Умножение на матрица по число: примери, свойства, значение. Умножение на матрица по число Намерете онлайн произведението на реално число по матрица

За да умножим матрицата A по произволно число α, се нуждаем от елементите на матрицата Аумножете по числото α, т.е. произведението на матрица и число ще бъде както следва:

Пример 1Намерете матрица 3 Аза матрица

Решение. В съответствие с дефиницията, ние умножаваме елементите на матрицата Ас 3 и вземете

Това беше много прост пример за умножение на матрица по число с цели числа. Напред също прости примери, но вече такива, при които сред факторите и елементите на матриците има дроби, променливи (буквени обозначения), тъй като законите на умножението важат не само за цели числа, така че никога не е вредно да се повтарят.

Пример 2 Ас числото α, ако
, .

Ас α, като не забравяме, че при умножаване на дроби числителят на първата дроб се умножава по числителя на първата дроб и продуктът се записва в числителя, а знаменателят на първата дроб се умножава по знаменателя на втората дроб и произведението се записва в знаменателя. При получаване на втория елемент от първия ред на новата матрица, получената фракция е намалена с 2, това трябва да се направи. Получаваме

Пример 3Извършете операция за умножение на матрица Ас числото α, ако
, .

Решение. Умножете елементите на матрицата Ана α, без да се бъркате в обозначенията на буквите, като не забравяте да оставите минус пред втория елемент от втория ред на новата матрица и помните, че резултатът от умножаването на число по неговата реципрочна стойност е едно (първият елемент от третия ред). Получаваме

.

Пример 4Извършете операция за умножение на матрица Ас числото α, ако
, .

Решение. Припомнете си, че когато умножите число в степен по число в степен, степените се сумират. Получаваме

.

Този пример, наред с други неща, ясно демонстрира, че операциите по умножение на матрица по число могат да се четат (и записват) в обратен ред и се нарича поставяне на постоянен множител пред матрицата.

Комбинирано с събиране и изваждане на матрициоперацията за умножение на матрица по число може да образува различни матрични изрази, например 5 А − 3Б , 4А + 2Б .

Свойства на умножаване на матрица по число

(тук A, B - матрици, - числа, 1 - номер едно)

1.

2.

3.

Свойства (1) и (2) свързват умножението на матрица по число с добавянето на матрици. Съществува и много важна връзка между умножаването на матрица по число и умножаването на самите матрици:

т.е. ако в произведението на матриците един от факторите се умножи по число, тогава целият продукт ще бъде умножен по число.

Тази тема ще обхваща операции като събиране и изваждане на матрици, умножение на матрица по число, умножение на матрица по матрица, транспониране на матрица. Всички символи, използвани на тази страница, са взети от предишната тема.

Събиране и изваждане на матрици.

Сумата $A+B$ от матриците $A_(m\times n)=(a_(ij))$ и $B_(m\times n)=(b_(ij))$ е матрицата $C_(m \times n) =(c_(ij))$, където $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ за всички $i=\overline(1,m)$ и $j=\overline( 1, n) $.

Подобно определение се въвежда за разликата на матриците:

Разликата $AB$ на матриците $A_(m\times n)=(a_(ij))$ и $B_(m\times n)=(b_(ij))$ е матрицата $C_(m\times n)=( c_(ij))$, където $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ за всички $i=\overline(1,m)$ и $j=\overline(1, n)$.

Обяснение за записа $i=\overline(1,m)$: show\hide

Записът "$i=\overline(1,m)$" означава, че параметърът $i$ се променя от 1 на m. Например, записът $i=\overline(1,5)$ казва, че параметърът $i$ приема стойностите 1, 2, 3, 4, 5.

Струва си да се отбележи, че операциите за събиране и изваждане са дефинирани само за матрици със същия размер. Като цяло събирането и изваждането на матрици са операции, които са интуитивно ясни, защото всъщност означават просто сумиране или изваждане на съответните елементи.

