फूरियर श्रृंखला में अंतराल के साथ कौन से हार्मोनिक्स होते हैं? त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला में आवधिक गैर-साइनसॉइडल वक्रों का अपघटन

आवधिक गैर-साइनसॉइडल कार्यों का अपघटन

सामान्य परिभाषाएं

भाग 1. रैखिक परिपथों का सिद्धांत (जारी)

विद्युत अभियन्त्रण

सैद्धांतिक आधार

विद्युत शक्ति विशिष्टताओं के छात्रों के लिए अध्ययन मार्गदर्शिका

टी। आवधिक गैर-साइनसॉइडल वर्तमान के इलेक्ट्रिक सर्किट

जैसा कि आप जानते हैं, विद्युत ऊर्जा उद्योग में, एक साइनसॉइडल रूप को धाराओं और वोल्टेज के लिए एक मानक रूप के रूप में अपनाया जाता है। हालांकि, वास्तविक परिस्थितियों में, धाराओं और वोल्टेज के वक्रों के आकार साइनसॉइडल वाले से कुछ हद तक भिन्न हो सकते हैं। रिसीवरों में इन कार्यों के वक्रों की विकृतियों से अतिरिक्त ऊर्जा हानि होती है और उनकी दक्षता में कमी आती है। जनरेटर वोल्टेज वक्र का साइनसोइडल आकार एक वस्तु के रूप में विद्युत ऊर्जा की गुणवत्ता के संकेतकों में से एक है।

एक जटिल सर्किट में धाराओं और वोल्टेज के वक्र के आकार के विरूपण के निम्नलिखित कारण संभव हैं:

1) गैर-रेखीय तत्वों के विद्युत सर्किट में उपस्थिति, जिसके पैरामीटर वर्तमान और वोल्टेज के तात्कालिक मूल्यों पर निर्भर करते हैं [ आर, एल, सी = एफ(तुम, मैं)], (उदाहरण के लिए, रेक्टिफायर, इलेक्ट्रिक वेल्डिंग यूनिट, आदि);

2) पैरामीट्रिक तत्वों के विद्युत सर्किट में उपस्थिति, जिसके पैरामीटर समय के साथ बदलते हैं [ आर, एल, सी = एफ(टी)];

3) विद्युत ऊर्जा का स्रोत (तीन-चरण जनरेटर), डिजाइन सुविधाओं के कारण, एक आदर्श साइनसोइडल आउटपुट वोल्टेज प्रदान नहीं कर सकता है;

4) परिसर में उपरोक्त कारकों का प्रभाव।

टीओई पाठ्यक्रम के अलग-अलग अध्यायों में नॉनलाइनियर और पैरामीट्रिक सर्किट पर विचार किया जाता है। यह अध्याय गैर-साइनसॉइडल वक्र आकार वाले ऊर्जा स्रोतों के संपर्क में आने पर रैखिक विद्युत परिपथों के व्यवहार की जांच करता है।

गणित के पाठ्यक्रम से ज्ञात होता है कि समय का कोई आवर्त फलन एफ(टी) डिरिचलेट स्थितियों को संतुष्ट करने वाले हार्मोनिक फूरियर श्रृंखला द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

यहां ए 0 - निरंतर घटक, - क-वें हार्मोनिक घटक या संक्षिप्त कवें हार्मोनिक। पहले हार्मोनिक को मौलिक कहा जाता है, और बाद के सभी को उच्चतम कहा जाता है।

व्यक्तिगत हार्मोनिक्स के आयाम और करने के लिएफलन के अपघटन के तरीके पर निर्भर न हों एफ(टी) फूरियर श्रृंखला में, जबकि व्यक्तिगत हार्मोनिक्स के प्रारंभिक चरण समय की उत्पत्ति (मूल) की पसंद पर निर्भर करते हैं।

फूरियर श्रृंखला के व्यक्तिगत हार्मोनिक्स को साइन और कोसाइन घटकों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

तब पूरी फूरियर श्रृंखला आकार लेगी:

फूरियर श्रृंखला के दो रूपों के गुणांकों के बीच संबंध इस प्रकार हैं:

अगर क-वें हार्मोनिक और इसके साइन और कोसाइन घटकों को जटिल संख्याओं से बदल दिया जाता है, फिर फूरियर श्रृंखला के गुणांक के बीच संबंध को जटिल रूप में दर्शाया जा सकता है:

यदि गणितीय समीकरण के रूप में समय का एक आवधिक गैर-साइनसॉइडल फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक रूप से दिया जाता है (या व्यक्त किया जा सकता है), तो फूरियर श्रृंखला के गुणांक गणित के पाठ्यक्रम से ज्ञात सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

