Standardní forma monomiálu. Koncept monomiálu

V této lekci uvedeme přísnou definici monomiálu, zvážíme různé příklady z učebnice. Připomeňte si pravidla pro násobení mocnin se stejným základem. Uveďme definici standardního tvaru jednočlenu, koeficient jednočlenu a jeho doslovnou část. Uvažujme dvě základní typické operace s monomiály, a to redukci na standardní tvar a výpočet konkrétní číselné hodnoty monomiálu pro dané hodnoty v něm obsažených doslovných proměnných. Formulujme pravidlo pro redukci monomiálu na standardní tvar. Pojďme se naučit, jak řešit typické problémy s libovolnými monomily.

Téma:monomiály. Aritmetické operace s monočleny

Lekce:Koncept monomiálu. Standardní forma monomiálu

Zvažte několik příkladů:

3. ;

Pojďme najít společné znaky pro dané výrazy. Ve všech třech případech je výraz součinem čísel a proměnných umocněných na mocninu. Na základě toho dáváme definice monomiálu : jednočlen je algebraický výraz, který se skládá ze součinu mocnin a čísel.

Nyní uvedeme příklady výrazů, které nejsou jednočlenné:

Pojďme najít rozdíl mezi těmito výrazy a předchozími. Spočívá v tom, že v příkladech 4-7 jsou operace sčítání, odčítání nebo dělení, zatímco v příkladech 1-3, které jsou jednočlenné, tyto operace nejsou.

Zde je několik dalších příkladů:

Výraz číslo 8 je jednočlenný, protože je součin mocniny a čísla, zatímco příklad 9 jednočlenný není.

Teď to zjistíme akce na monomiály .

1. Zjednodušení. Zvažte příklad č. 3 ;a příklad #2 /

Ve druhém příkladu vidíme pouze jeden koeficient - , každá proměnná se vyskytuje pouze jednou, tedy proměnná " A” je reprezentován v jediném případě jako “”, podobně se proměnné “” a “” vyskytují pouze jednou.

V příkladu č. 3 jsou naopak dva různé koeficienty - a , proměnnou "" vidíme dvakrát - jako "" a jako "", obdobně se proměnná "" vyskytuje dvakrát. To znamená, že tento výraz by měl být zjednodušen, čímž se dostáváme první akcí provedenou na monomilech je převedení monomiálu do standardního tvaru . Abychom to udělali, převedeme výraz z příkladu 3 do standardního tvaru, poté definujeme tuto operaci a naučíme se, jak do standardního tvaru převést libovolný monomial.

Zvažte tedy příklad:

Prvním krokem v operaci standardizace je vždy vynásobení všech číselných faktorů:

;

Výsledek této akce bude vyvolán monomiální koeficient .

Dále je třeba vynásobit stupně. Vynásobíme stupně proměnné " X“podle pravidla pro násobení mocnin se stejným základem, které říká, že při násobení se exponenty sečtou:

Nyní znásobíme síly na»:

;

Zde je tedy zjednodušený výraz:

;

Jakýkoli monomiál lze zredukovat na standardní formu. Pojďme formulovat standardizační pravidlo :

Vynásobte všechny číselné faktory;

Dejte výsledný koeficient na první místo;

Vynásobte všechny stupně, to znamená, že získáte část písmene;

To znamená, že jakýkoli monomial je charakterizován koeficientem a písmennou částí. Při pohledu do budoucna si všimneme, že monočleny se stejnou částí písmena se nazývají podobné.

Nyní musíte vydělat technika pro redukci monomiálů na standardní formu . Zvažte příklady z učebnice:

Úkol: uvést jednočlen do standardního tvaru, pojmenovat koeficient a písmennou část.

K dokončení úkolu použijeme pravidlo uvedení monomiálu do standardního tvaru a vlastnosti stupňů.

