Rovnost matic, ekvivalentní matice. Ekvivalentní matice Elementární transformace systémů

Našim bezprostředním cílem je dokázat, že jakoukoli matici lze redukovat na některé standardní formy pomocí elementárních transformací. Na této cestě je užitečný jazyk ekvivalentních matic.

Nech být. Řekneme, že matice l_ekvivalentní (n_ekvivalentní nebo ekvivalentní) matici a označíme (nebo), pokud lze matici získat z matice pomocí konečného počtu řádkových (respektive sloupcových nebo řádkových a sloupcových) elementárních transformací. Je zřejmé, že n_ekvivalentní a n_ekvivalentní matice jsou ekvivalentní.

Nejprve si ukážeme, že jakoukoli matici lze redukovat pouze řádkovými transformacemi do speciální formy zvané redukované.

Nech být. Říkají, že nenulový řádek této matice má zmenšený tvar, pokud obsahuje takový prvek rovný 1, že všechny prvky sloupce, jiné než, se rovnají nule. Označený jednořádkový prvek se bude nazývat přední prvek této čáry a bude uzavřen v kruhu. Jinými slovy, řádek matice má zmenšený tvar, pokud tato matice obsahuje sloupec formuláře

Například v následující matici

linka má zmenšenou podobu, protože. Všimněte si, že v tomto příkladu prvek také tvrdí, že je vedoucím prvkem řádku. V následujícím případě, pokud je v řádku daného typu několik prvků, které mají vlastnosti vedoucího, libovolným způsobem vybereme pouze jeden z nich.

Matice se říká, že má zmenšenou formu, pokud každý z jejích nenulových řádků má zmenšenou formu. Například matice

má redukovanou formu.

Tvrzení 1.3 Pro jakoukoli matici existuje l_ekvivalentní matice redukované formy.

Skutečně, pokud má matice tvar (1.1) a pak po provedení elementárních transformací v ní

dostaneme matici

ve kterém má linka redukovanou formu.

Za druhé, pokud byl řádek v matici zmenšen, pak po provedení elementárních transformací (1,20) dojde ke zmenšení řádku matice. Skutečně, od daného, ​​existuje takový sloupec

ale poté a následně po provedení transformací (1.20) se sloupec nemění, tj. ... Proto má linka zmenšenou podobu.

Nyní je jasné, že střídavou transformací každé nenulové řady matice výše uvedeným způsobem, po konečném počtu kroků, získáme matici redukovaného tvaru. Protože k získání matice byly použity pouze řádkové elementární transformace, je l_ekvivalentní matici. >

Příklad 7. Sestrojte matici redukované formy, l_ekvivalentní matici

Ekvivalentní matice

Jak bylo uvedeno výše, moll matice řádu s je determinant matice vytvořené z prvků původní matice umístěných v průsečíku všech vybraných s řádků a s sloupců.

Definice. V matici řádu mn se moll řádu r nazývá základní, pokud není roven nule, a všechny vedlejší řády r + 1 a vyšší se rovnají nule, nebo vůbec neexistují, tj. r odpovídá menšímu z m nebo n.

Sloupce a řádky matice, na nichž se nachází základní moll, se také nazývají základní.

Matice může mít několik různých základních nezletilých se stejným pořadím.

Definice. Pořadí základních mollů matice se nazývá hodnost matice a označuje se Rg A.

Velmi důležitou vlastností transformací elementární matice je, že nemění pořadí matice.

Definice. Matice získané v důsledku elementární transformace se nazývají ekvivalentní.

Je třeba poznamenat, že stejné matice a ekvivalentní matice jsou zcela odlišné pojmy.

Teorém. Největší počet lineárně nezávislých sloupců v matici se rovná počtu lineárně nezávislých řádků.

Protože elementární transformace nemění hodnost matice, pak lze proces hledání hodnosti matice výrazně zjednodušit.

Příklad. Určete hodnost matice.

2. Příklad: Určete hodnost matice.

Pokud pomocí elementárních transformací nelze najít matici ekvivalentní té původní, ale menší velikosti, pak by nalezení hodnosti matice mělo začít výpočtem nezletilých nejvyššího možného řádu. Ve výše uvedeném příkladu se jedná o nezletilé řádu 3. Pokud alespoň jeden z nich není roven nule, pak se hodnost matice rovná řádu tohoto menšího.