व्यवहार में, गैर-साइनसॉइडल फ़ंक्शन की जांच की गई एफ(टी) आमतौर पर एक ग्राफिकल आरेख (ग्राफिक रूप से) (चित्र। 118) के रूप में या एक अवधि (तालिका 1) के अंतराल में बिंदुओं (सारणीबद्ध) के निर्देशांक की तालिका के रूप में सेट किया जाता है। उपरोक्त समीकरणों के अनुसार इस तरह के एक फ़ंक्शन का हार्मोनिक विश्लेषण करने के लिए, इसे पहले गणितीय अभिव्यक्ति से बदला जाना चाहिए। ग्राफ़िक या सारणीबद्ध तरीके से दिए गए फ़ंक्शन को गणितीय समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित करना फ़ंक्शन सन्निकटन कहलाता है।

2.1. आवधिक संकेतों का स्पेक्ट्रा

एक आवधिक संकेत (वर्तमान या वोल्टेज) को इस प्रकार की क्रिया कहा जाता है जब एक निश्चित समय अंतराल के बाद तरंग को दोहराया जाता है टीहै, जिसे काल कहते हैं। आवधिक संकेत का सबसे सरल रूप एक हार्मोनिक संकेत या साइनसॉइड है, जो आयाम, अवधि और प्रारंभिक चरण की विशेषता है। अन्य सभी संकेत होंगे बेसुराया गैर sinusoidal... यह दिखाया जा सकता है, और अभ्यास यह साबित करता है कि यदि बिजली आपूर्ति का इनपुट संकेत आवधिक है, तो प्रत्येक शाखा (आउटपुट सिग्नल) में अन्य सभी धाराएं और वोल्टेज भी आवधिक होंगे। इस मामले में, विभिन्न शाखाओं में तरंगें एक दूसरे से भिन्न होंगी।

एक विद्युत परिपथ में आवधिक अहार्मोनिक संकेतों (इनपुट प्रभाव और उनकी प्रतिक्रियाओं) का अध्ययन करने के लिए एक सामान्य तकनीक है, जो एक फूरियर श्रृंखला में संकेतों के अपघटन पर आधारित है। इस तकनीक में यह तथ्य शामिल है कि ऐसे आयामों, आवृत्तियों और प्रारंभिक चरणों के साथ कई हार्मोनिक (यानी साइनसॉइडल) संकेतों का चयन करना हमेशा संभव होता है, जो कि किसी भी समय के निर्देशांक के बीजगणितीय योग के बराबर होता है। जांचे गए गैर-साइनसॉइडल संकेत। तो, उदाहरण के लिए, वोल्टेज तुमअंजीर में। 2.1. तनावों के योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और, चूंकि किसी भी समय समान समानता होती है: ... प्रत्येक पद एक साइनसॉइड है, जिसकी दोलन आवृत्ति अवधि के साथ जुड़ी होती है टीपूर्णांक संबंध।

विचाराधीन उदाहरण के लिए, हमारे पास पहले हार्मोनिक की अवधि है जो गैर-हार्मोनिक सिग्नल की अवधि के साथ मेल खाती हैटी 1 = टी, और दूसरे हार्मोनिक की अवधि आधा आकार हैटी 2 = टी/ 2, यानी। हार्मोनिक्स के तात्कालिक मूल्यों को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:

यहाँ, हार्मोनिक दोलनों के आयाम एक दूसरे के बराबर हैं ( ), और प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर हैं।

चावल। 2.1. पहला और दूसरा हार्मोनिक्स जोड़ने का एक उदाहरण

इनहार्मोनिक संकेत

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, हार्मोनिक घटक, जिसकी अवधि गैर-हार्मोनिक सिग्नल की अवधि के बराबर होती है, कहलाती है सबसे पहलाया बुनियादीसंकेत का हार्मोनिक। अन्य सभी घटकों को उच्च हार्मोनिक घटक कहा जाता है। एक हार्मोनिक, जिसकी आवृत्ति पहले हार्मोनिक की तुलना में k गुना अधिक है (और अवधि, क्रमशः, k गुना कम है), कहलाती है

के - वें हार्मोनिक। अवधि के लिए फ़ंक्शन का औसत मान भी प्रतिष्ठित किया जाता है, जिसे कहा जाता है शून्यहार्मोनिक सामान्य स्थिति में, फूरियर श्रृंखला को विभिन्न आवृत्तियों के हार्मोनिक घटकों की अनंत संख्या के योग के रूप में लिखा जाता है:

जहां k हार्मोनिक की संख्या है; - के - वें हार्मोनिक की कोणीय आवृत्ति;