1. ;

3. ;

Komentáře k prvnímu příkladu: Pro začátek určíme, zda je tento výraz skutečně jednočlen, proto zkontrolujeme, zda obsahuje operace násobení čísel a mocnin a zda obsahuje operace sčítání, odčítání nebo dělení. Můžeme říci, že tento výraz je jednočlenný, protože výše uvedená podmínka je splněna. Dále, podle pravidla uvedení monomiálu do standardního tvaru, vynásobíme číselné faktory:

- našli jsme koeficient daného monomiálu;

; ; ; to znamená, že je přijata doslovná část výrazu:;

napište odpověď: ;

Komentáře k druhému příkladu: Podle pravidla provedeme:

1) vynásobte číselné faktory:

2) vynásobte mocniny:

Proměnné a jsou uvedeny v jedné kopii, to znamená, že je nelze s ničím násobit, jsou přepisovány beze změn, stupeň se násobí:

napište odpověď:

;

PROTI tento příklad koeficient jednočlenu je roven jedné a doslovná část je .

Komentáře ke třetímu příkladu: a podobně jako v předchozích příkladech provedeme následující akce:

1) vynásobte číselné faktory:

;

2) vynásobte mocniny:

;

napište odpověď: ;

V tomto případě je koeficient monomiálu roven "" a doslovné části .

Nyní zvažte druhý standardní provoz na monomilech . Protože monočlen je algebraický výraz skládající se z doslovných proměnných, které mohou nabývat konkrétních číselných hodnot, máme aritmetický číselný výraz, který by se měl vypočítat. To znamená, že následující operace s polynomy je výpočet jejich konkrétní číselné hodnoty .

Zvažte příklad. Monomial je dán:

tento jednočlen již byl zredukován na standardní formu, jeho koeficient je roven jedné a doslovná část

Dříve jsme řekli, že algebraický výraz nelze vždy vypočítat, to znamená, že proměnné, které do něj vstupují, nemusí mít žádnou hodnotu. V případě monomiálu mohou být v něm obsažené proměnné libovolné, to je vlastnost monomiálu.

V uvedeném příkladu je tedy nutné vypočítat hodnotu monomiálu pro , , , .

Počáteční informace o monomiích obsahuje vysvětlení, že jakýkoli monomismus lze redukovat na standardní formu. V níže uvedeném materiálu se budeme touto problematikou zabývat podrobněji: označíme význam této akce, určíme kroky, které nám umožňují nastavit standardní formu monomiálu, a také upevníme teorii řešením příkladů.

Význam redukce monomiálu na standardní tvar

Zápis monomiálu ve standardním tvaru usnadňuje práci s ním. Často jsou monomiály uvedeny v nestandardní formě a pak je nutné provést identické transformace pro převedení daného monomiu do standardní formy.

Definice 1

Redukce monomiálu na standardní tvar je provedení příslušných akcí (identických transformací) s jednočlenem za účelem jeho zapsání ve standardním tvaru.

Způsob redukce monomiálu na standardní formu

Z definice vyplývá, že monomiál nestandardního tvaru je součinem čísel, proměnných a jejich mocnin a je možné jejich opakování. Monomial standardního tvaru zase obsahuje ve svém zápisu pouze jedno číslo a neopakující se proměnné nebo jejich stupně.

Chcete-li převést nestandardní monomický na standardní tvar, musíte použít následující pravidlo pro redukci monomiálu na standardní formu:

• prvním krokem je seskupení číselných faktorů, stejných proměnných a jejich stupňů;
• druhým krokem je vypočítat součiny čísel a aplikovat vlastnost mocnin se stejnými základy.

Příklady a jejich řešení

Daný monomiál 3 x 2 x 2 . Je nutné jej uvést do standardního formuláře.

Řešení

Proveďme seskupení číselných faktorů a faktorů s proměnnou x, výsledkem je, že daný monočlen bude mít tvar: (3 2) (x x 2) .

Produkt v závorkách je 6 . Při použití pravidla násobení mocnin se stejnými základy lze výraz v závorkách reprezentovat jako: x 1 + 2 = x 3. Výsledkem je monomiál standardního tvaru: 6 · x 3 .

Stručný záznam řešení vypadá takto: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3 .

Odpovědět: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Příklad 2

Je dán jednočlen: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b . Je nutné jej uvést do standardní podoby a specifikovat jeho koeficient.

Řešení

daný monomial má ve svém zápisu jeden číselný činitel: - 1, přesuňme ho na začátek. Potom seskupíme faktory s proměnnou a a faktory s proměnnou b. Proměnnou m není co seskupovat, necháme ji v původní podobě. V důsledku výše uvedených akcí dostaneme: - 1 a 5 a a 2 b 2 b m .