Пример №1

Дадени са три матрици:

$$ A=\left(\begin(масив) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(масив) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Възможно ли е да се намери матрицата $A+F$? Намерете матрици $C$ и $D$, ако $C=A+B$ и $D=A-B$.

Матрицата $A$ съдържа 2 реда и 3 колони (с други думи, размерът на матрицата $A$ е $2\ пъти 3$), а матрицата $F$ съдържа 2 реда и 2 колони. Размерите на матрицата $A$ и $F$ не съвпадат, така че не можем да ги добавим, т.е. операцията $A+F$ за тези матрици не е дефинирана.

Размерите на матриците $A$ и $B$ са еднакви, т.е. матричните данни съдържат равен брой редове и колони, така че операцията за събиране е приложима за тях.

$$ C=A+B=\left(\begin(масив) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(масив) \вдясно) $$

Намерете матрицата $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(масив) \вдясно) $$

Отговор: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Умножаване на матрица по число.

Произведението на матрицата $A_(m\times n)=(a_(ij))$ и числото $\alpha$ е матрицата $B_(m\times n)=(b_(ij))$, където $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ за всички $i=\overline(1,m)$ и $j=\overline(1,n)$.

Най-просто казано, да умножиш матрица по някакво число означава да умножиш всеки елемент от дадената матрица по това число.

Пример №2

Дадена е матрица: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Намерете матрици $3\cdot A$, $-5\cdot A$ и $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( масив) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(масив) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (масив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Означението $-A$ е съкратено за $-1\cdot A$. Тоест, за да намерите $-A$, трябва да умножите всички елементи на $A$ матрицата по (-1). Всъщност това означава, че знакът на всички елементи на матрицата $A$ ще се промени на обратното:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ ляв(\begin(масив) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(масив) \вдясно) $$

Отговор: $3\cdot A=\left(\begin(масив) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(масив) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(масив) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Произведение на две матрици.

Определението на тази операция е тромаво и на пръв поглед неразбираемо. Затова първо ще посоча обща дефиниция, а след това ще анализираме подробно какво означава и как да работим с него.

Произведението на матрицата $A_(m\times n)=(a_(ij))$ и матрицата $B_(n\times k)=(b_(ij))$ е матрицата $C_(m\times k) )=(c_( ij))$, за който всеки елемент $c_(ij)$ е равен на сумата от произведенията на съответните i-ти елементиредове на матрицата $A$ по елементите на j-та колона на матрицата $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj) ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Стъпка по стъпка ще анализираме умножението на матрици с помощта на пример. Трябва обаче веднага да обърнете внимание, че не всички матрици могат да бъдат умножени. Ако искаме да умножим матрица $A$ по матрица $B$, тогава първо трябва да се уверим, че броят на колоните на матрицата $A$ е равен на броя на редовете на матрицата $B$ (такива матрици често се наричат съгласи се). Например, матрицата $A_(5\times 4)$ (матрицата съдържа 5 реда и 4 колони) не може да бъде умножена по матрица $F_(9\times 8)$ (9 реда и 8 колони), тъй като броят на колоните на матрицата $A $ не е равна на броя на редовете на матрицата $F$, т.е. $4\neq 9$. Но е възможно матрицата $A_(5\times 4)$ да се умножи по матрицата $B_(4\times 9)$, тъй като броят на колоните на матрицата $A$ е равен на броя на редовете на матрица $B$. В този случай резултатът от умножаването на матриците $A_(5\times 4)$ и $B_(4\times 9)$ е матрицата $C_(5\times 9)$, съдържаща 5 реда и 9 колони:

Пример №3

Дадени матрици: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (масив) \вдясно)$ и $ B=\left(\begin(масив) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(масив) \вдясно) $. Намерете матрицата $C=A\cdot B$.