1 = = 2 / टी- पहले हार्मोनिक की कोणीय आवृत्ति; - शून्य हार्मोनिक।

सामान्य तरंगों के संकेतों के लिए, साहित्य में फूरियर श्रृंखला विस्तार पाया जा सकता है। तालिका 2 आवधिक संकेतों के आठ तरंगों के अपघटन को दर्शाती है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि तालिका 2 में दिए गए अपघटन तब होंगे जब समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को बाईं ओर के आंकड़ों में दर्शाया गया है; जब समय मूल बदल जाता है टीहार्मोनिक्स के प्रारंभिक चरण बदल जाएंगे, जबकि हार्मोनिक्स के आयाम वही रहेंगे। जांच के तहत सिग्नल के प्रकार के आधार पर, वी को या तो वोल्ट में मापा गया मान के रूप में समझा जाना चाहिए, यदि यह वोल्टेज सिग्नल है, या एम्पीयर में मापा गया मान, यदि यह वर्तमान सिग्नल है।

आवधिक कार्यों का फूरियर श्रृंखला विस्तार

तालिका 2

सिग्नल 7 और 8 साइनसॉइड से गेट तत्वों का उपयोग करके सर्किट के माध्यम से बनते हैं।

गैर-साइनसॉइडल सिग्नल बनाने वाले हार्मोनिक घटकों के सेट को इस गैर-हार्मोनिक सिग्नल का स्पेक्ट्रम कहा जाता है। हार्मोनिक्स के इस सेट से अलग और प्रतिष्ठित हैं आयामतथा चरणस्पेक्ट्रम। एक आयाम स्पेक्ट्रम सभी हार्मोनिक्स के आयामों का एक सेट है, जिसे आम तौर पर एक आरेख द्वारा लंबवत रेखाओं के एक सेट के रूप में दर्शाया जाता है, जिसकी लंबाई हार्मोनिक घटकों के आयाम मानों के आनुपातिक (चयनित पैमाने पर) होती है, और क्षैतिज अक्ष पर स्थान इस घटक की आवृत्ति (हार्मोनिक संख्या) द्वारा निर्धारित किया जाता है। चरण स्पेक्ट्रा को समान रूप से सभी हार्मोनिक्स के प्रारंभिक चरणों के एक सेट के रूप में माना जाता है; उन्हें लंबवत रेखाओं के एक सेट के रूप में स्केल करने के लिए भी तैयार किया जाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में प्रारंभिक चरणों को आमतौर पर -180 0 से +180 0 की सीमा में मापा जाता है। अलग-अलग रेखाओं से मिलकर बने स्पेक्ट्रा को कहा जाता है रैखिक या असतत... वर्णक्रमीय रेखाएँ दूरी में हैं एफइसके अलावा जहां एफ- पहले हार्मोनिक की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति अंतराल एफइस प्रकार, आवधिक संकेतों के असतत स्पेक्ट्रा में कई आवृत्तियों के साथ वर्णक्रमीय घटक होते हैं - एफ, 2एफ, 3एफ, 4एफ, 5एफआदि।

उदाहरण 2.1.एक आयताकार संकेत के लिए आयाम और चरण स्पेक्ट्रम का पता लगाएं, जब सकारात्मक और नकारात्मक संकेतों की अवधि समान हो, और अवधि में फ़ंक्शन का औसत मान शून्य हो

सरल, अक्सर उपयोग किए जाने वाले रूपों के संकेतों के लिए, तालिकाओं का उपयोग करके समाधान खोजने की सलाह दी जाती है।

चावल। 2.2. एक आयताकार संकेत का रैखिक आयाम स्पेक्ट्रम

एक आयताकार संकेत के फूरियर श्रृंखला विस्तार से (तालिका 2 - 1 देखें), यह इस प्रकार है कि हार्मोनिक श्रृंखला में केवल विषम हार्मोनिक्स होते हैं, जबकि हार्मोनिक्स के आयाम हार्मोनिक संख्या के अनुपात में घटते हैं। हार्मोनिक्स का आयाम रेखा स्पेक्ट्रम अंजीर में दिखाया गया है। 2.2. साजिश करते समय, यह माना जाता है कि पहले हार्मोनिक (यहां वोल्टेज) का आयाम एक वोल्ट के बराबर है: बी; तो तीसरे हार्मोनिक का आयाम बी, पांचवां - बी, आदि होगा। सभी सिग्नल हार्मोनिक्स के प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर होते हैं, इसलिए, चरण स्पेक्ट्रम में केवल शून्य निर्देशांक होते हैं।

समस्या सुलझा ली गई है।

उदाहरण 2.2.कानून के अनुसार वोल्टेज बदलने के लिए आयाम और चरण स्पेक्ट्रम खोजें: पर - टी/4<टी<टी/4; तुम(टी) = 0 के लिए टी/4<टी<3/4टी... इस तरह का संकेत एक साइनसॉइड से हार्मोनिक सिग्नल के नकारात्मक हिस्से को खत्म करने (गेट तत्वों का उपयोग करने वाले सर्किट में) द्वारा बनता है।

ए) बी)