Základní vedlejší věta.

Teorém. V libovolné matici A je každý sloupec (řádek) lineární kombinací sloupců (řádků), ve kterých se nachází základní moll.

Hodnost libovolné matice A se tedy rovná maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků (sloupců) v matici.

Pokud A je čtvercová matice a det A = 0, pak je alespoň jeden ze sloupců lineární kombinací ostatních sloupců. Totéž platí pro řetězce. Toto tvrzení vyplývá z vlastnosti lineární závislosti s determinantem rovným nule.

Řešení libovolných soustav lineárních rovnic

Jak bylo uvedeno výše, maticová metoda a Cramerova metoda jsou použitelné pouze pro ty systémy lineárních rovnic, ve kterých je počet neznámých roven počtu rovnic. Dále zvažte libovolné systémy lineárních rovnic.

Definice. Soustava m rovnic s n neznámými je obecně napsána následovně:

kde aij jsou koeficienty a bi jsou konstanty. Řešením systému je n čísel, která po dosazení do systému promění každou z jeho rovnic v identitu.

Definice. Pokud má systém alespoň jedno řešení, pak se nazývá kloub. Pokud systém nemá jediné řešení, nazývá se nekonzistentní.

Definice. Systém se nazývá definitivní, pokud má pouze jedno řešení, a neurčitý, pokud je více než jeden.

Definice. Pro soustavu lineárních rovnic matice

A = se nazývá matice systému a matice

A * = nazývá se rozšířená matice systému

Definice. Pokud b1, b2,…, bm = 0, pak se systém nazývá homogenní. homogenní systém je vždy kompatibilní, protože má vždy nulové řešení.

Transformace elementárních systémů

Mezi elementární transformace patří:

1) Sečtením obou částí jedné rovnice odpovídající části druhé, vynásobené stejným číslem, ne rovno nule.

2) Permutace rovnic v místech.

3) Vyjmutí ze systému rovnic, které jsou identitami pro všechna x.

Kroneckerova - Capeliho věta (podmínka kompatibility systému).

(Leopold Kronecker (1823-1891) německý matematik)

Věta: Systém je konzistentní (má alespoň jedno řešení) tehdy a jen tehdy, pokud je hodnost matice systému stejná jako hodnost rozšířené matice.

Je zřejmé, že systém (1) lze zapsat jako.

Přechod na nový základ.

Nechť (1) a (2) jsou dvě báze stejného m-rozměrného lineárního prostoru X.

Protože (1) je základ, je možné přes něj rozšířit vektory druhého základu:

Z koeficientů v sestavíme matici:

(4) - maticová transformace souřadnic při přechodu z báze (1) na základnu (2).

Nechme vektor, potom (5) a (6).

Vztah (7) to znamená

Matice P je nedegenerovaná, protože jinak by existoval lineární vztah mezi jejími sloupci a potom mezi vektory.

Platí to i naopak: jakákoli nedegenerovaná matice je matice transformace souřadnic definovaná vzorci (8). Protože P je nedegenerovaná matice, pak pro ni existuje inverze. Vynásobením obou stran (8) vztahem dostaneme: (9).

Nechť jsou vybrány 3 báze v lineárním prostoru X: (10), (11), (12).

Kde, tj. (13).

Že. při sekvenční transformaci souřadnic se matice výsledné transformace rovná součinu matic transformačních složek.

Necháme vybrat lineární operátor a dvojici základen v X: (I) a (II), a v Y - (III) a (IV).

Operátor A ve dvojici základen I - III odpovídá rovnosti: (14). Rovnost (15) odpovídá stejnému operátorovi ve dvojici základen II - IV. Že. pro daného operátora A máme dvě matice a. Chceme mezi nimi navázat vztah.

Nechť P je matice transformace souřadnic při přechodu z I do III.

Nechť Q je matice transformace souřadnic při přechodu z II do IV.

Poté (16), (17). Dosazením výrazů za a z (16) a (17) do (14) získáme:

Porovnáním této rovnosti s (15) dostaneme:

Vztah (19) spojuje matici stejného operátora na různých základnách. V případě, že se mezery X a Y shodují, hraje roli III základny I a IV - II, pak vztah (19) má tvar :.