За начало веднага определяме размера на матрицата $C$. Тъй като матрицата $A$ има размер $3\times 4$, а матрицата $B$ има размер $4\times 2$, размерът на матрицата $C$ е $3\times 2$:

И така, в резултат на произведението на матриците $A$ и $B$, трябва да получим матрицата $C$, състояща се от три реда и две колони: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Ако обозначенията на елементите повдигат въпроси, тогава можете да разгледате предишната тема: "Матрици. Видове матрици. Основни термини", в началото на която е обяснено обозначението на матричните елементи. Нашата цел е да намерим стойностите на всички елементи на матрицата $C$.

Нека започнем с елемента $c_(11)$. За да получите елемента $c_(11)$, трябва да намерите сумата от произведенията на елементите на първия ред на матрицата $A$ и първата колона на матрицата $B$:

За да намерите самия елемент $c_(11)$, трябва да умножите елементите на първия ред на матрицата $A$ по съответните елементи на първата колона на матрицата $B$, т.е. първият елемент към първия, вторият към втория, третият към третия, четвъртият към четвъртия. Обобщаваме получените резултати:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Да продължим с решението и да намерим $c_(12)$. За да направите това, трябва да умножите елементите на първия ред на матрицата $A$ и втората колона на матрицата $B$:

Подобно на предишния, имаме:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Намерени са всички елементи от първия ред на матрицата $C$. Преминаваме към втория ред, който започва с елемента $c_(21)$. За да го намерите, трябва да умножите елементите на втория ред на матрицата $A$ и първата колона на матрицата $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Следващият елемент $c_(22)$ се намира чрез умножаване на елементите на втория ред на матрицата $A$ по съответните елементи от втората колона на матрицата $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

За да намерим $c_(31)$, умножаваме елементите на третия ред на матрицата $A$ по елементите на първата колона на матрицата $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

И накрая, за да намерите елемента $c_(32)$, трябва да умножите елементите на третия ред на матрицата $A$ по съответните елементи на втората колона на матрицата $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Всички елементи на матрицата $C$ са намерени, остава само да запишем, че $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \вдясно)$ . Или да го напиша изцяло:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(масив) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(масив) \вдясно)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Отговор: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Между другото, често няма причина да се описва подробно местоположението на всеки елемент от матрицата на резултатите. За матрици, чийто размер е малък, можете да направите следното:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(array) \right) $$

Също така си струва да се отбележи, че умножението на матрицата е некомутативно. Това означава, че най-общо $A\cdot B\neq B\cdot A$. Само за някои видове матрици, които се наричат пермутационен(или пътуване до работното място), равенството $A\cdot B=B\cdot A$ е вярно. Въз основа на некомутативността на умножението се изисква да посочим как точно умножаваме израза по една или друга матрица: отдясно или отляво. Например, фразата "умножете двете страни на равенството $3EF=Y$ по матрицата $A$ вдясно" означава, че искате да получите следното равенство: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$

Транспонирана по отношение на матрицата $A_(m\times n)=(a_(ij))$ е матрицата $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, за елементи, където $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Просто казано, за да получите транспонираната матрица $A^T$, трябва да замените колоните в оригиналната матрица $A$ със съответните редове според този принцип: имаше първия ред - първата колона ще стане; имаше втори ред - втората колона ще стане; имаше трети ред - ще има трета колона и т.н. Например, нека намерим транспонираната матрица към матрицата $A_(3\times 5)$:

Съответно, ако оригиналната матрица е имала размер $3\times 5$, тогава транспонираната матрица има размер $5\times 3$.

Някои свойства на операциите върху матрици.

Тук се приема, че $\alpha$, $\beta$ са някои числа, а $A$, $B$, $C$ са матрици. За първите четири свойства посочих имената, останалите могат да бъдат наименувани по аналогия с първите четири.

Лекция №1

МАТРИЦА

Дефиниция и видове матрици

Определение 1.1.Матрицаразмер т Псе нарича правоъгълна таблица с числа (или други обекти), съдържащи млинии и нколони.