चावल। 2.3. हाफ-वेव रेक्टिफिकेशन सिग्नल का रैखिक स्पेक्ट्रम: ए) आयाम; बी) चरण

एक साइनसॉइडल वोल्टेज के आधे-लहर सुधार संकेत के लिए (तालिका 2 - 8 देखें), फूरियर श्रृंखला में एक स्थिर घटक (शून्य हार्मोनिक) होता है, पहला हार्मोनिक, और फिर केवल हार्मोनिक्स का एक सेट होता है, जिसके आयाम तेजी से घटते हैं हार्मोनिक संख्या में वृद्धि के साथ। यदि, उदाहरण के लिए, हम V = 100 B का मान रखते हैं, तो प्रत्येक पद को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2V / से गुणा करते हुए, हम पाते हैं(2.2)

इस संकेत के आयाम और चरण स्पेक्ट्रा को चित्र 2.3a, b में दिखाया गया है।

समस्या सुलझा ली गई है।

फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत के अनुसार, हार्मोनिक्स के योग के लिए एक इनहार्मोनिक सिग्नल की सटीक समानता केवल असीमित बड़ी संख्या में हार्मोनिक्स के लिए होती है। कंप्यूटर पर हार्मोनिक घटकों की गणना आपको किसी भी संख्या में हार्मोनिक्स का विश्लेषण करने की अनुमति देती है, जो गणना के उद्देश्य, सटीकता और गैर-हार्मोनिक क्रिया के रूप से निर्धारित होती है। यदि संकेत अवधिटी इसके आकार की परवाह किए बिना, अवधि की तुलना में बहुत कम टी, तो हार्मोनिक्स के आयाम धीरे-धीरे कम हो जाएंगे, और सिग्नल के अधिक पूर्ण विवरण के लिए, श्रृंखला की बड़ी संख्या में शर्तों को ध्यान में रखना आवश्यक है। इस सुविधा का पता तालिका 2 - 5 और 6 में प्रस्तुत संकेतों के लिए लगाया जा सकता है, यदि स्थिति τ <<टी... यदि एक इनहार्मोनिक सिग्नल आकार में साइनसॉइड के करीब है (उदाहरण के लिए, तालिका 2 में सिग्नल 2 और 3), तो हार्मोनिक्स तेजी से कम हो जाता है, और सिग्नल के सटीक विवरण के लिए, यह खुद को तीन से पांच हार्मोनिक्स तक सीमित करने के लिए पर्याप्त है। श्रृंखला का।

जैसा कि आप जानते हैं, विद्युत ऊर्जा उद्योग में, एक साइनसॉइडल रूप को धाराओं और वोल्टेज के लिए एक मानक रूप के रूप में अपनाया जाता है। हालांकि, वास्तविक परिस्थितियों में, धाराओं और वोल्टेज के वक्रों के आकार साइनसॉइडल वाले से कुछ हद तक भिन्न हो सकते हैं। रिसीवरों में इन कार्यों के वक्रों की विकृतियों से अतिरिक्त ऊर्जा हानि होती है और उनकी दक्षता में कमी आती है। जनरेटर वोल्टेज वक्र का साइनसोइडल आकार एक वस्तु के रूप में विद्युत ऊर्जा की गुणवत्ता के संकेतकों में से एक है।

एक जटिल सर्किट में धाराओं और वोल्टेज के वक्र के आकार के विरूपण के निम्नलिखित कारण संभव हैं:

1) विद्युत सर्किट में गैर-रेखीय तत्वों की उपस्थिति, जिनमें से पैरामीटर वर्तमान और वोल्टेज के तात्कालिक मूल्यों पर निर्भर करते हैं, (उदाहरण के लिए, रेक्टिफायर, इलेक्ट्रिक वेल्डिंग इकाइयां, आदि);

2) विद्युत सर्किट में पैरामीट्रिक तत्वों की उपस्थिति, जिसके पैरामीटर समय के साथ बदलते हैं;

3) विद्युत ऊर्जा का स्रोत (तीन-चरण जनरेटर), डिजाइन सुविधाओं के कारण, एक आदर्श साइनसोइडल आउटपुट वोल्टेज प्रदान नहीं कर सकता है;

4) परिसर में उपरोक्त कारकों का प्रभाव।

टीओई पाठ्यक्रम के अलग-अलग अध्यायों में नॉनलाइनियर और पैरामीट्रिक सर्किट पर विचार किया जाता है। यह अध्याय गैर-साइनसॉइडल वक्र आकार वाले ऊर्जा स्रोतों के संपर्क में आने पर रैखिक विद्युत परिपथों के व्यवहार की जांच करता है।

गणित के पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि डिरिचलेट की शर्तों को संतुष्ट करने वाले समय f (t) के किसी भी आवधिक कार्य को हार्मोनिक फूरियर श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है:

यहाँ A0 स्थिर घटक है, Ak * sin (kωt + αk) kth हार्मोनिक घटक है, या kth हार्मोनिक के रूप में संक्षिप्त है। पहले हार्मोनिक को मौलिक कहा जाता है, और बाद के सभी को उच्चतम कहा जाता है।

व्यक्तिगत हार्मोनिक्स एके के आयाम फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन f (t) के विस्तार की विधि पर निर्भर नहीं करते हैं, जबकि व्यक्तिगत हार्मोनिक्स αk के प्रारंभिक चरण समय संदर्भ (मूल) की पसंद पर निर्भर करते हैं।

फूरियर श्रृंखला के व्यक्तिगत हार्मोनिक्स को साइन और कोसाइन घटकों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

तब पूरी फूरियर श्रृंखला आकार लेगी:

फूरियर श्रृंखला के दो रूपों के गुणांकों के बीच संबंध इस प्रकार हैं:

यदि k-th हार्मोनिक और इसके साइन और कोसाइन घटकों को जटिल संख्याओं से बदल दिया जाता है, तो फूरियर श्रृंखला के गुणांकों के बीच संबंध को जटिल रूप में दर्शाया जा सकता है:

यदि गणितीय समीकरण के रूप में समय का एक आवधिक गैर-साइनसॉइडल फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक रूप से दिया जाता है (या व्यक्त किया जा सकता है), तो फूरियर श्रृंखला के गुणांक गणित के पाठ्यक्रम से ज्ञात सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

व्यवहार में, जांचे गए गैर-साइनसॉइडल फ़ंक्शन f (t) को आमतौर पर एक ग्राफिकल आरेख (ग्राफिक रूप से) (चित्र। 46.1) के रूप में या एक के अंतराल में बिंदुओं (सारणीबद्ध) के निर्देशांक की तालिका के रूप में दिया जाता है। अवधि (तालिका 1)। उपरोक्त समीकरणों के अनुसार इस तरह के एक फ़ंक्शन का हार्मोनिक विश्लेषण करने के लिए, इसे पहले गणितीय अभिव्यक्ति से बदला जाना चाहिए। ग्राफ़िक या सारणीबद्ध तरीके से दिए गए फ़ंक्शन को गणितीय समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित करना फ़ंक्शन सन्निकटन कहलाता है।

वर्तमान में, समय f (t) के गैर-साइनसॉइडल कार्यों का हार्मोनिक विश्लेषण, एक नियम के रूप में, कंप्यूटर पर किया जाता है। सरलतम मामले में, किसी फ़ंक्शन के गणितीय प्रतिनिधित्व के लिए टुकड़े-टुकड़े रैखिक सन्निकटन का उपयोग किया जाता है। इसके लिए, एक पूर्ण अवधि के अंतराल में पूरे कार्य को एम = 20-30 खंडों में विभाजित किया जाता है ताकि अलग-अलग खंड सीधी रेखाओं के जितना करीब हो सके (चित्र 1)। कुछ अनुभागों में, फ़ंक्शन को सीधी रेखा fm (t) = am + bm * t के समीकरण द्वारा अनुमानित किया जाता है, जहां प्रत्येक अनुभाग के लिए सन्निकटन गुणांक (am, bm) इसके अंत बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से निर्धारित किए जाते हैं, उदाहरण के लिए , पहले खंड के लिए हमें मिलता है:

फ़ंक्शन T की अवधि को बड़ी संख्या में एकीकरण चरणों N में विभाजित किया गया है, एकीकरण चरण t = h = T / N, वर्तमान समय ti = hi, जहां मैं एकीकरण चरण की क्रमिक संख्या है। हार्मोनिक विश्लेषण के सूत्रों में कुछ इंटीग्रल को संबंधित रकम से बदल दिया जाता है, उनकी गणना कंप्यूटर पर ट्रेपेज़ियम या आयतों की विधि का उपयोग करके की जाती है, उदाहरण के लिए:

पर्याप्त सटीकता (δ≤1%) के साथ उच्च हार्मोनिक्स के आयामों को निर्धारित करने के लिए, एकीकरण चरणों की संख्या कम से कम 100k होनी चाहिए, जहां k हार्मोनिक संख्या है।

प्रौद्योगिकी में, हार्मोनिक विश्लेषक नामक विशेष उपकरणों का उपयोग व्यक्तिगत हार्मोनिक्स को गैर-साइनसॉइडल वोल्टेज और धाराओं से अलग करने के लिए किया जाता है।

फूरियर रूपांतरणजटिल संख्याओं के तल पर समय के मनमाने फलन को इसके आवृत्ति घटकों के एक सेट में बदलने के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला उपकरण है। यह परिवर्तन उनके स्पेक्ट्रा को निर्धारित करने के लिए एपेरियोडिक कार्यों पर लागू किया जा सकता है, और इस मामले में जटिल ऑपरेटर एसमूंछों से बदला जा सकता है:

सबसे दिलचस्प आवृत्तियों को निर्धारित करने के लिए, जटिल विमान पर संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग किया जा सकता है।

आइए इन इंटीग्रल के व्यवहार के साथ आरंभ करने के लिए कुछ उदाहरणों पर एक नज़र डालें। अंजीर में। 14.6 (बाएं) समय क्षेत्र और इसकी वर्णक्रमीय संरचना में एक इकाई क्षेत्र पल्स दिखाता है; केंद्र में - एक ही क्षेत्र की एक नाड़ी, लेकिन अधिक आयाम के साथ, और दाईं ओर - नाड़ी का आयाम अनंत है, लेकिन इसका क्षेत्र अभी भी एकता के बराबर है। दाईं ओर की तस्वीर विशेष रूप से दिलचस्प है क्योंकि शून्य-चौड़ाई वाली पल्स के स्पेक्ट्रम में समान आयाम वाले सभी आवृत्तियां होती हैं।

चावल। 14.6.

1822 में एक फ्रांसीसी गणितज्ञ जे बी जे फूरियर(जेबी जे फूरियर) ने तापीय चालकता पर अपने काम में दिखाया कि किसी भी आवधिक कार्य को प्रारंभिक घटकों में विघटित किया जा सकता है, जिसमें पुनरावृत्ति आवृत्ति और इस आवृत्ति के हार्मोनिक्स का एक सेट शामिल है, और पुनरावृत्ति के संबंध में प्रत्येक हार्मोनिक्स का अपना आयाम और चरण होता है। भाव। फूरियर रूपांतरण में प्रयुक्त मूल सूत्र इस प्रकार हैं:

कहां एल 0एक डीसी घटक है, और ए"तथा वी"- आदेश की मौलिक आवृत्ति के हार्मोनिक्स एन एस,जो क्रमशः चरण में हैं और इसके साथ चरण से बाहर हैं। समारोह एफ (एक्स),इस प्रकार, इन हार्मोनिक्स और / 1 0 का योग है।

ऐसे मामलों में जहां f (d) n / 2 के संबंध में सममित है, अर्थात, f (x) क्षेत्र में i से 2n = - f (x) के क्षेत्र में 0 से i तक, और कोई प्रत्यक्ष वर्तमान घटक नहीं है , फूरियर फॉर्मूला -ट्रांसफॉर्म्स को सरल बनाया गया है:

कहां एनएस - 1,3,5, 7....

सभी हार्मोनिक्स साइनसॉइड हैं, उनमें से केवल कुछ चरण में हैं, और कुछ मौलिक आवृत्ति के साथ एंटीफ़ेज़ में हैं। पावर इलेक्ट्रॉनिक्स में पाए जाने वाले अधिकांश तरंगों को इस तरह से हार्मोनिक्स में विघटित किया जा सकता है।

यदि 120 ° की अवधि के साथ आयताकार दालों पर फूरियर रूपांतरण लागू किया जाता है, तो हार्मोनिक्स के क्रम का एक सेट बना देगा कश्मीर = 6p± 1, जहां एन एस- पूर्णांकों में से एक। प्रत्येक हार्मोनिक का आयाम एचपहले के संबंध में अनुपात द्वारा इसकी संख्या से संबंधित है एच = / के।इस मामले में, पहले हार्मोनिक में एक आयाम होगा जो आयताकार सिग्नल के आयाम से 1.1 गुना अधिक है।

फूरियर ट्रांसफॉर्म प्रत्येक हार्मोनिक के लिए आयाम मान देता है, लेकिन चूंकि वे सभी साइनसॉइडल हैं, आरएमएस मान केवल संबंधित आयाम को 2 की जड़ से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। एक जटिल सिग्नल का आरएमएस मूल्य योग का वर्गमूल है प्रत्येक हार्मोनिक के आरएमएस मूल्यों के वर्ग, पहले सहित।

दोहराए जाने वाले आवेग कार्यों से निपटने पर, कर्तव्य चक्र पर विचार करना उपयोगी होता है। यदि अंजीर में दोहरावदार दालें। 14.7 आरएमएस . हैं एक्सदौरान ए, तो समय के साथ rms मान वीबराबर होगा एक्स (एल / डब्ल्यू) ( 2. इस प्रकार, दोहराव वाली दालों का आरएमएस मूल्य कर्तव्य चक्र मूल्य के वर्गमूल के समानुपाती होता है। इस सिद्धांत को 120 ° (2/3 कर्तव्य चक्र) आयताकार नाड़ी पर इकाई आयाम के साथ लागू करने पर, हमें 12 = 0.8165 का 2/3 rms मान मिलता है।

चावल। 14.7.