Proveďme operace se stupni v závorkách, pak bude mít jednočlen standardní tvar: (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) a 8 b 3 m . Z tohoto zadání můžeme snadno určit koeficient monomiálu: je roven -1. Mínus je docela možné jednoduše nahradit znaménkem mínus: (- 1) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m .

Souhrn všech akcí vypadá takto:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

Odpovědět:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = - a 8 b 3 m, koeficient daného monomiálu je - 1 .

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

V matematice existuje mnoho různých matematických výrazů a některé z nich mají svá pevná jména. S jedním z těchto pojmů se musíme seznámit – jedná se o monomiál.

Monomial je matematický výraz, který se skládá ze součinu čísel, proměnných, z nichž každá může být do určité míry zahrnuta do součinu. Abyste nové koncepci lépe porozuměli, musíte se seznámit s několika příklady.

Příklady monočlenů

Výrazy 4, x^2, -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 jsou singletony. Jak vidíte, samotné číslo nebo proměnná (s mocninou nebo bez ní) je také jednočlen. Ale například výrazy 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 jsou již nejsou monomiální protože neodpovídají definici. První výraz používá "součet", což není povoleno, druhý používá "dělení" a třetí používá rozdíl.

Zvážit ještě pár příkladů.

Například výraz 2*a^3*b/3 je také jednočlenný, i když je zde přítomno dělení. Ale v tomto případě dochází k dělení číslem, a proto lze odpovídající výraz přepsat takto: 2/3*a^3*b. Ještě jeden příklad: Který z výrazů 2/x a x/2 je jednočlenný a který ne? správně odpovězte, že první výraz není jednočlenný, ale druhý.

Standardní forma monomiálu

Podívejte se na následující dva jednočlenné výrazy: ¾*a^2*b^3 a 3*a*1/4*b^3*a. Ve skutečnosti se jedná o dva stejné monomiály. Není pravda, že první výraz vypadá pohodlněji než druhý?

Důvodem je, že první výraz je napsán ve standardním tvaru. Standardní forma polynomu je součin složený z číselného faktoru a mocnin různých proměnných. Číselný faktor se nazývá monomiální koeficient.

Aby se monočlen dostal do standardního tvaru, stačí vynásobit všechny číselné faktory přítomné v monočlenu a dát výsledné číslo na první místo. Poté vynásobte všechny mocniny, které mají stejný základ písmen.

Redukce monomiálu na jeho standardní formu

Pokud v našem příkladu ve druhém výrazu vynásobíme všechny číselné faktory 3 * 1/4 a poté vynásobíme a * a, dostaneme první monomial. Tato akce se nazývá uvedení monomiálu do jeho standardní formy.

Pokud se dva jednočleny liší pouze číselným koeficientem nebo jsou si navzájem rovny, pak se takové jednočleny v matematice nazývají podobné.

Monomiální je výraz, který je součinem dvou nebo více faktorů, z nichž každý je číslo vyjádřené písmenem, číslicemi nebo mocninou (s nezáporným exponentem celého čísla):

2A, A 3 X, 4abc, -7X

Protože součin identických faktorů lze zapsat jako stupeň, pak jeden stupeň (s nezáporným celočíselným exponentem) je také monomiální:

(-4) 3 , X 5 ,

Vzhledem k tomu, že číslo (celé nebo zlomkové), vyjádřené písmenem nebo čísly, lze zapsat jako součin tohoto čísla jedničkou, pak každé jednotlivé číslo lze také považovat za jednočlenné:

X, 16, -A,

Standardní forma monomiálu

Standardní forma monomiálu- jedná se o jednočlen, který má pouze jeden číselný činitel, který je nutné zapsat na prvním místě. Všechny proměnné jsou v abecedním pořadí a jsou obsaženy v monomiálu pouze jednou.

Čísla, proměnné a stupně proměnných také odkazují na monočleny standardního tvaru:

7, b, X 3 , -5b 3 z 2 - monomily standardního tvaru.

Číselný faktor monomiálu standardního tvaru se nazývá monomiální koeficient. Monomiální koeficienty rovné 1 a -1 se obvykle nezapisují.