Матриците се означават с главни (главни) букви на латинската азбука, например, А, Б, В...Извикват се числата (или други обекти), които съставляват матрицата елементиматрици. Матричните елементи могат да бъдат функции. За обозначаване на елементите на матрицата се използват малки букви на латинската азбука с двойно индексиране: aij,където е първият индекс и(четене - и) - номер на ред, втори индекс j(четене - на живо) – номер на колона.

Определение 1.2.Матрицата се нарича квадрат p-ред, ако броят на неговите редове е равен на броя на колоните и е равен на същото число П

За квадратна матрица, понятията основна и страничнадиагонали.

Определение 1.3.Главен диагоналквадратната матрица се състои от елементи, които имат еднакви индекси, т.е. Това са елементите: а 11,а 22,…

Определение 1.4. диагоналако всички елементи с изключение на елементите на главния диагонал са равни на нула

Определение 1.5.Квадратната матрица се нарича триъгълна, ако всички негови елементи, разположени под (или над) главния диагонал, са равни на нула.

Определение 1.6.квадратна матрица П-ред, в който всички елементи на главния диагонал са равни на единица, а останалите са равни на нула, се нарича единиченматрица нй ред и се обозначава с буквата Е.

Определение 1.7.Матрица с произволен размер се нарича нула,или нулева матрица,ако всички негови елементи са равни на нула.

Определение 1.8.Едноредовата матрица се нарича матрица на редове.

Определение 1.9.Извиква се матрица с една колона колонна матрица.

А = (а 11 а 12 ... а 1н) -матрица-ред;

Определение 1.10.Две матрици Аи Vсъс същия размер се наричат равен,ако всички съответни елементи на тези матрици са равни, т.е. aij = bijза всякакви и= 1, 2, ..., Т; j = 1, 2,…, н.

Матрични операции

На матрици, както и на числа, могат да се извършват редица операции. Основните операции с матрици са събиране (изваждане) на матрици, умножение на матрица по число и умножение на матрици. Тези операции са подобни на операциите с числа. Специфична операция е транспонирането на матрица.

Умножаване на матрица по число

Определение 1.11.Произведението на матрицата A по числотоλ се нарича матрица B = A,чиито елементи се получават чрез умножаване на елементите на матрицата Акъм числото λ .

Пример 1.1.Намерете произведението на матрица A= до номер 5.

Решение. .◄ 5A=

Правило за умножение на матрица по число: за да умножите матрица по число, трябва да умножите всички елементи на матрицата по това число.

Последствие.

1. Общият фактор на всички елементи на матрицата може да бъде изваден от знака на матрицата.

2. Матричен продукт Ачислото 0 има нулева матрица: А· 0 = 0 .

Добавяне на матрица

Определение 1.12.Сумата от две матрици A и Bсъщия размер t nнаречена матрица С= А+ V, чиито елементи се получават чрез добавяне на съответните елементи на матрицата Аи матрици V, т.е. cij = aij + bijза i = 1, 2, ..., м; j= 1, 2, ..., н(т.е. матриците се добавят елемент по елемент).

Последствие.Матрична сума Ас нулева матрица е равно на оригиналната матрица: А + О = А.

1.2.3. Матрично изваждане

Разлика на две матрицисъс същия размер се определя чрез предишните операции: A - B \u003d A + (- 1)V.

Определение 1.13.Матрица –A = (– 1)АНаречен противоположноматрица А.

Последствие.Сумата от противоположни матрици е равна на нулевата матрица : A + (-A) \u003d O.

Матрично умножение

Определение 1.14.Умножение на матрица A по матрица Bдефиниран, когато броят на колоните на първата матрица е равен на броя на редовете на втората матрица. Тогава матричен продукттакава матрица се нарича , всеки елемент от който cijе равно на сбора от произведения на елементите и-ти ред на матрицата Авърху съответните елементи j-та колона на матрицата б.