Bibliografie:

3. Kostrikin A.I. Úvod do algebry. část II. Základy algebry: učebnice pro univerzity, -M. : Fyzikální a matematická literatura, 2000, 368 s.

Přednáška číslo 16 (II semestr)

Téma: Nezbytná a dostatečná podmínka ekvivalence matic.

Nazývají se dvě matice, A a B, stejné velikosti ekvivalent pokud existují dvě nedegenerované matice R a S takové, že (1).

Příklad: Dvě matice odpovídající stejnému operátorovi pro různé volby základen v lineárních prostorech X a Y jsou ekvivalentní.

Je zřejmé, že vztah definovaný na množině všech matic stejné velikosti pomocí výše uvedené definice je vztahem ekvivalence.

Věta 8: Aby byly dvě obdélníkové matice stejné velikosti rovnocenné, je nutné a dostatečné, aby byly stejné hodnoty.

Důkaz:

1. Nechť A a B jsou dvě matice, pro které to dává smysl. Pořadí produktu (matice C) není vyšší než pořadí každého z faktorů.

Vidíme, že k-tý sloupec matice C je lineární kombinací vektorů sloupců matice A a to platí pro všechny sloupce matice C, tj. pro všechny. Že. , tj. - podprostor lineárního prostoru.

Protože a protože rozměr podprostoru je menší nebo roven dimenzi prostoru, hodnost matice C je menší nebo rovna hodnosti matice A.

Opravíme index i v rovnostech (2) a přiřadíme všechny možné hodnoty k od 1 do s. Potom získáme systém rovností podobný systému (3):

Z rovností (4) je vidět, že i-ta řada matice C je lineární kombinací řádků matice B pro všechna i, a pak lineární trup překlenutý řadami matice C je obsažen v lineárním trupu řádky matice B, a potom je její rozměr lineárního trupu menší nebo roven rozměru lineárního trupu řádkových vektorů matice B, což znamená, že hodnost matice C je menší než nebo rovnající se hodnosti matice B.

2. Pořadí součinu matice A vlevo a vpravo nedegenerovanou čtvercovou maticí Q se rovná hodnosti matice A. (). Tito. hodnost matice C se rovná hodnosti matice A.

Důkaz: Podle toho, co bylo prokázáno v případě (1). Protože matice Q není degenerovaná, existuje pro ni: a v souladu s tím, co bylo prokázáno v předchozím tvrzení.

3. Dokažme, že pokud jsou matice ekvivalentní, pak mají stejné hodnosti. Podle definice jsou A a B ekvivalentní, pokud existují R a S takové, že. Protože vynásobením A vlevo R a napravo S získáme matice stejné hodnosti, jak je prokázáno v položce (2), hodnost A se rovná hodnosti B.

4. Nechť matice A a B mají stejnou hodnotu. Dokažme, že jsou rovnocenné. Zvážit.

Nechť X a Y jsou dva lineární prostory, ve kterých jsou vybrány základy (základ X) a (základ Y). Jak víte, jakákoli matice formuláře definuje nějaký lineární operátor působící od X do Y.

Protože r je hodnost matice A, existuje mezi vektory přesně r lineárně nezávislých vektorů. Bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že první vektory r jsou lineárně nezávislé. Potom jsou lineárně vyjádřeny všechny ostatní a můžete napsat:

Nový základ v prostoru X definujeme následovně :. (7)

Nový základ v prostoru Y je následující:

Vektory jsou podle podmínek lineárně nezávislé. Doplňme je některými vektory až do základu Y: (8). Takže (7) a (8) jsou dvě nové báze X a Y. Najdeme matici operátoru A v těchto základnách:

Takže v nové dvojici základen je matice operátoru A matice J. Matice A byla původně libovolná obdélníková matice tvaru, hodnost r. Vzhledem k tomu, že matice stejného operátoru v různých základnách jsou ekvivalentní, ukazuje to, že jakákoli obdélníková matice tvaru hodnosti r je ekvivalentní J. Protože se zabýváme vztahem ekvivalence, ukazuje to, že jakékoli dvě matice A a B forma a hodnost r, které jsou ekvivalentní matici J, jsou navzájem ekvivalentní.

