परिभाषा। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए, मैट्रिक्स

ए = को सिस्टम का मैट्रिक्स कहा जाता है, और मैट्रिक्स

ए * = सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स कहा जाता है

परिभाषा। यदि b1, b2,…, bm = 0, तो निकाय को समांगी कहते हैं। एक सजातीय प्रणाली हमेशा संगत होती है, क्योंकि हमेशा शून्य समाधान होता है।

प्राथमिक प्रणाली परिवर्तन

प्राथमिक परिवर्तनों में शामिल हैं:

1) एक समीकरण के दोनों पक्षों में दूसरे के संगत भागों को जोड़ने पर, समान संख्या से गुणा किया जाता है, शून्य के बराबर नहीं।

2) स्थानों में समीकरणों का क्रमपरिवर्तन।

3) समीकरणों के निकाय से हटाना जो सभी x के लिए सर्वसमिकाएँ हैं।

क्रोनकर - कैपेली प्रमेय (सिस्टम के लिए अनुकूलता की स्थिति)।

(लियोपोल्ड क्रोनकर (1823-1891) जर्मन गणितज्ञ)

प्रमेय: एक प्रणाली सुसंगत है (कम से कम एक समाधान है) यदि और केवल अगर सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है।

यह स्पष्ट है कि प्रणाली (1) के रूप में लिखा जा सकता है।

एक नए आधार पर संक्रमण।

मान लीजिए (1) और (2) एक ही m-आयामी रैखिक समष्टि X के दो आधार हैं।

चूँकि (1) एक आधार है, इसके ऊपर दूसरे आधार के सदिशों का विस्तार करना संभव है:

गुणांकों से, हम मैट्रिक्स की रचना करते हैं:

(4) - आधार (1) से आधार (2) के संक्रमण में निर्देशांक का मैट्रिक्स परिवर्तन।

मान लीजिए कि एक सदिश है, फिर (5) और (6)।

संबंध (7) का अर्थ है कि

मैट्रिक्स पी गैर-पतित है, अन्यथा इसके स्तंभों के बीच और फिर वैक्टर के बीच एक रैखिक संबंध होगा।

विलोम भी सत्य है: कोई भी गैर-डीजेनरेट मैट्रिक्स सूत्रों (8) द्वारा परिभाषित एक समन्वय परिवर्तन मैट्रिक्स है। चूंकि पी एक गैर-पतित मैट्रिक्स है, तो इसके लिए एक व्युत्क्रम है। (8) के दोनों पक्षों को गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं: (9)।

मान लीजिए कि रैखिक स्थान X: (10), (11), (12) में 3 आधार चुने जाते हैं।

जहां, यानी। (13)।

उस। निर्देशांक के अनुक्रमिक परिवर्तन के साथ, परिणामी परिवर्तन का मैट्रिक्स परिवर्तन घटकों के मैट्रिक्स के उत्पाद के बराबर होता है।

मान लीजिए कि एक रैखिक संकारक है और मान लीजिए कि X: (I) और (II), और Y - (III) और (IV) में आधारों का एक युग्म चुना गया है।

आधार I - III की एक जोड़ी में ऑपरेटर A समानता से मेल खाता है: (14)। आधार II - IV की एक जोड़ी में एक ही ऑपरेटर समानता से मेल खाता है: (15)। उस। किसी दिए गए ऑपरेटर ए के लिए, हमारे पास दो मैट्रिक्स हैं और। हम उनके बीच संबंध स्थापित करना चाहते हैं।

I से III के संक्रमण में P को समन्वय परिवर्तन मैट्रिक्स होने दें।

Q II से IV के संक्रमण में समन्वय परिवर्तन मैट्रिक्स होने दें।

फिर (16), (17)। (16) और (17) से (14) के लिए और से व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस समानता की तुलना (15) से करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

रिलेशन (19) एक ही ऑपरेटर के मैट्रिक्स को अलग-अलग बेस में जोड़ता है। मामले में जब रिक्त स्थान X और Y मेल खाते हैं, III आधार की भूमिका I द्वारा निभाई जाती है, और IV - II द्वारा निभाई जाती है, तो संबंध (19) रूप लेता है:।

ग्रंथ सूची:

3. कोस्ट्रिकिन ए.आई. बीजगणित का परिचय। भाग द्वितीय। बीजगणित के मूल सिद्धांत: विश्वविद्यालयों के लिए एक पाठ्यपुस्तक, -एम। : भौतिक और गणितीय साहित्य, 2000, 368 पी।

व्याख्यान संख्या 16 (द्वितीय सेमेस्टर)