Пример 1.4.Изчислете произведението на матриците А Бкъдето

A=

=

Пример 1.5.Намерете продукти от матрици АБи VA,където

Забележки.От примери 1.4–1.5 следва, че операцията за умножение на матрица има някои разлики от умножението на числата:

1) ако произведението на матрици АБсъществува, то след пренареждане на факторите, произведението на матриците VAможе да не съществува. Действително, в пример 1.4 матричното произведение AB съществува, но продуктът BA не съществува;

2) дори ако работи АБи VAсъществуват, то резултатът от продукта може да бъде матрици с различни размери. В случай, когато и двете работят АБи VAсъществуват и двете са матрици с еднакъв размер (това е възможно само при умножаване на квадратни матрици от същия ред), тогава комутативният (изместващ) закон на умножението все още не е валиден,тези. А Б В А, както в пример 1.5;

3) обаче, ако умножим квадратната матрица Акъм матрицата на идентичността Етогава същата поръчка AE = EA = A.

Така матрицата за идентичност играе същата роля при умножението на матрицата, както числото 1 играе при умножението на числата;

4) произведението на две ненулеви матрици може да бъде равно на нулевата матрица, т.е. от факта, че А Б= 0, това не следва А = 0 или B= 0.

1-ва година, висша математика, учене матриции основни действия върху тях. Тук систематизираме основните операции, които могат да се извършват с матрици. Как да започнете с матриците? Разбира се, от най-простите - дефиниции, основни понятия и най-прости операции. Уверяваме ви, че матриците ще бъдат разбрани от всеки, който им отдели поне малко време!

Дефиниция на матрицата

Матрицае правоъгълна таблица с елементи. Е, ако прост език- таблица с числа.

Матриците обикновено се означават с главни латински букви. Например матрица А , матрица Б и т.н. Матриците могат да бъдат с различни размери: правоъгълни, квадратни, има и матрици на редове и матрици на колони, наречени вектори. Размерът на матрицата се определя от броя на редовете и колоните. Например, нека напишем правоъгълна матрица с размери м на н , където м е броят на редовете и н е броят на колоните.

Елементи, за които i=j (а11, а22, .. ) образуват главния диагонал на матрицата и се наричат ​​диагонал.

Какво може да се направи с матрици? Добавяне/Изваждане, умножете по число, умножават помежду си, транспониране. Сега за всички тези основни операции с матрици в ред.

Операции за събиране и изваждане на матрица

Веднага ви предупреждаваме, че можете да добавяте само матрици с еднакъв размер. Резултатът е матрица със същия размер. Добавянето (или изваждането) на матрици е лесно − просто добавете съответните им елементи . Да вземем пример. Нека извършим събирането на две матрици A и B с размер две по две.

Изваждането се извършва по аналогия, само с противоположния знак.

Всяка матрица може да се умножи по произволно число. Да го направя, трябва да умножите по това число всеки негов елемент. Например, нека умножим матрицата A от първия пример по числото 5:

Операция за умножение на матрица

Не всички матрици могат да се умножават една с друга. Например, имаме две матрици - A и B. Те могат да бъдат умножени една по друга само ако броят на колоните на матрица A е равен на броя на редовете на матрица B. Освен това, всеки елемент от получената матрица в i-тия ред и j-та колона, ще бъде равно на сумата от произведенията на съответните елементи в i-ти редпървия фактор и j-тата колона на втория. За да разберем този алгоритъм, нека напишем как се умножават две квадратни матрици:

И пример с реални числа. Нека умножим матриците:

Операция на матрична транспониране

Транспонирането на матрицата е операция, при която съответните редове и колони се разменят. Например транспонираме матрицата A от първия пример:

Матричен детерминант

Детерминантата, о, детерминантата, е едно от основните понятия на линейната алгебра. Някога хората измисляха линейни уравнения и след тях трябваше да измислят детерминанта. В крайна сметка от вас зависи да се справите с всичко това, така че последното натискане!

Детерминантата е числова характеристика на квадратна матрица, която е необходима за решаване на много задачи.
За да изчислите детерминанта на най-простата квадратна матрица, трябва да изчислите разликата между продуктите на елементите на главния и вторичния диагонал.