आवेग

आयताकार दालों के उल्लिखित अनुक्रम के अनुरूप हार्मोनिक्स को जोड़कर इस परिणाम की जांच करना दिलचस्प है। टेबल। 14.2 इस योग के परिणाम दिखाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ वैसा ही है।

तालिका 14.2।संगत हार्मोनिक्स के योग के परिणाम

2/3 कर्तव्य चक्र और एकता आयाम के साथ आवधिक संकेत

तुलनात्मक उद्देश्यों के लिए, हार्मोनिक्स के किसी भी सेट को समूहित करना और संबंधित कुल हार्मोनिक विरूपण को निर्धारित करना संभव है। इस मामले में, सिग्नल का मूल-माध्य-वर्ग मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहां एचपहले (मौलिक) हार्मोनिक का आयाम है, a एच "- ऑर्डर हार्मोनिक्स का आयाम एन एस > 1.

विरूपण के लिए जिम्मेदार घटकों को अलग से लिखा जा सकता है:

कहां एन> 1. तब

कहां निधि -पहला हार्मोनिक, और हार्मोनिक विरूपण कारक(टीएचडी) के बराबर होगा डी / फंड।

जबकि आयताकार पल्स ट्रेन विश्लेषण दिलचस्प है, वास्तविक दुनिया में इसका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। स्विचिंग प्रभाव और अन्य प्रक्रियाएं आयताकार दालों को ट्रेपेज़ॉइडल की तरह दिखती हैं, या, कन्वर्टर्स के मामले में, अभिव्यक्ति 1 - कॉस (0) द्वारा वर्णित एक अग्रणी किनारे और निर्भरता कॉस (0) द्वारा वर्णित एक अनुगामी किनारे के साथ, जहां 0 वृद्धि और गिरावट के समय में वृद्धि आयताकार दालें संगत हार्मोनिक्स के सेट को "नरम" करती हैं, ताकि उच्च-क्रम हार्मोनिक्स का आयाम आनुपातिक रूप से घट कर (1 / Ar) के बजाय (1 / Ar) हो जाए /प्रति)कम आवृत्तियों पर। डबल लॉगरिदमिक स्केल के साथ कागज पर आवृत्ति पर इन आयामों की निर्भरता प्रदर्शित करते समय, इस ग्राफ के संबंधित वर्गों की ढलान -2 और -1 है। सिस्टम में प्रतिक्रिया या वर्तमान में वृद्धि के साथ, ढलान की आवृत्ति बदल जाती है घटता है। इस सब से लब्बोलुआब यह है कि उच्च हार्मोनिक्स कम महत्वपूर्ण हैं जितना कोई सोच सकता है।

हालांकि वृद्धि मुक़ाबलाउच्च-क्रम के हार्मोनिक्स को कम करने में मदद करता है, जो आमतौर पर संभव नहीं है। के लिए अधिक पसंदीदा खपत वर्तमान में हार्मोनिक घटकों की कमीचरण विस्थापन द्वारा प्राप्त सुधार या वोल्टेज रूपांतरण के दौरान दालों की संख्या में वृद्धि है। ट्रांसफॉर्मर के संबंध में, इस विषय को अध्याय में छुआ गया था। 7. यदि थाइरिस्टर कन्वर्टर या रेक्टिफायर ट्रांसफॉर्मर वाइंडिंग से संचालित होता है, जो एक स्टार और एक डेल्टा से जुड़ा होता है, और कन्वर्टर या रेक्टिफायर के आउटपुट सीरीज़ या समानांतर में जुड़े होते हैं, तो 12-शून्य रेक्टिफिकेशन प्राप्त होता है। सेट में हार्मोनिक नंबर अब प्राप्त होते हैं क = 12एन एस± 1 इसके बजाय कश्मीर = 6w ± 1, जहां एन एस- पूर्णांकों में से एक। 5वें और 7वें क्रम के हार्मोनिक्स के बजाय, 11 वें और 13 वें क्रम के हार्मोनिक्स अब दिखाई देते हैं, जिसका आयाम बहुत छोटा है। और भी अधिक स्पंदनों का उपयोग करना काफी संभव है, और, उदाहरण के लिए, विद्युत रासायनिक संयंत्रों के लिए बड़ी बिजली आपूर्ति में 48-पल्सेशन सिस्टम का उपयोग किया जाता है। चूंकि बड़े रेक्टिफायर और कन्वर्टर्स समानांतर-जुड़े डायोड या थाइरिस्टर के सेट का उपयोग करते हैं, इसलिए ट्रांसफार्मर में फेज-शिफ्टिंग वाइंडिंग की अतिरिक्त लागत मुख्य रूप से इसकी कीमत निर्धारित करती है। अंजीर में। 14.8 6-पल्स वाले की तुलना में 12-पल्स सर्किट के फायदे दिखाता है। 12-नलिंग सर्किट में 11वें और 13वें हार्मोनिक्स में पहले हार्मोनिक के लगभग 10% का एक विशिष्ट आयाम मान होता है। बड़ी संख्या में स्पंदन वाले परिपथों में, हार्मोनिक्स क्रम के होते हैं कश्मीर = पीएन± 1, जहां आर- धड़कनों की संख्या।