थीम: मैट्रिक्स की तुल्यता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त।

समान आकार के दो आव्यूह A और B कहलाते हैं समकक्षयदि दो गैर-अपक्षयी आव्यूह R और S इस प्रकार हैं कि (1)।

उदाहरण:रैखिक रिक्त स्थान X और Y में आधारों के विभिन्न विकल्पों के लिए एक ही संकारक के संगत दो आव्यूह समतुल्य हैं।

यह स्पष्ट है कि उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करते हुए समान आकार के सभी आव्यूहों के समुच्चय पर परिभाषित संबंध एक तुल्यता संबंध है।

प्रमेय 8: समान आकार के दो आयताकार मैट्रिक्स के समतुल्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे एक ही रैंक के हों।

सबूत:

1. मान लीजिए कि A और B दो आव्यूह हैं जिनके लिए यह समझ में आता है। उत्पाद की रैंक (मैट्रिक्स सी) प्रत्येक कारक के रैंक से अधिक नहीं है।

हम देखते हैं कि मैट्रिक्स C का k-th कॉलम मैट्रिक्स A के कॉलम के वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है और यह मैट्रिक्स C के सभी कॉलम के लिए सही है, अर्थात। सबके लिए। उस। , अर्थात। - रैखिक स्थान का उप-स्थान।

चूंकि और चूंकि उप-स्थान का आयाम अंतरिक्ष के आयाम से कम या उसके बराबर है, इसलिए मैट्रिक्स सी की रैंक मैट्रिक्स ए के रैंक से कम या उसके बराबर है।

आइए हम सूचकांक i को समानता (2) में ठीक करें और k को 1 से s तक सभी संभावित मान निर्दिष्ट करें। तब हम सिस्टम (3) के समान समानता की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

समानता (4) से यह देखा जा सकता है कि मैट्रिक्स सी की आई-वें पंक्ति सभी के लिए मैट्रिक्स बी की पंक्तियों का एक रैखिक संयोजन है, और फिर मैट्रिक्स सी की पंक्तियों द्वारा फैले रैखिक हल को रैखिक हल में समाहित किया जाता है मैट्रिक्स बी की पंक्तियों द्वारा, और फिर रैखिक पतवार के आयाम मैट्रिक्स बी के पंक्ति वैक्टर के रैखिक पतवार के आयाम से कम या उसके बराबर है, जिसका अर्थ है कि मैट्रिक्स सी की रैंक से कम है या मैट्रिक्स बी के रैंक के बराबर।

2. मैट्रिक्स ए के उत्पाद की रैंक बाईं ओर और दाईं ओर एक गैर-डीजेनरेट वर्ग मैट्रिक्स क्यू द्वारा मैट्रिक्स ए के रैंक के बराबर है। ()। वे। मैट्रिक्स C की रैंक मैट्रिक्स A की रैंक के बराबर है।

सबूत:मामले (1) में जो साबित हुआ उसके अनुसार। चूंकि मैट्रिक्स क्यू गैर-पतित नहीं है, तो इसके लिए मौजूद है: और पिछले बयान में जो साबित हुआ था उसके अनुसार।

3. आइए हम सिद्ध करें कि यदि आव्यूह तुल्य हैं, तो उनकी रैंक समान होती है। परिभाषा के अनुसार, ए और बी समकक्ष हैं यदि आर और एस ऐसे हैं। चूंकि A को बाईं ओर R से और दाईं ओर S से गुणा करने पर समान रैंक के मैट्रिक्स प्राप्त होते हैं, जैसा कि आइटम (2) में साबित होता है, A की रैंक B की रैंक के बराबर होती है।

4. मान लीजिए कि आव्यूह A और B एक ही रैंक के हैं। आइए हम साबित करें कि वे समकक्ष हैं। विचार करना।

मान लीजिए X और Y दो रैखिक स्थान हैं जिनमें आधार (आधार X) और (आधार Y) चुने गए हैं। जैसा कि ज्ञात है, फॉर्म का कोई भी मैट्रिक्स एक्स से वाई तक अभिनय करने वाले कुछ रैखिक ऑपरेटर को परिभाषित करता है।

चूँकि r मैट्रिक्स A की रैंक है, सदिशों के बीच बिल्कुल r रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश हैं। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि पहले आर वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। फिर अन्य सभी उनके माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं, और आप लिख सकते हैं:

हम अंतरिक्ष X में एक नया आधार इस प्रकार परिभाषित करते हैं:। (7)

अंतरिक्ष Y में नया आधार इस प्रकार है:

सदिश, शर्त के अनुसार, रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं। आइए Y: (8) के आधार तक उन्हें कुछ वैक्टर के साथ पूरक करें। तो (7) और (8) दो नए आधार एक्स और वाई हैं। आइए इन आधारों में ऑपरेटर ए के मैट्रिक्स को खोजें:

तो, आधारों की नई जोड़ी में, ऑपरेटर ए का मैट्रिक्स मैट्रिक्स जे है। मैट्रिक्स ए मूल रूप से फॉर्म का एक मनमाना आयताकार मैट्रिक्स था, रैंक आर। चूंकि विभिन्न आधारों में एक ही संकारक के आव्यूह समतुल्य होते हैं, यह दर्शाता है कि रैंक r के रूप का कोई भी आयताकार आव्यूह J के समतुल्य है। फॉर्म और रैंक r, मैट्रिक्स J के समतुल्य होने के कारण एक दूसरे के समतुल्य हैं।

ग्रंथ सूची:

1. वोवोडिन वी.वी. लीनियर अलजेब्रा। सेंट पीटर्सबर्ग: लैन, 2008, 416 पी।

2. Beklemishev DV विश्लेषणात्मक ज्यामिति और रैखिक बीजगणित का पाठ्यक्रम। मॉस्को: फ़िज़मैटलिट, 2006, 304 पी।

3. कोस्ट्रिकिन ए.आई. बीजगणित का परिचय। भाग द्वितीय। बीजगणित के मूल सिद्धांत: विश्वविद्यालयों के लिए एक पाठ्यपुस्तक, -एम। : भौतिक और गणितीय साहित्य, 2000, 368 पी।

व्याख्यान संख्या 17 (द्वितीय सेमेस्टर)

थीम: eigenvalues ​​और eigenvectors। आइजेनस्पेस। उदाहरण।

मैट्रिक्स की समानता और तुल्यता की अवधारणाएं अक्सर सामने आती हैं।

परिभाषा 1

मैट्रिक्स $ A = \ बाएँ (a_ (ij) \ दाएँ) _ (m \ बार n) $ को मैट्रिक्स के बराबर कहा जाता है $ B = \ बाएँ (b_ (ij) \ दाएँ) _ (k \ बार l) $ , यदि उनके आयाम $ (m = k, n = l) $ मेल खाते हैं और तुलना किए गए मैट्रिक्स के संबंधित तत्व एक दूसरे के बराबर हैं।

सामान्य रूप में लिखे गए दूसरे क्रम के आव्यूहों के लिए, आव्यूहों की समानता को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उदाहरण 1

दिए गए मैट्रिक्स:

1) $ ए = \ बाएँ (\ शुरू (सरणी) (सीसी) (2) और (0) \\ (-1) और (3) \ अंत (सरणी) \ दाएँ), बी = \ बाएँ (\ शुरू ( सरणी) (सीसी) (2) और (0) \\ (-1) और (3) \ अंत (सरणी) \ दाएं) $;

2) $ A = \ बाएँ (\ start (सरणी) (cc) (2) और (0) \\ (-1) और (3) \ end (सरणी) \ दाएँ), B = \ बाएँ (\ start ( सरणी) (सी) (-3) \\ (2) \ अंत (सरणी) \ दाएं) $;

3) $ A = \ बाएँ (\ start (सरणी) (cc) (2) और (0) \\ (-1) और (3) \ end (सरणी) \ दाएँ), B = \ बाएँ (\ start ( सरणी) (सीसी) (2) और (4) \\ (1) और (3) \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

निर्धारित करें कि क्या मैट्रिक्स बराबर हैं।

1) $ ए = \ बाएँ (\ शुरू (सरणी) (सीसी) (2) और (0) \\ (-1) और (3) \ अंत (सरणी) \ दाएँ), बी = \ बाएँ (\ शुरू ( सरणी) (सीसी) (2) और (0) \\ (-1) और (3) \ अंत (सरणी) \ दाएं) $

आव्यूह A और B का समान क्रम 2 $ \ गुना $ 2 के बराबर है। तुलना किए गए आव्यूहों के संगत अवयव समान होते हैं, इसलिए आव्यूह समान होते हैं।

2) $ A = \ बाएँ (\ start (सरणी) (cc) (2) और (0) \\ (-1) और (3) \ end (सरणी) \ दाएँ), B = \ बाएँ (\ start ( सरणी) (सी) (-3) \\ (2) \ अंत (सरणी) \ दाएं) $

मैट्रिसेस ए और बी के अलग-अलग ऑर्डर हैं, क्रमशः 2 $ \ बार $ 2 और 2 $ \ बार $ 1 के बराबर।