Детерминантата на матрица от първи ред, тоест състояща се от един елемент, е равна на този елемент.

Ами ако матрицата е три на три? Това е по-трудно, но може да се направи.

За такава матрица стойността на детерминанта е равна на сумата от произведенията на елементите на главния диагонал и произведенията на елементите, лежащи върху триъгълници с лице, успоредно на главния диагонал, от което произведението на елементите на вторичния диагонал и произведението на елементите, лежащи върху триъгълници с лице, успоредно на вторичния диагонал, се изваждат.

За щастие, рядко се налага на практика да се изчисляват детерминантите на големите матрици.

Тук разгледахме основните операции с матрици. Разбира се, в реалния живот никога не можете да срещнете дори намек за матрична система от уравнения, или обратното, може да се сблъскате с много по-сложни случаи, когато наистина трябва да си блъскате мозъка. Именно за такива случаи има професионален студентски сервиз. Помолете за помощ, вземете висококачествено и детайлно решение, насладете се на академичен успех и свободно време.

Това ръководство ще ви помогне да научите как да матрични операции: събиране (изваждане) на матрици, транспониране на матрица, умножение на матрици, намиране обратното на матрица. Целият материал е представен в проста и достъпна форма, дадени са подходящи примери, така че дори неподготвен човек може да се научи как да извършва действия с матрици. За самоконтрол и самотест можете да изтеглите безплатно матричен калкулатор >>>.

Ще се опитам да сведа до минимум теоретичните изчисления, на места са възможни обяснения „на пръсти“ и използването на ненаучни термини. Любителите на солидна теория, моля, не се занимавайте с критика, нашата задача е научете как да работите с матрици.

За СУПЕР БЪРЗА подготовка по темата (кой "гори") има интензивен pdf-курс Матрица, детерминанта и офсет!

Матрицата е правоъгълна таблица на някои елементи. Като елементище разгледаме числата, тоест числови матрици. ЕЛЕМЕНТе термин. Желателно е да запомните термина, често ще се среща, не случайно използвах удебелен шрифт, за да го подчертая.

Обозначаване:матриците обикновено се означават с главни латински букви

пример:Помислете за матрица две по три:

Тази матрица се състои от шест елементи:

Всички числа (елементи) вътре в матрицата съществуват сами по себе си, тоест не става дума за изваждане:

Това е просто таблица (набор) от числа!

Ние също ще се съгласим не пренареждайтеномер, освен ако не е посочено друго в обяснението. Всяко число има свое собствено местоположение и не можете да ги разбърквате!

Въпросната матрица има два реда:

и три колони:

СТАНДАРТ: когато говорим за размерите на матрицата, тогава първопосочете броя на редовете и едва след това - броя на колоните. Току-що разбихме матрицата две по три.

Ако броят на редовете и колоните на матрицата е един и същ, тогава матрицата се нарича квадрат, Например: е матрица три по три.

Ако матрицата има една колона или един ред, тогава такива матрици също се наричат вектори.

Всъщност познаваме концепцията за матрица от училище, помислете например за точка с координати "x" и "y": . По същество координатите на точка се записват в матрица едно по две. Между другото, ето ви пример защо редът на числата има значение: и са две напълно различни точки от равнината.

Сега да преминем към изследването. матрични операции:

1) Действие първо. Премахване на минус от матрица (Въвеждане на минус в матрица).

Обратно към нашата матрица . Както вероятно сте забелязали, в тази матрица има твърде много отрицателни числа. Това е много неудобно по отношение на извършването на различни действия с матрицата, неудобно е да пишете толкова много минуси и просто изглежда грозно в дизайна.

Нека преместим минус извън матрицата, като променим знака на ВСЕКИ елемент от матрицата:

При нула, както разбирате, знакът не се променя, нула - също е нула в Африка.

Обратен пример: . Изглежда грозно.