रुचि के लिए, ध्यान दें कि हार्मोनिक्स के सेट के जोड़े जो केवल एक दूसरे के सापेक्ष 30 ° से स्थानांतरित हो जाते हैं, 6-स्पंदन योजना में रद्द नहीं होते हैं। इन हार्मोनिक्स की धाराओं को ट्रांसफॉर्मर के माध्यम से वापस फीड किया जाता है; इस प्रकार, उनके पारस्परिक विनाश की संभावना प्राप्त करने के लिए एक अतिरिक्त चरण बदलाव की आवश्यकता है।

सभी हार्मोनिक्स पहले चरण के साथ नहीं हैं। उदाहरण के लिए, 120 ° वर्ग-लहर दालों के अनुक्रम के अनुरूप हार्मोनिक्स के तीन-चरण सेट में, हार्मोनिक्स के चरण अनुक्रम -5 वें, + 7 वें, -11 वें, + 13 वें, आदि के अनुसार बदलते हैं। एक तीन-चरण सर्किट में एक असंतुलन है, एकल-चरण घटक उत्पन्न हो सकते हैं, जो शून्य चरण शिफ्ट के साथ हार्मोनिक्स के तीन गुना होने पर जोर देता है।

चावल। 14.8.

अलगाव ट्रांसफार्मरहार्मोनिक समस्याओं के लिए अक्सर रामबाण के रूप में देखा जाता है। ये ट्रांसफॉर्मर सिस्टम में कुछ प्रतिक्रिया जोड़ते हैं और इस तरह उच्च हार्मोनिक्स के स्तर को कम करने में मदद करते हैं, हालांकि, शून्य अनुक्रम धाराओं और इलेक्ट्रोस्टैटिक डिकॉउलिंग को दबाने के अलावा, वे बहुत कम उपयोग के होते हैं।

फूरियर और हार्टले समय के कार्यों को आवृत्ति के कार्यों में बदल देते हैं, जिसमें आयाम और चरण के बारे में जानकारी होती है। नीचे निरंतर कार्य के रेखांकन दिए गए हैं जी(टी) और असतत जी(τ), जहां टीऔर समय हैं।

दोनों कार्य शून्य से शुरू होते हैं, अचानक एक सकारात्मक मूल्य तक पहुंच जाते हैं, और तेजी से क्षय हो जाते हैं। परिभाषा के अनुसार, निरंतर कार्य के लिए फूरियर रूपांतरण संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर एक अभिन्न अंग है, एफ(एफ), और एक असतत कार्य के लिए - नमूनों के एक सीमित सेट पर योग, एफ(ν):

कहां एफ, - आवृत्ति मान, एनफ़ंक्शन के नमूना मूल्यों की संख्या है, और मैं= -1 - काल्पनिक इकाई। सैद्धांतिक अनुसंधान के लिए अभिन्न प्रतिनिधित्व अधिक उपयुक्त है, जबकि सीमित राशि का प्रतिनिधित्व कंप्यूटर गणना के लिए अधिक उपयुक्त है। अभिन्न और असतत हार्टले रूपांतरण एक समान तरीके से परिभाषित किए गए हैं:

हालांकि फूरियर और हार्टले की परिभाषाओं के बीच एकमात्र अंतर यह है कि साइन के सामने एक कारक की उपस्थिति है, तथ्य यह है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म में वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग होते हैं, इन दोनों परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व पूरी तरह से अलग होता है। असतत फूरियर और हार्टले रूपांतरण अनिवार्य रूप से उनके निरंतर समकक्षों के समान रूप हैं।

हालांकि भूखंड अलग दिखते हैं, समान आयाम और चरण की जानकारी फूरियर और हार्टले ट्रांसफॉर्म से अनुमानित की जा सकती है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

फूरियर आयाम वास्तविक और काल्पनिक भागों के वर्गों के योग के वर्गमूल द्वारा निर्धारित किया जाता है। हार्टले आयाम वर्गों के योग के वर्गमूल द्वारा निर्धारित किया जाता है एच(-Ν) और एच(ν). फूरियर चरण को वास्तविक भाग से विभाजित काल्पनिक भाग के आर्कटिक द्वारा निर्धारित किया जाता है, और हार्टले चरण को 45 ° के योग और के आर्कटिक द्वारा निर्धारित किया जाता है एच(-Ν) द्वारा विभाजित एच(ν).