3) $ A = \ बाएँ (\ start (सरणी) (cc) (2) और (0) \\ (-1) और (3) \ end (सरणी) \ दाएँ), B = \ बाएँ (\ start ( सरणी) (सीसी) (2) और (4) \\ (1) और (3) \ अंत (सरणी) \ दाएं) $

आव्यूह A और B का समान क्रम 2 $ \ गुना $ 2 के बराबर है। हालांकि, तुलना किए गए आव्यूह के सभी संगत अवयव समान नहीं होते हैं, इसलिए आव्यूह समान नहीं होते हैं।

परिभाषा 2

एक मैट्रिक्स का प्रारंभिक परिवर्तन एक ऐसा परिवर्तन है जिसके परिणामस्वरूप मैट्रिक्स की तुल्यता बनी रहती है। दूसरे शब्दों में, एक प्रारंभिक परिवर्तन रैखिक बीजीय समीकरणों (SLAE) की प्रणाली के समाधान के सेट को नहीं बदलता है जो कि दिया गया मैट्रिक्स दर्शाता है।

मैट्रिक्स स्ट्रिंग्स के प्राथमिक परिवर्तनों में शामिल हैं:

• एक मैट्रिक्स की एक पंक्ति को एक गैर-शून्य संख्या $ k $ से गुणा करना (मैट्रिक्स का निर्धारक $ k $ गुना बढ़ जाता है);
• मैट्रिक्स की किन्हीं दो पंक्तियों का क्रमपरिवर्तन;
• मैट्रिक्स की एक पंक्ति के तत्वों में इसकी दूसरी पंक्ति के तत्वों को जोड़ना।

यही बात मैट्रिक्स के कॉलम पर भी लागू होती है और इसे प्राथमिक कॉलम ट्रांसफॉर्मेशन कहा जाता है।

परिभाषा 3

यदि मैट्रिक्स ए से प्रारंभिक परिवर्तन के माध्यम से हम मैट्रिक्स बी में चले गए हैं, तो मूल और परिणामी मैट्रिक्स को समकक्ष कहा जाता है। मैट्रिक्स की समानता को इंगित करने के लिए, "$ \ sim $" चिह्न का उपयोग करें, उदाहरण के लिए, $ A \ sim B $।

उदाहरण 2

एक मैट्रिक्स दिया गया: $ ए = \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी) (-2) और (1) और (4) \\ (1) और (0) और (3) \\ (1) और ( 2 ) और (3) \ अंत (सरणी) \ दाएँ) $।

बारी-बारी से मैट्रिक्स पंक्तियों के प्राथमिक परिवर्तन करें।

आइए मैट्रिक्स ए की पहली पंक्ति और दूसरी पंक्ति को स्वैप करें:

आइए मैट्रिक्स बी की पहली पंक्ति को संख्या 2 से गुणा करें:

मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति जोड़ें:

परिभाषा 4

एक चरणबद्ध मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

• यदि मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति है, तो इसके नीचे की सभी पंक्तियाँ भी शून्य हैं;
• प्रत्येक गैर-शून्य रेखा का पहला गैर-शून्य तत्व इस एक के ऊपर की रेखा पर धुरी तत्व के दाईं ओर स्थित होना चाहिए।

उदाहरण 3

मैट्रिक्स $ A = \ बाएँ (\ start (सरणी) (ccc) (1) और (2) और (3) \\ (0) और (2) और (7) \\ (0) और (0) और ( 3) \ अंत (सरणी) \ दाएं) $ और $ बी = \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी) (1) और (2) और (3) \\ (0) और (2) और (7) \\ (0) और (0) और (0) \ अंत (सरणी) \ दाएं) $ चरण मैट्रिक्स हैं।

टिप्पणी

समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करना संभव है।

उदाहरण 4

एक मैट्रिक्स दिया गया: $ ए = \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी) (-2) और (1) और (4) \\ (1) और (0) और (3) \\ (1) और ( 2 ) और (3) \ अंत (सरणी) \ दाएँ) $। मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करें।

आइए मैट्रिक्स ए की पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करें:

आइए मैट्रिक्स बी की पहली पंक्ति को संख्या 2 से गुणा करें और इसे दूसरी पंक्ति में जोड़ें:

आइए मैट्रिक्स सी की पहली पंक्ति को संख्या -1 से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

D की दूसरी पंक्ति को संख्या -2 से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

$ K = \ बाएँ (\ शुरू (सरणी) (ccc) (1) और (0) और (3) \\ (0) और (1) और (10) \\ (0) और (0) और (- 20) \ end (सरणी) \ दाएँ) $ एक स्टेप्ड मैट्रिक्स है।