Въвеждаме минус в матрицата, като сменяме знака на ВСЕКИ елемент от матрицата:

Е, много по-красиво е. И най-важното е, че ще бъде ПО-ЛЕСНО да извършвате всякакви действия с матрицата. Защото има такъв математически народен знак: колкото повече минуси - толкова повече объркване и грешки.

2) Действие второ. Умножаване на матрица по число.

пример:

Това е просто, за да умножите матрица по число, имате нужда всекиумножете матричния елемент по даден номер. В този случай три.

Друг полезен пример:

– умножение на матрица по дроб

Нека първо да разгледаме какво да правим НЯМА НУЖДА:

НЕ Е НЕОБХОДИМО да въвеждате дроб в матрицата, първо, това само го затруднява следващи стъпкис матрица, второ, затруднява учителя да провери решението (особено ако - крайният отговор на задачата).

И особено, НЯМА НУЖДАразделете всеки елемент от матрицата на минус седем:

От статията Математика за манекени или откъде да започна, помним, че десетичните дроби със запетая във висшата математика се опитват по всякакъв начин да се избягват.

Единственото нещо желателнокоето трябва да направите в този пример е да вмъкнете минус в матрицата:

Но ако ВСИЧКОматричните елементи бяха разделени на 7 без следа, тогава би било възможно (и необходимо!) да се раздели.

пример:

В този случай можете ТРЯБВА ДАумножете всички елементи на матрицата по , тъй като всички числа в матрицата се делят на 2 без следа.

Забележка: в теорията на висшата математика няма училищно понятие за „деление“. Вместо фразата „това се дели на това“, винаги можете да кажете „това се умножава по дроб“. Тоест делението е специален случай на умножение.

3) Трето действие. Матрично транспониране.

За да транспонирате матрица, трябва да запишете нейните редове в колоните на транспонираната матрица.

пример:

Транспонирана матрица

Тук има само един ред и според правилото той трябва да бъде написан в колона:

е транспонираната матрица.

Транспонираната матрица обикновено се обозначава с горен индекс или черта в горния десен ъгъл.

Стъпка по стъпка пример:

Транспонирана матрица

Първо, пренаписваме първия ред в първата колона:

След това пренаписваме втория ред във втората колона:

И накрая, пренаписваме третия ред в третата колона:

Готов. Грубо казано, да транспонирате означава да обърнете матрицата настрани.

4) Четвърто действие. Сума (разлика) от матрици.

Сборът от матрици е проста операция.
НЕ ВСИЧКИ МАТРИЦИ МОГАТ ДА СЕ СГЪВАТ. За извършване на събиране (изваждане) на матрици е необходимо те да са С ЕДИН РАЗМЕР.

Например, ако е дадена матрица две по две, тогава тя може да бъде добавена само към матрица две по две и никаква друга!

пример:

Добавете матрици и

За да добавите матрици, трябва да добавите съответните им елементи:

За разликата на матриците правилото е подобно, необходимо е да се намери разликата на съответните елементи.

пример:

Намерете разликата на матриците ,

Как да решим даден примерпо-лесно да се избегне объркване? Препоръчително е да се отървете от ненужните минуси, за това ще добавим минус към матрицата:

Забележка: в теорията на висшата математика няма училищна концепция за "изваждане". Вместо фразата „извадете това от това“, винаги можете да кажете „добавете отрицателно число към това“. Тоест изваждането е специален случай на събиране.

5) Действие пет. Матрично умножение.

Какви матрици могат да бъдат умножени?

За да се умножи матрица по матрица, така че броят на колоните на матрицата да е равен на броя на редовете на матрицата.

пример:
Възможно ли е да се умножи матрица по матрица?

Така че можете да умножите данните на матрицата.

Но ако матриците са пренаредени, тогава в този случай умножението вече не е възможно!

Следователно умножението е невъзможно:

Не са необичайни задачи с трик, когато от ученика се иска да умножи матрици, чието умножение е очевидно невъзможно.

Трябва да се отбележи, че в някои случаи е възможно да се умножават матрици и по двата начина.
Например за матрици и са възможни както умножение, така и умножение