Pokud v monomiálu standardního tvaru není žádný číselný faktor, pak se předpokládá, že koeficient monomiálu je 1:

X 3 = 1 X 3

Pokud v monomiálu standardního tvaru není žádný číselný faktor a předchází mu znaménko mínus, pak se předpokládá, že koeficient monomiálu je -1:

-X 3 = -1 X 3

Redukce monomiálu na standardní tvar

Chcete-li převést monomiál do standardní formy, musíte:

1. Vynásobte číselné faktory, pokud jich je několik. Zvyšte číselný faktor na mocninu, pokud má exponent. Na první místo dejte násobitel čísel.
2. Vynásobte všechny identické proměnné tak, aby se každá proměnná v monomiálu vyskytla pouze jednou.
3. Uspořádejte proměnné za číselným faktorem v abecedním pořadí.

Příklad. Vyjádřete jednočlen ve standardním tvaru:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 X; b) 6 před naším letopočtem 0,5 ab 3

Řešení:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 X= 3 (-2) X 2 Xyy 5 = -6X 3 y 6
b) 6 před naším letopočtem 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 C = 3ab 4 C

Stupeň monomiálu

Stupeň monomiálu je součet exponentů všech písmen v něm.

Pokud je jednočlen číslo, to znamená, že neobsahuje proměnné, pak se jeho stupeň považuje za rovný nule. Například:

5, -7, 21 - jednočleny nula stupňů.

Proto, abyste našli stupeň monomiálu, musíte určit exponent každého z písmen v něm obsažených a tyto exponenty sečíst. Pokud exponent písmene není zadán, pak je roven jedné.

Příklady:

Tak jak se máš X exponent není specifikován, to znamená, že je roven 1. Monomial neobsahuje další proměnné, to znamená, že jeho stupeň je roven 1.

Monomial obsahuje pouze jednu proměnnou ve druhém stupni, takže stupeň tohoto monomiálu je 2.

3) ab 3 C 2 d

Indikátor A je roven 1, indikátor b- 3, indikátor C- 2, indikátor d- 1. Stupeň tohoto monomiálu se rovná součtu těchto ukazatelů.

Monomiály jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin. Čísla, proměnné a jejich stupně jsou také považovány za jednočlenné. Například: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Jednočlen 5aa2b2b lze redukovat na tvar 20a^2b^2. Tento tvar se nazývá standardní tvar monočlenu. To znamená, že standardní tvar monočlenu je součin koeficientu (který je na prvním místě) a mocnin proměnné. Koeficienty 1 a -1 se nezapisují, ale zachovávají si mínus od -1. Monomiál a jeho standardní forma

Výrazy 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin. Takové výrazy se nazývají monomiály. Monomiály jsou také považovány za čísla, proměnné a jejich stupně.

Například výrazy - 8, 35, y a y2 jsou jednočlenné.

Standardní forma jednočlenu je monočlen ve formě součinu na prvním místě číselného faktoru a mocnin různých proměnných. Jakýkoli monomiál lze převést do standardního tvaru vynásobením všech proměnných a čísel v něm obsažených. Zde je příklad převedení monomiálu do standardního tvaru:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Číselný faktor monomiálu zapsaného ve standardním tvaru se nazývá koeficient monomiálu. Například koeficient monomiálu -7x2y2 je -7. Koeficienty monočlenů x3 a -xy jsou považovány za rovné 1 a -1, protože x3 = 1x3 a -xy = -1xy

Stupeň monomiálu je součtem exponentů všech proměnných v něm obsažených. Pokud monomiál neobsahuje proměnné, to znamená, že je to číslo, pak se jeho stupeň považuje za rovný nule.

Například stupeň monočlenu 8x3yz2 je 6, monočlen 6x je 1 a monočlen -10 je 0.

Násobení monočlenů. Zvyšování monomiálů na moc

Při násobení jednočlenů a umocňování jednočlenů na mocninu se používá pravidlo pro násobení mocnin se stejným základem a pravidlo pro zvýšení mocniny na mocninu. V tomto případě se získá monomiál, který je obvykle reprezentován ve standardní formě.

například

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6