Bibliografie:

1. Voevodin V.V. Lineární algebra. Petrohrad: Lan, 2008, 416 s.

2. Beklemishev DV Kurz analytické geometrie a lineární algebry. Moskva: Fizmatlit, 2006, 304 s.

3. Kostrikin A.I. Úvod do algebry. část II. Základy algebry: učebnice pro univerzity, -M. : Fyzikální a matematická literatura, 2000, 368 s.

Přednáška číslo 17 (II semestr)

Téma: Vlastní čísla a vlastní vektory. Vlastní prostory. Příklady

Často se setkáváme s pojmy rovnosti a ekvivalence matic.

Definice 1

Matice $ A = \ left (a_ (ij) \ right) _ (m \ times n) $ se nazývá rovná matici $ B = \ left (b_ (ij) \ right) _ (k \ times l) $ , pokud se jejich rozměry $ (m = k, n = l) $ shodují a odpovídající prvky porovnávaných matic jsou si navzájem stejné.

Pro matice 2. řádu, psané v obecné formě, lze rovnost matic napsat takto:

Příklad 1

Dané matice:

1) $ A = \ left (\ begin (pole) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin ( pole) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right) $;

2) $ A = \ left (\ begin (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin ( pole) (c) (-3) \\ (2) \ end (pole) \ vpravo) $;

3) $ A = \ left (\ begin (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin ( pole) (cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \ end (pole) \ right) $.

Zjistěte, zda jsou matice stejné.

1) $ A = \ left (\ begin (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin ( pole) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right) $

Matice A a B mají stejné pořadí rovné 2 $ \ krát $ 2. Odpovídající prvky porovnávaných matic jsou stejné, proto jsou matice stejné.

2) $ A = \ left (\ begin (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin ( pole) (c) (-3) \\ (2) \ end (pole) \ right) $

Matice A a B mají různé pořadí, rovnající se 2 $ \ krát $ 2 a 2 $ \ krát $ 1.

3) $ A = \ left (\ begin (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin ( pole) (cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \ end (array) \ right) $

Matice A a B mají stejné pořadí rovné 2 $ \ krát $ 2. Ne všechny odpovídající prvky porovnávaných matic jsou si však rovny, proto nejsou matice stejné.

Definice 2

Transformace elementární matice je taková transformace, v důsledku které je zachována ekvivalence matic. Jinými slovy, elementární transformace nemění množinu řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (SLAE), kterou daná matice představuje.

Mezi elementární transformace maticových řetězců patří:

• vynásobení řádku matice nenulovým číslem $ k $ (determinant matice se zvýší o $ k $ krát);
• permutace jakýchkoli dvou řádků matice;
• přidání prvků jeho druhého řádku k prvkům jednoho řádku matice.

Totéž platí pro sloupce matice a nazývá se elementární transformace sloupců.

Definice 3

Pokud jsme z matice A pomocí elementární transformace přešli na matici B, pak se původní a výsledné matice nazývají ekvivalentní. K označení rovnocennosti matic použijte znak „$ \ sim $“, například $ A \ sim B $.

Příklad 2

Vzhledem k matici: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2) & (3) \ end (pole) \ right) $.

Postupně proveďte elementární transformace řádků matic.

Vyměníme první řádek a druhý řádek matice A:

Vynásobme první řádek matice B číslem 2:

Přidejte první řádek do druhého řádku matice:

Definice 4

Stupňovitá matice je matice, která splňuje následující podmínky:

• pokud je v matici nulový řádek, všechny řádky pod ním jsou také nulové;
• první nenulový prvek každého nenulového řádku musí být umístěn přesně napravo od otočného prvku na řádku nad tímto.

Příklad 3

Matice $ A = \ left (\ begin (pole) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \ end (pole) \ right) $ a $ B = \ left (\ begin (array) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \ end (array) \ right) $ jsou krokové matice.

Komentář

Je možné redukovat matici na stupňovitou formu pomocí ekvivalentních transformací.

Příklad 4

Vzhledem k matici: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2) & (3) \ end (pole) \ right) $. Zmenšete matici na stupňovitou formu.

Vyměníme první a druhý řádek matice A:

Vynásobíme první řádek matice B číslem 2 a přidáme jej do druhého řádku:

Vynásobíme první řádek matice C číslem -1 a přidáme jej do třetí řady:

Vynásobte druhý řádek D číslem -2 a přidejte jej do třetí řady:

$ K = \ left (\ begin (pole) (ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \ end (pole) \ right) $ je stupňovitá matice.